Quadratische Funktionen erkunden/Die Normalform und Benutzer:Maria Eirich/Kurz-Überblick: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Box
__NOCACHE__
|
==Geogebra==
|In diesem Kapitel wirst du Experte für die '''Normalform''' quadratischer Funktionen. Bisher hast du quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform kennengelernt. In Anwendungen wird jedoch häufig diese '''andere Variante''' quadratischer Funktionen genutzt. In diesem Kapitel
<div class="grid">
#lernst du eine Anwendungsbeispiel aus der Fahrschule kennen,
<div class="width-1-2">
#erfährst, wie Terme quadratischer Funktionen in Normalform aussehen und
<pre><ggb_applet id="f8ZNkcQt" width="787" height="450" border="888888" /></pre>
#du lernst in einem Quiz und einer Partnerarbeit Eigenschaften und Besonderheiten der Normalform näher kennen.
Geogebra-Applets auf [https://www.geogebra.org/materials/ '''GeoGebraTube'''] werden mit Hilfe eines Codes eingebunden, der die Material-ID enthält. Diesen Code erhält man direkt beim Applet unter '''Teilen ''' -->'''Einbetten'''. Man wählt dann '''Mediawiki''' und kopiert den Code auf die Wiki-Seite.
|Hervorhebung1
}}


</div>
<div class="width-1-2">
<ggb_applet id="f8ZNkcQt" width="787" height="450" border="888888" />
</div>
</div>




{{Box
==Learning App==
|Aufgabe 1
<div class="grid">
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 13) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
<div class="width-1-2">
<pre>{{LearningApp|app=py7d7b0x501|width=400px|height=400px}}</pre>
Jede [https://learningapps.org/ '''Learning-App'''] hat eine Material-ID, die am Ende des Weblinks steht.  


[[Datei:Anhalteweg.png|rahmenlos|zentriert|500px|Skizze Anhalteweg]]
Die Parameter ''width'' und ''height'' sind optional und müssen in % bzw. px angegeben werden.
Wird nichts eingegeben, wird als Vorgabewert eine Breite von 100% und eine Höhe von 400px verwendet.
</div>
<div class="width-1-2">
{{LearningApp|app=py7d7b0x501|width=400px|height=400px}}
</div>
</div>


In der [https://www.jungesportal.de/fuehrerschein/faustformeln-fuer-die-theorie.php Fahrschule] lernt man eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Faustregel Faustformel] zur Berechnung des '''Bremsweges''' eines Autos kennen. Sie lautet „Geschwindigkeit durch 10 Mal Geschwindigkeit durch 10“ – in Termen ausgedrückt (mit v für Geschwindigkeit): <math> f(v) \approx \frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10} </math>. Für den tatsächlichen Anhalteweg muss jedoch auch noch der '''Reaktionsweg''' des Fahrers beachtet werden. Durch sie wird ein Weg von annähernd „drei Mal die Geschwindigkeit durch 10“ zurückgelegt und der zugehörige Term lautet <math> f(v) \approx \frac{3 \cdot v}{10} </math>.
== YouTube-Video ==
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>{{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|400|center}}</pre>  


Der '''Anhalteweg''' eines PKW lässt sich also näherungsweise mit folgender Formel bestimmen:
Die Zahl ''400'' gibt die Breite in Pixel an. Mögliche Parameter für die Ausrichtung sind z.B.: ''left, center, right''.
<math>f(v)\approx\frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10}+\frac{3 \cdot v}{10}=\frac{v^2}{100}+\frac{3 \cdot v}{10}</math>
</div>


<div class="width-1-2">
{{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|400}}
</div>
</div>


'''a)''' Berechne den Anhalteweg für die Geschwindigkeiten: 30&nbsp;km/h, 50&nbsp;km/h und 70&nbsp;km/h und 100&nbsp;km/h. Trage deine Ergebnisse in die Tabelle in deinem Hefter ein.


Zur Kontrolle kannst du das folgende Applet benutzen:
==Verstecken und Anzeigen==
'''Vorlage zum Verstecken von Lösungen'''


{{LearningApp|app=ppixrfhoj17|width=70%|height=350px}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
:<pre>{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken}}</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken}}</div>
</div>


'''Vorlage mit freier Textwahl'''


{{Lösung versteckt|1=Der Anhalteweg wird durch einsetzen der Geschwindigkeiten v in die obige Formel berechnet. Es ergeben sich:
<div class="grid">
<math>f(30)\approx\frac{30}{10}\cdot\frac{30}{10}+\frac{3 \cdot 30}{10}=\frac{30^2}{100}+\frac{3 \cdot 30}{10}=18</math> ,
<div class="width-1-2">
:<pre>{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken|Label fürs Anzeigen|Label fürs Verbergen}}</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken|Label fürs Anzeigen|Label fürs Verbergen}}</div>
</div>


<math>f(50)\approx\frac{50^2}{100}+\frac{3 \cdot 50}{10}=40</math>  ,
'''Vorlage mit freier Textwahl (mit Formeln, Tabellen)


<math>f(70)\approx\frac{70^2}{100}+\frac{3 \cdot 70}{10}=70</math>   und
...wenn der "Text zum Verstecken" ein Gleichheitszeichen oder ein senkrechte Line <nowiki>|</nowiki> enthält.'''


