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<br />{{Box|Info|Auf dieser Seite werden alle Voraussetzung wiederholt, die Sie zur Bearbeitung des Lernpfades benötigen.
=Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff=
Das Vorwissen steht Ihnen auch als PDF zur Verfügung. |Kurzinfo
}}
 
 
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==='''Sekanten an Funktionsgraphen'''===
Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet.
[[Datei:Beispielbild Sekante.png|mini|350x350px|Sekante des Funktionsgraphen <math>f(x)
</math> durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>.|alternativtext=|ohne]]


==='''Lineare Funktionen'''===
Lineare Funktion sind Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>f(x)=m\cdot x+y</math> oder  <math>y=m\cdot x+b</math> haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl  <math>m</math> gibt den Wert der Steigung an und die Zahl <math>b</math>gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.
<br />
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===='''Der Differenzenquotient'''====
{{Box|Lernpfad|Liebe Schülerinnen und Schüler, liebe Lehrkräfte,
Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.


Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a;b]</math> definiert, so gibt der Differenzenquotient
Im folgenden Lernpfad werden Sie verschiedene Grundvorstellungen für die Ableitung kennen lernen. Ein Repertoire an verschiedenen Grundvorstellungen, oder auch Deutungsmöglichkeiten für die Ableitung, helfen Ihnen die Ableitung flexibel auf unbekannte Sachaufgaben anzuwenden. Sie werden
* die Ableitung als lokale Änderungsrate,
* die Ableitung als Steigung der Tangente,
* die Ableitung als lokale Approximation und
* die Ableitung als Verstärkungsfaktor kennen lernen.
Im Lernpfad enthalten ist neben den Entdeckungsmöglichkeiten für die Erarbeitung der Grundvorstellungen ebenso
* eine Zusammenfassung der Grundvorstellungen
* eine Zusammenfassung des benötigten Vorwissens
* eine Handreichung für Lehrkräfte.


<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> die Steigung <math>m</math> der Geraden durch die Punkte <math>A=(a|f(a))</math> und <math>B=(b|f(b))</math> an.
Zum späteren Lernen und Reflektieren Ihres Lernprozesses sollten Sie die Bearbeitung der Aufgaben, sowie eigenen Anmerkungen und die Definitionen schriftlich festhalten.  


Die Differenzen können auch als <math>\Delta{y} </math>und <math>\Delta{x}</math>geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.
|Lernpfad
 
}}
====='''Beispiele'''=====
[[Datei:BeispielDQ1.png|verweis=https://unterrichten.zum.de/wiki/Datei:BeispielDQ1.png|rand|480x480px]]                [[Datei:Beispiel_2DQ.png|verweis=https://unterrichten.zum.de/wiki/Datei:Beispiel_2DQ.png|rand|450x450px]]
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===='''Die h - Schreibweise'''====
Anstatt die Änderung der y-Werte <math>\Delta{y}=f(x_1)-f(x_0)</math> in Relation zur Differenz <math>\Delta{x}=x_1-x_0</math> zu setzen, kann man den Differenzenquotienten auch wie folgt schreiben: <math>\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
[[Datei:H-Methode_Diff.png|verweis=https://unterrichten.zum.de/wiki/Datei:H-Methode_Diff.png|alternativtext=|rand|zentriert|450x450px]]
 
===='''Die mittlere Änderungsrate'''====
Die mittlere Änderungsrate ist die relative Änderung eines Bestandes in einem gegebenen Intervall. Sie entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte <math>A=(a|f(a))</math> und <math>B=(b|f(b))</math> der Bestandsfunktion <math>f</math> und lässt sich mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnen.
 
[[Datei:Bestandsfunktion.png|verweis=https://unterrichten.zum.de/wiki/Datei:Bestandsfunktion.png|rand|400x400px]]
{| class="wikitable"
|+Beispiele für Bestandsgrößen und deren  Änderungen
!Bestandsgröße
!Zuflüsse
!Abflüse
|-
|Anzahl der Schüler
|Einschulungen
|Schulabgänger
|-
|Treibstoffmenge im Tank
|Tanken an der Tankstelle
|Treibstoffverbrauch
|-
|Kontostand
|Zubuchung
|Abbuchung
|-
|Anzahl der Hotelgäste
|ankommende Gäste
|abreisende Gäste
|-
|Staatsverschuldung
|Staatseinnahmen
|Staatsausgaben
|}
 
====='''Beispiel'''=====
[[Datei:Differenzenquotient_Temp.png|verweis=https://unterrichten.zum.de/wiki/Datei:Differenzenquotient_Temp.png|alternativtext=|rand|rechts|400x400px]]
Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit in 10 Minuten Abständen gemessen.  Die mittlere Änderungsrate der Temperatur im Intervall <math>[a;b]</math>lässt sich nun mit Hilfe des Differenzenquotient berechnen.
 
<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{T(b)-T(a)}{b-a}=\frac{9 C}{20 min}=0,45\frac{C}{min}</math>


Von der zwanzigsten bis zur vierzigsten Minute nimmt die Temperatur also im durchschnitt 0,45 Grad Celsius pro Minute zu. Für die Steigung der Sekante durch die Punkte <math>A=(a|f(a))</math>und <math>B=(b|f(b))</math> gilt in dementsprechend <math>m=0,45</math>.
{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|
[[/Vorwissen|Vorwissen]]<br/>
[[Die Ableitung als lokale Änderungsrate]] <br />
[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als Steigung der Tangente|Die Ableitung als Steigung der Tangente]]<br/>
[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale lineare Approximation|Die Ableitung als lokale lineare Approximation]]<br/>
[[/Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff|Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff]]<br />
[[/Infos für Lehrkräfte|Infos für Lehrkräfte]]}}<br />

Version vom 14. August 2019, 09:22 Uhr

Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff


Lernpfad

Liebe Schülerinnen und Schüler, liebe Lehrkräfte,

Im folgenden Lernpfad werden Sie verschiedene Grundvorstellungen für die Ableitung kennen lernen. Ein Repertoire an verschiedenen Grundvorstellungen, oder auch Deutungsmöglichkeiten für die Ableitung, helfen Ihnen die Ableitung flexibel auf unbekannte Sachaufgaben anzuwenden. Sie werden

  • die Ableitung als lokale Änderungsrate,
  • die Ableitung als Steigung der Tangente,
  • die Ableitung als lokale Approximation und
  • die Ableitung als Verstärkungsfaktor kennen lernen.

Im Lernpfad enthalten ist neben den Entdeckungsmöglichkeiten für die Erarbeitung der Grundvorstellungen ebenso

  • eine Zusammenfassung der Grundvorstellungen
  • eine Zusammenfassung des benötigten Vorwissens
  • eine Handreichung für Lehrkräfte.

Zum späteren Lernen und Reflektieren Ihres Lernprozesses sollten Sie die Bearbeitung der Aufgaben, sowie eigenen Anmerkungen und die Definitionen schriftlich festhalten.

Vorwissen
Die Ableitung als lokale Änderungsrate
Die Ableitung als Steigung der Tangente
Die Ableitung als lokale lineare Approximation
Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff

Infos für Lehrkräfte


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