Aktuelle Version vom 18. November 2018, 15:21 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Modellierung im Straßenbau

Mathematische Modellierung im Straßenbau

Vorwort

Diese Facharbeit basiert auf einem Referat, das im Rahmen eines Schülerprojekts im Mathematikleistungskurs angefertigt wurde. In dieser Anwendungsaufgabe sollte an eine rechtwinklige Kreuzung mit hohem Verkehrsaufkommen eine Abbiegespur, die zur Entlastung dient, gebaut werden. Zum Bau dieser Spur gibt es drei Ansätze und zwar, dass die Spur dem Verlauf eines Viertelkreises, einer Parabel oder einer Kosinusfunktion folgen soll. Für jede der drei Alternativen war der Geländebedarf zwischen Spur und Kreuzung zu berechnen.

Beim Anfertigen des Referats kam mir die Idee die Aufgabe zu erweitern mit der weiterführenden Fragestellung, welcher der drei Ansätze die beste Alternative für den Bau einer solchen Abbiegespur darstellt. Somit habe ich die Anwendungsaufgabe, die dazu dient, den Stoff des Mathematikunterrichts - verpackt in die reale Umwelt - zu verinnerlichen, in eine Modellierungsaufgabe umgewandelt, in welcher eine reale Fragestellung mithilfe der Mathematik beantwortet werden soll.^[1]

Die Facharbeit beschränkt sich jedoch nicht nur auf das Lösen dieser Modellierungsaufgabe, sondern ich fand es wichtig, sie mit dem Bezug zur Mathematischen Modellierung zu umrahmen.

So beschreibe ich in der Einführung nach der Aufgabenstellung den Modellierungsprozess, welcher schematisch die Herangehensweise an einen derartigen Aufgabentypus erläutert. Des Weiteren überprüfe ich, inwiefern die hier vorliegende Aufgabe typische Kriterien für Modellierungsaufgaben aufweist.

Im Hauptteil, welcher die Lösung der Modellierungsaufgabe beinhaltet, lege ich besonderen Wert auf die Erläuterung der einzelnen Lösungsschritte, um sie nachvollziehbar zu gestalten.

Der Schlussteil befasst sich zum einen mit der Didaktik der Mathematischen Modellierung, wodurch ich zu erläutern versuche, welcher Lernerfolg bei Schülern durch das Modellieren erzielt wird. Zum anderen möchte ich eigene Erfahrungen beim Modellieren und bei der Erstellung der Facharbeit einfließen lassen.

Einführung: Die Mathematische Modellierung

Aufgabenstelllung

10 m = 1 LE

Vor dieser überlasteten rechtwinkligen Kreuzung in ländlicher Gegend soll eine 3,5 Meter breite Abbiegespur gebaut werden. Hierbei ist zu beachten, dass der Übergang zu beiden Straßenstücken tangential verlaufen muss. Des Weiteren soll der Abstand zwischen Auffahrt (Punkt B) und Abfahrt (Punkt A) 120 Meter (a = 12 LE) betragen.

Für den Bau dieser Abbiegespur stehen folgende Ansätze zur Auswahl:

ein Viertelkreis
eine Parabel zweiter Ordnung
ein Kosinusbogen (Kosinuskurve im Bereich einer halben Periodenlänge)

Anhand dieser Modellierungsaufgabe soll entschieden werden, welcher dieser drei Ansätze für den Bau einer solchen Abbiegespur am besten geeignet ist.

Ablauf des Modellierungsprozesses

Modellieren bedeutet, realistische Sachverhalte und Problemstellungen durch mathematische Überlegungen zu analysieren und somit zu lösen.

Das oben stehende Schaubild ^[2] beschreibt schematisch das Vorgehen bei der mathematischen Modellierung:

Eine realistische Problemstellung ist in den meisten Fällen zu komplex, um darauf direkt Mathematik anwenden zu können. Somit muss die Komplexität der Realität durch ein passendes mathematisches Modell vereinfacht werden, um die reale Fragestellung lösen zu können.

Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung des realen Sachverhaltes, das lediglich die für die Fragestellung relevanten Teilaspekte der Situation, die Entscheidungskriterien, berücksichtigt. Nach der Bearbeitung dieser Entscheidungskriterien, erhält man eine mathematische Lösung, welche interpretiert wird, indem man die einzelnen Entscheidungskriterien miteinander vergleicht und abwägt. Auf diese Weise erhält man eine reale Lösung.

Diese reale Lösung wird schließlich validiert, indem man überprüft, wie genau sie die reale Fragestellung beantworten kann oder inwiefern gewisse Abweichungen entstehen.

Anhand dieser Herangehensweise soll auch die vorliegende Aufgabe gelöst werden.

Kriterien für Modellierungsaufgaben

In folgender Tabelle werden zum einen die Merkmale von Modellierungsaufgaben aufgeführt, zum anderen soll die hier vorliegende Aufgabe auf diese Kennzeichen hin überprüft werden.

Modellierungsaufgaben sind^[3]	Kriterien bezogen auf diese Aufgabe
offen	Im Gegensatz zu konventionellen Aufgaben sind nicht alle Angaben gegegeben, sondern einige müssen durch Recherche selbst eingeholt werden, in diesem Fall z.B. die Straßenbaukosten.
komplex	Es liegt eine komplexe, realistische Problemstellung vor, welche nur mithilfe von Vereinfachungen gelöst werden kann.
realistisch	Der Straßenbau ist eine Thematik mit unverkennbarem Realitätsbezug.
problemhaltig	Es liegt eindeutig eine Problemstellung vor, die es zu lösen gilt.
lösbar durch Ausführen eines Modellierungsprozesses	Diese Aufgabe kann, wie im folgendem beschrieben wird, durch das Aufstellen von Entscheidungskriterien, deren Berechnung und Interpretation gelöst werden.

Hauptteil: Lösung der Modellierungsaufgabe

Aufstellen von Entscheidungskriterien

Durch das Aufstellen von Entscheidungskriterien wird das reale Problem auf die wesentlichen Punkte vereinfacht. Um zu entscheiden, welcher der zur Auswahl stehenden Ansätze am besten geeignet ist, können folgende Kriterien herangezogen werden:

I. Anfallende Kosten

Die Kosten für den Bau einer Abbiegespur setzen sich folgendermaßen zusammen^[4]:

Zum einen ist es notwendig die von Abbiegespur und Kreuzung eingeschlossene Fläche aufzukaufen oder Entschädigungsgelder zu zahlen, zum anderen fallen Kosten für die zu bebauende Straßenfläche an.

Indem die entsprechenden Flächen (der Abbiegespur und der Fläche zwischen Spur und Kreuzung) berechnet werden, können die Kosten für den Bau der Spur anhand von Durchschnittswerten für im Straßenbau anfallende Kosten bzw. für Grunderwerbszahlungen bestimmt werden.

Auf diese Weise wird berechnet, welche der drei Vorschläge für den Bau der Abbiegespur in finanzieller Hinsicht am günstigsten ist.

II. Verkehrstauglichkeit und Sicherheit

Bei der Frage nach dem am besten geeigneten Bauvorschlag genügt es nicht nur finanzielle Gesichtspunkte zu berücksichtigen, sondern es müssen auch die Verkehrstauglichkeit und Sicherheit der Abbiegespur in Betracht gezogen werden. Ein Indiz für die Tauglichkeit einer Abbiegespur ist die Geschwindigkeit, mit welcher diese durchfahren werden kann. Da sich die Kurvenradien im Scheitelpunkt der drei Ansätze unterscheiden, wirken jeweils andere Fliehkräfte auf die Fahrzeuge. Folglich ergeben sich auch unterschiedliche maximale Kurvengeschwindigkeiten für die verschiedenen Spuransätze.