<math>f(100)\approx\frac{100^2}{100}+\frac{3 \cdot 100}{10}=130</math> .
<div class="grid">
|2=Lösungsweg
<div class="width-1-2">
|3=Lösungsweg verbergen}}
:<pre>{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Label fürs Anzeigen|3=Label fürs Verbergen}}</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken|Label fürs Anzeigen|Label fürs Verbergen}}</div>
</div>




'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in deinen Hefter und beschreibe seinen Verlauf in wenigen Sätzen.
==Vorlagen für Boxen==
Die Überschriften im div-Container sind frei wählbar und werden im Inhaltsverzeichnis aufgeführt.
Mehr Infos dazu findet man auf der Seite [[Vorlage:Box|Vorlage:Box]].
Wenn die Auswahl nicht ausreicht gibt es mit der [[:Vorlage:Box-spezial|Vorlage:Box-spezial]] die Möglichkeit viele Parameter der Vorlage beim Einbinden selbst anzupassen.


{{Lösung versteckt|1=Der Anhalteweg ist ''abhängig'' von der Geschwindigkeit. Trage deshalb die Geschwindigkeiten auf der x-Achse und die Anhaltewege auf der y-Achse deines Koordinatensystems ein.|2=Hilfe|3=Hilfe verstecken}}


{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Anhalteweg Graph.PNG|rahmenlos|500px|Anhalteweg eines PKW]]
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div class="box hervorhebung1">
=== Beachte ===
...
</div>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<div class="box hervorhebung1">
=== Beachte===
...
</div>
</div>
</div>


<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div class="box hervorhebung2">
=== Merke ===
...
</div>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<div class="box hervorhebung2">
=== Merke ===
...
</div>
</div>
</div>


Der Graph zeigt nur die positiven Werte der (quadratischen) Funktion für den Anhalteweg, da der Kontext keine sinnvolle Beschreibung negativer Werte erlaubt. Der Anhalteweg verlängert sich deutlich mit zunehmender Geschwindigkeit, das heißt der Graph steigt rasch an, was charakteristisch für quadratische Funktionen mit positivem Paramter a (hier a=1) ist.|2=Lösung|3=Lösung verstecken}}
<div class="grid">
|3=Arbeitsmethode
<div class="width-1-2">
}}
<pre>
<div class="box ueben">
=== Übung===
...
</div>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<div class="box ueben">
=== Übung===
...
</div>
</div>
</div>


<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div class="box zitat">
=== Zitat ===
...
</div>
</pre>
</div>


{{Box
<div class="width-1-2">
|Aufgabe 2
<div class="box zitat">
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 5)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
=== Zitat ===
...
</div>
</div>
</div>


Denke dir eine quadratische Funktion in Normalform aus. Notiere den Term und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an. Zur Kontrolle kannst du das unten stehende GeoGebra-Applet nutzen.
<div class="grid">
|Arbeitsmethode
<div class="width-1-2">
}}
<pre>
<div class="box arbeitsmethode">
=== Aufgabe 3 ===
...
</div>
</pre>
</div>


{{Box
<div class="width-1-2">
|Merke
<div class="box arbeitsmethode">
|Terme quadratischer Funktionen können in der Form '''<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>''' (mit a ≠ 0) beschrieben werden. Diese Darstellungsform nennt man '''Normalform'''. In der Normalform quadratischer Funktionen kann der '''y-Achsenabschnitt c''' direkt abgelesen werden.
=== Aufgabe 3 ===
|Merksatz
...
}}
</div>
</div>
</div>


<iframe scrolling="no" title="Die Normalform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sRGaXKXE/width/700/height/534/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="534px" style="border:0px;"> </iframe>
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div class="box unterrichtsidee">
=== Idee ===
...
</div>
</pre>
</div>


<div class="width-1-2">
<div class="box unterrichtsidee">
=== Idee ===
...
</div>
</div>
</div>


{{Box
<div class="grid">
|Aufgabe 3
<div class="width-1-2">
|Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Tabelle) quadratischer Funktionen.
<pre>
<div class="box meinung">
=== Meinung ===
...
</div>
</pre>
</div>


