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| {{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erforschen}}}} | | {{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erkunden}}}} |
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| {{Box | | {{Box| |Im Alltag kannst du immer wieder bogenförmige Bauwerke und Brücken entdecken, weil sich diese Form über die Jahrhunderte hinweg als besonders günstig erwiesen hat (und es zudem auch noch hübsch aussieht). |
| | | |
| |In diesem Kapitel stellen sich die Parameter der Normalform quadratischer Funktionen vor. Du kannst herausfinden, | |
| #wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
| |
| #welchen Einfluss die Parameter der Normalform auf das Aussehen und die Lage der Parabel haben und
| |
| #wie du das an den Funktionstermen erkennen kannst.
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| |Kurzinfo
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| }}
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| | Auch in der Natur fallen solche Bögen immer wieder auf, zum Beispiel bei Bergmassiven.|Kurzinfo}} |
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| | <gallery widths="250" heights="200" style="text-align:center"> |
| | Datei:Bögen.JPG |
| | Datei:Elbphilharmonie Hamburg.JPG |
| | Datei:Golden-gate-bridge-388917 640.jpg |
| | Datei:Fountain-819594_640.jpg |
| | Datei:Planten un Blomen.JPG |
| | Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg |
| | </gallery> |
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| ==Strecken, Stauchen und Spiegeln==
| | Selbst beim Besuch eines Basketball- oder Fußballspiels ist es möglich vergleichbare Bögen zu entdecken. Achte einmal darauf, wie ein abgeworfener oder abgeschossener Ball durch die Luft fliegt. |
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| {{Box
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| |Achtung
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| |Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Scheitelpunktform|die Parameter der Scheitelpunktform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt [[#Der Parameter b|"Der Parameter b"]].
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| |Hervorhebung1
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| }}
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| {{Box
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| |1=Aufgabe 1
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| |2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| | |
| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=2x^2</math>, (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math> und (3) <math>y=-x^2</math> ?
| |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| | |
| '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| | |
| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>a=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=a \cdot x^2</math> verändert.
| |
| <ggb_applet width="100%" height="500" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />
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| | |
| {{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''schmaler'''.
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| | |
| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''breiter'''.
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| | |
| 3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''"umgedreht"'''.}}|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Aufgabe 2
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| |In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
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| | |
| {{LearningApp|app=pysv88tea18|height=400px}}
| |
| {{Lösung versteckt|Wenn a kleiner Null ist (<math>a<0</math>), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
| |
| | |
| Wenn a größer Null ist (<math>a>0</math>), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
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| | |
| Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (<math>-1<a<1</math>), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.
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| | |
| Wenn a kleiner als minus Eins (<math>a<-1</math>) oder größer als Eins ist (<math>a>1</math>), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.}}|Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Aufgabe 3
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| |'''Knobelaufgabe'''
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| Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
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| {{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| | |
| {{Box|1=Aufgabe 4|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
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| | |
| '''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
| |
| | |
| '''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
| |
| | |
| '''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
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| | |
| '''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
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| Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
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| |Merksatz
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| }}
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| ==Der Parameter b==
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| {{Box
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| |Aufgabe 5
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 10) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| | | |
| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=x^2+3x</math>, (2) <math>y=x^2-3x</math> ?
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| |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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|
| |
| '''b)''' Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| |
| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für <math>b=</math> eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+b \cdot x</math> verändert.
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|
| |
| <ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="MyuG9D2b" />
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| {{Lösung versteckt|1=Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| |
| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach links und unten verschoben'''.
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| |
| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach rechts und unten verschoben'''.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Aufgabe 5
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
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| '''a)'''
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| {{LearningApp|app=pyf382e7a17|width=70%|height=500px}}
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| {{Lösung versteckt|1=Wie sieht der Graph aus: Ist er nach oben oder nach unten geöffnet? Nach rechts oder nach links verschoben?
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| |
| Wende dein Wissen über die Parameter a und b an.|2= Hilfe anzeigen|3=Hilfe verstecken}}
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| '''b)''' Überlege dir einen Tipp für deinen Partner, wie er die passenden Terme beim Pferderennen herausfinden kann. Notiere den Tipp in deinem Hefter.
