Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff und Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als Steigung der Tangente: Unterschied zwischen den Seiten
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{{Box|Info|In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als Steigung der Tangente selbst erarbeiten. Tangenten haben Sie bereits in der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit Kreisen kennengelernt. In diesem Abschnitt wird diese bereits vorhandene Vorstellung auf das analytische erweitert. Als Vorwissen sollten Sie über Kenntnisse von '''Sekanten''', '''linearer Funktionen''' und des '''Differenzenquotienten''' verfügen. Sollten die Hilfen auf dieser Seite nicht genügen, wird auf die Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]] verwiesen.|Kurzinfo | |||
}}[[Datei:Tangentensteigung_Bild.png|rand|571x571px]]<br /> | |||
<br /> | ==Die Tangente== | ||
{{ | {{Box|Aufgabe 1|a) In [[/Aufgabe 1a)/|diesem Applet]] sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten <br/> | ||
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
b) Zoomen Sie in [[/Aufgabe 1b)/|diesem Applet]] in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen. <br/> | |||
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
c) Zoomen Sie in [[/Aufgabe 1c)/|diesem Applet]] in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen. <br/> | |||
{{Lösung versteckt|1= Lösung |Merksatz}} | |||
<br/> | |||
d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist. {{Lösung versteckt|1={{Box|Die Tangente als Schmiegegerade|Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet. |Merksatz}}|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode | |||
}} | |||
==Die Steigung einer Sekante== | |||
[[Datei:Beispielbild Sekante.png|rand|459x459px]] | |||
<br />{{Box|Aufgabe 2|a) Geben Sie die Definition einer Sekante, wie Sie sie im obigen Bild zu sehen ist an. <br/> | |||
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
b) Geben Sie an wie sich die Steigung <math>m</math> einer Sekante durch die Punkte <math>P(x_0|f(x_0))</math> und <math>Q(x|f(x))</math> allgemein berechnen lässt. <br/> | |||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Differerenzenquotient Hilfe.png|rand|600x600px]]|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}} | |||
| | c) Berechnen Sie in [[Aufgabe 2 b)|diesem Applet]] die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q. <br/> | ||
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
|Arbeitsmethode | |||
}} | }} | ||
{{ | ==Die Steigung der Tangente== | ||
<br />{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3+x</math>, den festen Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> mit <math>x_0=1</math>und den flexiblen Punkt <math>Q(x|f(x))</math>. | |||
<br/> | |||
[[ | Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P. <br/> | ||
Halten Sie die Schritte in folgender Tabelle schriftlich fest. Entnehmen Sie die benötigten Werte dem Applet. | |||
{{Lösung versteckt|[[/Aufgabe 3 a)|zum Applet]] <ggb_applet id="tgks8yyz" width="400" height="310" /> |2=Tabelle und Applet anzeigen|3=Tabelle und Applet verbergen}} | |||
|Arbeitsmethode | |||
}} | |||
{| class="wikitable" | |||
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Tabelle: Aufgabe 3 | |||
! | |||
!<math>x-x_0</math> | |||
!<math>f(x)-f(x_0)</math> | |||
!<math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> | |||
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|Schritt 1 | |||
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|Schritt 3 | |||
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|Schritt 4 | |||
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<br/> | |||
{{Box|Aufgabe 4| | |||
a) Beschreiben Sie die in Aufgabe 3 neu entstandene Gerade. | |||
b) Wie müssen sie | |||
{{Lösung versteckt|Applets|Applets anzeigen|Applets verbergen}} | |||
|Arbeitsmethode | |||
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Version vom 14. August 2019, 11:56 Uhr
Die Tangente
a) In diesem Applet sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten
b) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.
c) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.
Die Steigung einer Sekante
a) Geben Sie die Definition einer Sekante, wie Sie sie im obigen Bild zu sehen ist an.
b) Geben Sie an wie sich die Steigung einer Sekante durch die Punkte und allgemein berechnen lässt.
c) Berechnen Sie in diesem Applet die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.
Die Steigung der Tangente
Wir betrachten die Funktion , den festen Punkt mit und den flexiblen Punkt .
Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P.
Halten Sie die Schritte in folgender Tabelle schriftlich fest. Entnehmen Sie die benötigten Werte dem Applet.
Schritt 1 | |||
Schritt 2 | |||
Schritt 3 | |||
Schritt 4 |
a) Beschreiben Sie die in Aufgabe 3 neu entstandene Gerade. b) Wie müssen sie