Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/2.Station Fortsetzung und Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale Änderungsrate: Unterschied zwischen den Seiten

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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
==Porsche==
[[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung|1. Station: Ähnlichkeitsabbildung]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen|Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/2.Station|2. Station: Streckungsfaktor]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/2.Station Fortsetzung|Fortsetzung der 2. Station: Streckungsfaktor]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/3.Station|3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/4.Station|4. Station: Zusammenfassung]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/5.Station|5. Station: Übungen]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/6.Station|6. Station: Wissenswertes]]
Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion ... beschreiben.
</div>
<br>


==Fortsetzung der 2. Station: Streckungsfaktor==
[[Datei:Porsche Weg Zeit Kurve.png|mini]]
:Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie
:sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.
<br>
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| <br>
|<ggb_applet height="400" width="850" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Streckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
<quiz display="simple">


{'''Wie verändert sich die Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>?'''}
:{| class="wikitable"
+Sie bleibt immer gleich.
!'''Zeit (Sekunden)'''!!Strecke (Meter)
-Sie ist variabel.
|-
 
|0||0
{'''Wie verändert sich die Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>?'''}
|-
-Sie bleibt immer gleich.
|1||4,7
+Sie ist variabel.
|-
 
|2||19,6
{'''Wie verhält sich k?'''}
|-
-Es bleibt immer gleich.
|3||45,9
+Es ist variabel.
|-
 
|4||84,8
</quiz>
|-
|}
|5||137,5
</div>
|-
<br>
|6||205,2
:Die Werte, die sich aus der Änderung von k ergeben, wurden in zwei Tabellen zusammengefasst.
|-
:In der linken sind die Werte für k von 2 bis 0, in der rechten für k von -2 bis 0.
|7
<br>
|289,1
:'''Arbeitsauftrag:'''
|-
:''1. Betrachte zunächst nur die linke Tabelle und stelle eine Vermutung auf, wie sich die Länge von <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> ändert im Vergleich zur Länge von <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>?
|8
:(Tipp: Betrachte auch den Wert von k!)
|390,4
:''2. Vergleiche die Zeilen mit der selben Hintergrundfarbe! Was haben sie gemeinsam? Was sind die Unterschiede?''
|-
{|
|9
|
|510,3
{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#8DB6CD"
! k !! <span style="text-decoration: overline;">ZB</span> !! <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>
|- style="background-color:#CDB5CD"
! 2 !! 4 !! 8
|- style="background-color:#CAFF70"
! 1.5 !! 4 !! 6
|- style="background-color:#EEA2AD"
! 1 !! 4 !! 4
|- style="background-color:#C6E2FF"
! 0.5 !! 4 !! 2
|-  
| 0 || 4 || 0
|}
 
||
{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#8DB6CD"
! k !! <span style="text-decoration: overline;">ZB</span> !! <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>
|- style="background-color:#CDB5CD"
! -2 !! 4 !! 8
|- style="background-color:#CAFF70"
! -1.5 !! 4 !! 6
|- style="background-color:#EEA2AD"
! -1 !! 4 !! 4
|- style="background-color:#C6E2FF"
! -0.5 !! 4 !! 2
|-  
| 0 || 4 || 0
|}
|}
|}
<br>
:Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen:
:{{Versteckt|
1. <math>\overline{ZB'}</math> ist k-mal so lang wie <math>\overline{ZB}</math>.
2. Die Längen der Strecken <math>\overline{ZB}</math> und <math>\overline{ZB'}</math> bleiben gleich, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.}}
<br>
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:'''Dia ist nach ihren Vermutungen total verwirrt. Sie versteht nicht warum der Wert von <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> gleich bleibt, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.'''
:'''Vielleicht kannst du ihr helfen, indem du ihre Fragen beantwortest:'''
<br>
<quiz display="simple">


{Kann eine Streckenlänge ein negatives Vorzeichen haben?}
==Mittlere Änderungsrate==
+nein
Überlegen sie zunächst welcher physikalischen Größe der mittleren Änderungsrate in diesem Beispiel zuzuordnen ist und wie man diese berechnet.
-ja


{Wie kann man eine negative Zahl in eine positive Zahl umwandeln, sodass der Wert '''gleich''' bleibt,
:
sich jedoch aber eine positive Zahl '''nicht''' in eine negative Zahl umwandelt?}
{{Box|Aufgabe 1|Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.
-durch Quadrieren
+mit Hilfe von Betragsstrichen
-durch Multiplikation mit -1


</quiz>
a) zwischen Sekunde 1 und 2 <br /> b) zwischen Sekunde 2 und 3 <br /> c) zwischen Sekunde 3 und 4 <br /> d) Notiere deine Schätzung zu welchem Zeitpunkt der Porsche 100 km/h erreicht hat|Arbeitsmethode
</div>
}}Überprüfe deine Ergebnisse mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.  
<br>
{{Lösung versteckt|1=
:Prima! Dank dir versteht jetzt Dia, wie die Werte für <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> entstehen.
<ggb_applet id="ceu9yjy3" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet>
:Mit deiner Hilfe und ihrer Vermutungen kann sie eine allgemeingültige Aussage machen.
}}
:Teste durch Einsetzen der richtigen Wörter, ob auch du dahinter gekommen bist:
<div class="lueckentext-quiz">
Die Länge von '''<span style="text-decoration: overline;">ZB</span>''' ist '''|k|-mal''' so lang wie die Länge von '''<span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>'''.
</div>


<br>
==Momentane Änderungsrate==
:Hier siehst du was das k bedeutet. Merke es dir, denn später wirst du darüber abgefragt!
{{Box|Aufgabe 2|Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinere dieses. Nutzen Sie hierzu die folgende Tabelle. <br /> a) Verkleinern Sie das Intervall mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest. <br /> b) Schätzen Sie die Geschwindigkeit des Porsches nach 3 Sekunden und begründe Sie Ihre Schätzung.
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
<ggb_applet id="ceu9yjy3" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet> |Arbeitsmethode
:'''k''' bezeichnet man als den '''Streckungsfaktor'''. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.
}}
</div>
<br>
<div align="right">[[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/3.Station|Weiter zur 3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors]]</div>
<div align="left">[[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/2.Station|Zurück zur 2. Station: Streckungsfaktor]]</div>

Version vom 12. April 2019, 15:47 Uhr

Porsche

Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion ... beschreiben.

Porsche Weg Zeit Kurve.png
Zeit (Sekunden) Strecke (Meter)
0 0
1 4,7
2 19,6
3 45,9
4 84,8
5 137,5
6 205,2
7 289,1
8 390,4
9 510,3

Mittlere Änderungsrate

Überlegen sie zunächst welcher physikalischen Größe der mittleren Änderungsrate in diesem Beispiel zuzuordnen ist und wie man diese berechnet.

Aufgabe 1

Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2
b) zwischen Sekunde 2 und 3
c) zwischen Sekunde 3 und 4
d) Notiere deine Schätzung zu welchem Zeitpunkt der Porsche 100 km/h erreicht hat

Überprüfe deine Ergebnisse mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.

GeoGebra

Momentane Änderungsrate

Aufgabe 2

Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinere dieses. Nutzen Sie hierzu die folgende Tabelle.
a) Verkleinern Sie das Intervall mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest.
b) Schätzen Sie die Geschwindigkeit des Porsches nach 3 Sekunden und begründe Sie Ihre Schätzung.

GeoGebra
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