Dieses Entscheidungskriterium ist von Relevanz, da einerseits eine Abbiegespur, in welcher große Fliehkräfte wirken und welche daher nur langsam durchfahren werden kann, recht unzweckmäßig ist. Denn diese Spur ist zur Verkehrsentlastung geplant, weshalb der Verkehr durch die Abbiegespur auch zügig fließen sollte.

Andererseits birgt eine Kurve mit kleinem Radius aufgrund der starken Zentrifugal - bzw. Zentripetalkräfte Gefahren.

Infolgedessen gibt die Berechnung der maximalen Kurvengeschwindigkeit Aufschluss über die Verkehrstauglichkeit und Sicherheit der jeweiligen Abbiegespur.

Berechnung der Entscheidungskriterien

Im folgendem werden die Entscheidungskriterien berechnet, woraufhin diese ihrer Relevanz nach gewichtet und interpretiert werden, um eine Entscheidung treffen zu können, welche Abbiegespur am besten geeignet ist.

Entscheidungskriterium: Kosten für den Bau der Abbiegespur

Zuerst soll die Frage geklärt werden, welcher der drei Ansätze in finanzieller Hinsicht am besten geeignet ist.

Berechnung des Geländebedarfs

Vorüberlegung

Man stellt sich die beiden Straßenstücke der rechtwinkligen Kreuzung als lineare Funktion, f(x) = x und g(x) = -x, vor. Durch den vorgegebenen Abstand von 120 Metern (a = 12LE), können die Punkte (A und B) bestimmt werden, wo die Straßenstücke (f und g) tangential zur Umgehungsstraße (u(x)) verlaufen sollen.

Der Graph der Abbiegespur besitzt somit folgende Eigenschaften:

die Wertepaare: A (-6/6) und B (6/6)
u'(6) = 1 = f'(6) und u'(-6) = -1 = g'(6)
die Periodenlänge (p=2 $\cdot$ 12=24LE; relevant für das Aufstellen der Kosinusfunktion)

Anhand dieser Eigenschaften ist es nun möglich die Gleichung für

die Parabel und
die Kosinusfunktion

aufzustellen.

Als nächster Schritt wird nun anhand der bestimmten Funktionsgleichungen, jeweils die Fläche, die von f(x) bzw. g(x) mit u(x) eingeschlossen wird, durch Integration berechnet.

Die Fläche unterhalb des Viertelkreis kann mithilfe von geometrischen Betrachtungen bestimmt werden.

Bestimmung der Parabel und Integration

Aufstellen der quadratischen Funktion^[5]

$\ p(x) = ax^2+bx+c$ $\qquad \longrightarrow\ \qquad$ ^[6] $\ p'(x) = 2ax+b$

$(I): p(6)=6 \rightarrow\ 6=36a+6b+c$

$(II): p'(6)=1 \rightarrow\ 1=12a+b \rightarrow\ a=\frac{1}{12}$

$\ (III)$ :b fällt weg, da Parabel zweiter Ordnung ohne Verschiebung längs der x-Achse vorliegt ^[7]

$\downarrow\$

$\ (II) in (I): 6=\frac{36}{12}+c \rightarrow\ c=3$

$\ \rightarrow\ p(x)=\frac{1}{12}x^2+3$

Integration
Der Geländebedarf ( $\ A_p$ ) der Abbiegespur in Form der Parabel kann durch folgende Integration bestimmt werden: $\ 2\cdot \int_{0}^{6} (p(x)-f(x))\ \mathrm{d}x =A_p$

(wegen Symmetrie: $\ a_1=a_2$ )

$\ \rightarrow\ A_p=2\cdot \int_{0}^{6}(\frac{1}{12}x^2-x+3)\ \mathrm{d}x = 2\cdot (\frac{1}{12\cdot 3}\cdot 6^3-\frac{1}{2}\cdot 6^2+3\cdot 6) = 6\cdot 2 = 12 FE$

Berechnung der Fläche unterhalb des Viertelkreises

Überlegung

Die Fläche, die von dem Rand des Viertelkreises und von den Kreuzungsstücken eingeschlossen wird kann mithilfe der nebenstehenden Skizze folgendermaßen bestimmt werden:

Man spiegelt $\ r_1$ und $\ r_2$ , die einen rechten Winkel bilden, an $\ d$ und erhält somit die Strecken, $\ r_3$ und $\ r_4$ .