'''a)''' Löse das folgende Quiz, indem du immer zwei Karten zu einem Paar zusammenfügst.  
<div class="width-1-2">
<div class="box meinung">
=== Meinung ===
...
</div>
</div>
</div>


{{LearningApp|app=ps554x1ba17|width=80%|height=500px}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div class="box lernpfad">
===Lernpfad ===
...
</div>
</pre>
</div>


<div class="width-1-2">
<div class="box lernpfad">
=== Lernpfad ===
...
</div>
</div>
</div>


'''b)''' Du hattest noch ein paar Schwierigkeiten bei der Zuordnung? Schau dir die folgenden Tipps an und versuche es erneut!
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div class="box loesung">
=== Lösung ===
...
</div>
</pre>
</div>


{{Lösung versteckt|1=Du kannst...
<div class="width-1-2">
<div class="box loesung">
=== Lösung ===
...
</div>
</div>
</div>


...den y-Achsenabschnitt an den Funktionsgraphen ablesen. Passt er zu einem der Funktionsterme? Oder findest du ihn in einer der Tabellen wieder?
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div class="box kurzinfo">
=== Kurzinfo ===
...
</div>
</pre>
</div>


...einen beliebigen Punkt an den Graphen ablesen. Setze die Koordinaten in einen der Funktionsterme ein oder vergleiche sie mit den Werten in einer der Tabellen.
<div class="width-1-2">
<div class="box kurzinfo">
=== Kurzinfo ===
...
</div>
</div>
</div>


...auf der [[Mathematik-digital/Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter stellen sich vor|Paramterseite]] nachschauen wofür die Paramter in der Normalform stehen. Was ist nochmal der y-Achsenabschnitt, was der Streckungsfaktor?|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verstecken}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div class="box experimentieren">
=== Experiment ===
...
</div>
</pre>
</div>


{{Lösung versteckt|1="Tipp 2"> Der y-Achsenabschnitt hat die Koordinaten P(0|c). In Tabellen findest du ihn deshalb als y-Wert zu x=0. In Termen steht er als Paramter c, z. B. mit c=3 in <math>y=x^2+2x+3</math>.
<div class="width-1-2">
<div class="box experimentieren">
=== Experiment ===
...
</div>
</div>
</div>


Du hast alle Paare richtig zusammengefügt? Spitzenleistung, weiter zur nächsten Aufgabe!|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verstecken}}
<div class="grid">
|Arbeitsmethode
<div class="width-1-2">
}}
<pre>
<div class="box download">
=== Download ===
...
</div>
</pre>
</div>


 
<div class="width-1-2">
{{Box
<div class="box download">
|Aufgabe 4
=== Download ===
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 14) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
...
 
</div>
'''a)''' Finde Werte für a, b und c, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.
</div>
 
</div>
 
<iframe scrolling="no" title="Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen in Normalform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/YE3FKZgC/width/895/height/610/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe>
 
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welche Auswirkungen die einzelnen [[Mathematik-digital/Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter stellen sich vor|Parameter]] auf die Lage der Parabel haben.
* Ist die Parabel auf dem Bild nach oben oder nach unten geöffnet? Ist sie gestreckt oder gestaucht? Stell den Parameter a dementsprechend ein.
* In welchem [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrant Quadranten] liegt die Parabel? Muss b positiv oder negativ sein?
* Kannst du einen y-Achsenabschnitt sehen? Stell den Parameter c dementsprechend ein.
* Kannst du den y-Achsenabschnitt nicht erkennen? Stell die Paramter a und b so ein, dass die Parabel genau über oder unter der Parabel auf dem Foto ist. Danach kannst du sie mit dem Parameter c in die richtige Höhe verschieben.|2=Hilfe|3=Hilfe verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.
 
{| class="wikitable"
|-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter b !! Parameter c
|-
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13x^2+1.82x-1.52</math> || -0.14 ≤ a ≤ -0.13 || 1.82 ≤ b ≤ 1.95 || -1.85 ≤ c ≤ -1.52
|-
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04x^2-0.46x+2.30</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || -0.40 ≤ b ≤ -0.50 || 2.05 ≤ c ≤ 2.30
|-
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33x^2+3.20x-2.46</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 3.15 ≤ b ≤ 3.35 || -2.95 ≤ c ≤ -2.45
|-
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40x^2-2.00x+6.85</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 1.80 ≤ b ≤ 2.00 || 6.35 ≤ c ≤ 6.85
|-
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33x^2-3.86x+14.69</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || -4.10 ≤ b ≤ -3.60 || 13.65 ≤ c ≤ 14.95
|-
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22x^2-4.14x+23.04</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || -3.40 ≤ b ≤ -5.05 || 19.70 ≤ c ≤ 27.20
|-
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2x^2+2.16x-3.53</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.15 || 1.55 ≤ b ≤ 3.30 || -6.35 ≤ c ≤ -1.70
|-
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07x^2+1.08x+1.79</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 0.85 ≤ b ≤ 1.30 || 0.95 ≤ c ≤ 1.79
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32x^2+4.16x-7.07</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 3.80 ≤ b ≤ 4.40 || -7.40 ≤ c ≤ -6.10
|}|2=Lösungsvorschläge|3=Lösungsvorschläge verstecken}}
 