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| |
| '''c)''' Vergleiche deinen Tipp mit dem deines Partners an dich.
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| {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Beispiel-Tipp Pferderennen.PNG|rahmenlos|600px|Parameter b]]|2=Beispiel Tipp anzeigen|3=Beispiel Tipp verbergen}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt:
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| |
| <u>Für '''a>0:'''</u>
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| '''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.
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| '''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.
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| |
| <u>Für '''a<0:'''</u>
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| |
| '''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
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| |
| '''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
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| |Merksatz
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| }}
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| ==Der Parameter c==
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| {{Box
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| |Aufgabe 6
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| | [[Datei:Video-Basketballwurf.gif|rahmenlos|zentriert|Basketball|500px]] |
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| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=x^2+3x+2</math>, (2) <math>y=x^2+3x-2</math> ?
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| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| {{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2= Hilfe anzeigen|3=Hilfe verstecken}}
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| '''b)''' Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math>, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst die Schieberegler a, b und c betätigen und dadurch den Graph <math>g(x)</math> verändern. Was passiert?
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| <ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="uV5keF5j" />
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| {{Box
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| |Aufgabe 7
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| |'''Welchen Wert hat der Parameter c?''' Trage deine Lösung wie in dem '''Beispiel''' ein:
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| ::[[Datei:Beispiel Parameter c.PNG|rahmenlos|Beispiel]]
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| {{LearningApp|app=p8zh59fa317|width=100%|height=700px}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| <div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Hilfe" data-collapsetext="Hilfe verbergen">
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| Der Paramter c gibt den y-Achsenabschnitt an. Du kannst ihn an dem Punkt P(0|c) ablesen.</div>
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| {{Box
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| |Merke
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| |Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
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| '''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
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| '''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben.
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| |Merksatz
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| }}
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| ==Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte==
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| {{Box
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| |Aufgabe 8
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Merke
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| Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
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| |
| '''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
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| '''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
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| '''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
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| |
| '''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
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| Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
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| |Merksatz
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| }}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt:
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| <u>Für '''a>0:'''</u>
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| '''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.
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| |
| '''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.
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| |
| <u>Für '''a<0:'''</u>
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| |
| '''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
| |
|
| |
| '''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
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| |Merksatz
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| }}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
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| |
| '''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
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|
| '''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben. | | Die Bögen auf den Fotos haben alle eine Gemeinsamkeit. Ihre Form nennt man '''Parabel''' und sie können als quadratische Funktionen dargestellt werden. |
| |Merksatz
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| }}
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| [[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|100px]] | | <div class="box arbeitsmethode"> |
| | == Aufgabe für den Nachmittag == |
| | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 2) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]][[Datei:Puzzle-1020221_640.jpg|rahmenlos|80x80px]]. |
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| Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktion der Form <math>y=ax^2+bx+c</math>. Diese Form heißt '''Normalform'''.
| | '''a)''' Suche parabelförmige Bögen in deiner Umgebung. Fotografiere mindestens eine Parabel oder notiere dir, wo du sie entdeckt hast und wie sie aussieht (z. B. breit, schmal, nach oben oder nach unten geöffnet). |
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|
| Auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Normalform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Übungen|Übungen]].
| | '''b)''' Berichte deinem Partner von deinen Entdeckungen. Sammelt die Orte, Bilder und Beschreibungen in euren Heftern.}} |
| | </div> |
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| {{Fortsetzung|weiter=Die Normalform|weiterlink=Quadratische Funktionen erforschen/Die Normalform}} | | {{Fortsetzung|weiter=Quadratische Funktionen kennenlernen|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen}} |
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| Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) | | Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) |
| [[Kategorie:Mathematik]] | | [[Kategorie:Mathematik]] |
| | [[Kategorie:Funktionen]] |
| | [[Kategorie:Quadratische Funktion]] |
| [[Kategorie:ZUM2Edutags]] | | [[Kategorie:ZUM2Edutags]] |
| [[Kategorie:Quadratische Funktion]]
| |
| [[Kategorie:Interaktive Übung]]
| |
| [[Kategorie:LearningApps]]
| |
| [[Kategorie:GeoGebra]]
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