Nun ist leicht zu erkennen, dass die Strecke $\ r=r_1=r_2=r_3=r_4$ den Radius des gesuchten Viertelkreises mit Mittelpunkt $\ M(0/12)$ bildet. (Viertelkreis, da $\ Winkel: BMA=90^\circ)$ .

Bestimmung von r mit dem Satz des Pythagoras^[8]:

$r^2+r^2=d^2 \rightarrow\ r^2=\frac{d^2}{2}\ \Rightarrow\ r= \frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}} =6\sqrt{2}\approx 8{,}485$ .

Berechnung des Geländebedarfs

Die Fläche unterhalb des Kreisbogens ( $\ A_{Kb}$ ) wird berechnet, indem von der Fläche des Quadrats ( $\ A_Q$ ) die Fläche des Viertelkreises^[9] ( $\ A_{Vk}$ ) subtrahiert wird.

$\ \Rightarrow\ A_{Kb}=A_Q-A_v = r^2 - \frac{\pi\cdot r^2}{4}=(6 \sqrt{2})^2-\frac{\pi(6\sqrt {2})^2}{4}=72-18\pi=15,45133\approx 15{,}45FE$

Berechnung des Kosinusbogens und Integration

Bestimmung der Kosinusfunktion

Da für die Berechnung der Kosinuskurve die Grundlagen aus der 10. Klasse notwendig sind, ist unter folgendem Link eine knappe Wiederholung der

allgemeinen Kosinusfunktion^[10]

zu finden.

Um die die Aufgabe zu vereinfachen, ist es vorteilhaft sich für diesen Fall die an der Kreuzung anliegenden Abbiegespur folgendermaßen vorzustellen.

In diesem Fall liegen Auf - bzw Abfahrt auf den Punkten B(6/0) und A(-6/0).

Dies ist daher von Vorteil, da wie aus der Zeichnung hervorgeht, nun keine Verschiebung der Kosinusfunktion längs der y-Achse bzw. x-Achse vorliegt.

Somit ist folgende Funktion zu bestimmen:

$\longrightarrow y = a\cdot cos(b\cdot x)$

Berechnung des Faktors b::

$2\cdot a=2\cdot12LE=24LE=p \rightarrow$ (nach der Formel vom Link): $b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$

Bestimmung des Faktors a:

Dadurch dass an Auf – bzw. Abfahrt die bekannten Steigungen, m = 1 bzw. m = -1, anliegen kann der Parameter a folgendermaßen bestimmt werden:

$\ y = a\cdot cos(b\cdot x) \longrightarrow$ ^[11] $c'(x)=-b \cdot a \cdot sin(b \cdot x)$

$\longrightarrow c'(6)=1 \longrightarrow c'(6)=-\frac{2\pi a}{24} \cdot sin(\frac{2\pi}{24}\cdot 6)=-\frac{2\pi a}{24}\cdot sin(\frac {\pi}{2})=-\frac{2\pi a}{24}\cdot 1=1$

$\longrightarrow a=\frac{-24}{2\pi}=-\frac{12}{\pi}$

$\Longrightarrow c(x)=-\frac{12}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{12}\cdot x)$

Integration der Kosinusfunktion

Für die Bestimmung der Fläche zwischen der Straßenkreuzung und der Abbiegespur ist folgendes Integral zu berechnen:

$A_k=2\cdot \vert\int_{0}^{6} (c(x)-f(x)) dx\vert = 2\cdot \vert\int_{0}^{6} (-\frac{12}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{12}x)-x)dx\vert=2\cdot\vert \int_{0}^{6} (-\frac{12}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{12}x)) dx-\int_{0}^{6}x dx \vert$

Um dieses Integral zu berechnen, wird es in zwei Bereiche aufgeteilt. Somit kann das erste Integral mithilfe einer geeigneten Substitution^[12] und das zweite Integral als Grundintegral ^[13] gelöst werden.