 
 
 
 
'''b)''' Vielleicht ist dir aufgefallen, dass diese Aufgabe so ähnlich in dem Kapitel [[Mathematik-digital/Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] auftaucht (S. 9). Vergleiche deine Ergebnisse aus beiden Aufgaben. Wo siehst du Parallelen und was ist anders? Notiere deine Überlegungen.
 
'''c)''' Vergleiche deine Erkenntnisse aus Aufgabe b) mit den Ergebnissen deines Partners. Fasst eure Erkenntnisse gemeinsam in wenigen Sätzen zusammen.
 
{{Lösung versteckt|Es ist möglich, die gleiche Parabel mit einem Term in der Normalform und einem Term in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen zu beschreiben. Der Parameter a bleibt dabei in beiden Darstellungsformen gleich. Die Parameter b, c, d und e sind unterschiedlich.|Beispiellösung|Beispiellösung verstecken}}
 
|Arbeitsmethode
}}
 
 
{{Quadratische Funktionen erkunden}}
 
[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|200px|rechts|link={{BASEPAGENAME}}/Von der Scheitelpunkt- zur Normalform]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])

Version vom 5. April 2018, 00:00 Uhr

Geogebra

<ggb_applet id="f8ZNkcQt" width="787" height="450" border="888888" />

Geogebra-Applets auf GeoGebraTube werden mit Hilfe eines Codes eingebunden, der die Material-ID enthält. Diesen Code erhält man direkt beim Applet unter Teilen -->Einbetten. Man wählt dann Mediawiki und kopiert den Code auf die Wiki-Seite.

GeoGebra


Learning App

{{LearningApp|app=py7d7b0x501|width=400px|height=400px}}

Jede Learning-App hat eine Material-ID, die am Ende des Weblinks steht.

Die Parameter width und height sind optional und müssen in % bzw. px angegeben werden. Wird nichts eingegeben, wird als Vorgabewert eine Breite von 100% und eine Höhe von 400px verwendet.

YouTube-Video

{{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|400|center}}

Die Zahl 400 gibt die Breite in Pixel an. Mögliche Parameter für die Ausrichtung sind z.B.: left, center, right.

Video laden
YouTube


Verstecken und Anzeigen

Vorlage zum Verstecken von Lösungen 

{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken}}
Text zum Verstecken

Vorlage mit freier Textwahl 

{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken|Label fürs Anzeigen|Label fürs Verbergen}}
Text zum Verstecken

Vorlage mit freier Textwahl (mit Formeln, Tabellen)

...wenn der "Text zum Verstecken" ein Gleichheitszeichen oder ein senkrechte Line | enthält. 

{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Label fürs Anzeigen|3=Label fürs Verbergen}}
Text zum Verstecken


Vorlagen für Boxen

Die Überschriften im div-Container sind frei wählbar und werden im Inhaltsverzeichnis aufgeführt. Mehr Infos dazu findet man auf der Seite Vorlage:Box. Wenn die Auswahl nicht ausreicht gibt es mit der Vorlage:Box-spezial die Möglichkeit viele Parameter der Vorlage beim Einbinden selbst anzupassen. 


<div class="box hervorhebung1">
=== Beachte ===
...
</div>

Beachte

... 

<div class="box hervorhebung2">
=== Merke ===
...
</div>

Merke

... 

<div class="box ueben">
=== Übung===
...
</div>

Übung

... 

<div class="box zitat">
=== Zitat ===
...
</div>

Zitat

... 

<div class="box arbeitsmethode">
=== Aufgabe 3 ===
...
</div>

Aufgabe 3

... 

<div class="box unterrichtsidee">
=== Idee ===
...
</div>

Idee

... 

<div class="box meinung">
=== Meinung ===
...
</div>

Meinung

... 

<div class="box lernpfad">
===Lernpfad ===
...
</div>

Lernpfad

... 

<div class="box loesung">
=== Lösung ===
...
</div>

Lösung

... 

<div class="box kurzinfo">
=== Kurzinfo ===
...
</div>

Kurzinfo

... 

<div class="box experimentieren">
=== Experiment ===
...
</div>

Experiment

... 

<div class="box download">
=== Download ===
...
</div>

Download

...

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