$\Rightarrow$ (I) $\int(-\frac{12}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{12}x))dx=\int -\frac{12^2}{\pi^2}\cdot cos(t)dt=\frac{12^2}{\pi^2}\cdot sin(t)+C=\frac{12^2}{\pi^2}\cdot sin(\frac{\pi}{12}x)+C$

________________________________ $\uparrow$

Substitution:

$g(x)=\frac{\pi}{12}x=t \rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{\pi}{12} \rightarrow dx=\frac {12}{\pi}$

$\Rightarrow$ (II) $\int x dx =\frac{x^2}{2}+C$

$\Rightarrow A_k=2 \cdot \vert \int_{0}^{6} (c(x)-f(x)) dx \vert=2 \cdot \lbrack \frac{12^2}{\pi^2}\cdot sin(\frac{\pi}{12}x)- \frac{x^2}{2} \rbrack_{0}^{6} =2 \cdot \vert (\frac{12^2}{\pi^2}\cdot sin(\frac{\pi}{12} \cdot6)-\frac{36}{2})\vert \approx 2 \cdot 3,4097$ ^[14]

________ $\approx 6,82 FE \Rightarrow A_k \approx 682m^2$

Vergleich der Ansätze

Zum Schluss wird noch der Geländebedarf der drei Möglichkeiten verglichen:

Dazu müssen die die in $FE$ berechneten werden folgendermaßen in $m^2$ umgerechnet werden.

$\ 1\ LE = 10\ m^2 \quad \Rightarrow \quad 1\ FE = (1\ LE)^2=100m^2$

Geländebedarf für:

den Viertelkreis: $A_k = 15,45FE = 1545m^2 \$
die Parabel: $A_p=12FE=1200m^2 \$
die Kosinusfunktion: $A_h=6,82FE=682m^2 \$

Die obige Zeichnung verdeutlicht, dass sich die Ansätze nicht nur durch den benötigten Geländebedarf, sondern auch durch die zu bebauende Straßenfläche voneinander unterscheiden. Daher wird diese Straßenfläche im folgendem berechnet, um Kostenvoranschläge für die verschiedenen Ansätze bestimmen zu können.

Berechnung der Straßenfläche

Vorüberlegung

Ein Straßenrand der geplanten Abbiegspur ist für jeden der drei Ansätze bereits im ersten Teil der Aufgabe berechnet worden.

Um die Straßenfläche zu berechnen, die für den Bau der 3,5m breiten Abbiegespur benötigt wird, muss zuerst eine Funktion aufgestellt werden, deren Verlauf der zweite Straßenrand folgt.

Hat man diesen zweiten Rand, der je nach Ansatz ebenso entweder dem Verlauf einer Parabel, einer Kosinuskurve oder eines Kreises folgt, bestimmt, kann die benötigte Straßenfläche entweder durch Integrationsrechnung oder anhand von geometrischen Überlegungen berechnet werden.

Parabelansatz

Ein Straßenrand ist durch die bereits bestimmte Funktion der Parabel $p_1(x)=\frac{1}{12}x^2+3$ festgesetzt.

Somit ist in möglichst guter Annäherung eine Parabelfunktion $p_2$ zu bestimmen, die im Abstand d = 0,35 zu $p_1$ verläuft. Um die Parameter einer entsprechenden Parabelfunktion der Form $y=ax^2+c$ festzulegen, müssen zwei Punkte gefunden werden, die den Abstand d = 0,35 zu $p_1$ aufweisen.

Dazu ist es sinnvoll den Scheitelpunkt S von $p_1$ und die Auffahrt B oder die Abfahrt A zu wählen, in welchen Punkten die Steigungen (m = 0, m = 1 bzw. m = -1).

Die Steigungen der Tangenten an diesen Punkten sind relevant, da der Abstand d = 0,35 am Lot zur Tangente angetragen werden muss, um die Wertepaare von $p_2$ zu konstruieren.

Bestimmung von A

Indem der Scheitelpunkt S um d = 0,35 entlang der y-Achse nach oben verschoben wird, kann der Punkt A konstruiert werden.

A liegt somit auf

dem Lot zur Tangente an S
auf dem Kreis um S mit r = 0,35.

$\ \rightarrow\ A(0/3,35)$

Bestimmung von B

Der Punkt C der zu aufzustellenden Funktion $p_2(x)$ wird anhand gleicher Vorgehensweise berechnet.

An der Auffahrt(6/6) liegt die Tangente mit der bekannten Steigung m = 1 und somit hat das Lot auf diese Tangente die Steigung m = -1, da:

$m_1\cdot m_2=-1$

Der gesuchte Punkt C kann zum einen, wie die neben stehende Zeichnung verdeutlicht, konstruiert werden.

$\Rightarrow$ liegt C auf

- dem Lot (mit m = -1) zur Tangente an B

- und auf dem Kreis um B mit r = d = 0,35.

Zum anderen können die Koordinaten des Punktes auch mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, da sich in B Lot und Tangente schneiden und dort folglich einen 90°-Winkel bilden.

Durch b und d wiederum gelangt man ausgehend von den Koordinaten des Punktes B zu C.

Rechnung

$b = \sqrt {(r)^2-(d)^2}=\sqrt {(0,35)^2-(0,247487)^2} \approx 0,2475 \approx d$

Beweis für d = B

Das Dreieck BHC ist gleichschenklig, da die Strecke $r_1$ mit $b$ einen 45°-Winkel einschließt (da $m_r=1$ und $m_b=0$ und bei H ein 90°-Winkel vorliegt. Somit ist auch bei C ein 45°-Winkel, wodurch bewiesen ist, dass b und d die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind und somit die gleiche Länge besitzen.

Nun können die Koordinaten von C berechnet werden:

x-Koordinate: B(6/6) wird um b=0,247487 nach rechts verschoben $\rightarrow\ 6-0,247487= 5,7525 = x-Koordinate$

y-Koordinate: B(6/6) wird um d=0,247487 nach oben verschoben $\rightarrow\ 6+0,247487= 6,2474 = y-Koordinate$

Somit kann durch $\ A (0/3,35)$ und $\ C(5,7525/6,2474)$ die gesuchte Funktion der Form $\ y = ax^2+c$ aufgestellt werden:

$\longrightarrow$

$\ I$ __ $3,35=a(0)^2+c \rightarrow c=3,35$

$\ II$ __ $\ 6,2474=a(5,7525)^2+3,35$

$\rightarrow a=\frac{6,2474-3,35}{(5,7525)^2}=0,0875578\approx 0,088$

$\rightarrow p_2(x) =0,0876x^2+3,35$

Integration

Die rote Fläche der Abbiegspur wird berechnet, indem man die Fläche unterhalb des unteren Straßenrandes ( $p_1$ ) von der Fläche unterhalb des oberen Straßenrandes ( $p_2$ ) subtrahiert.

$\rightarrow$

__ $\ A_p=2\cdot \int_{0}^{6}(0,0876x^2+3,35)\,\mathrm{d}x - 2\cdot \int_{0}^{6}(\frac{1}{12}x^2+3)\,\mathrm{d}x=2\cdot [(\frac{0,0876}{3}\cdot (6)^3+3,35\cdot 6)-(\frac{1}{12\cdot 3}\cdot (6)^3+3\cdot 6)]$

______ $\ =2\cdot (26,4072-24)=4,8144 \approx4,81FE$

$\ 1LE=10m, \rightarrow (1LE)^2=100m^2$

$\Rightarrow$ Die Fläche der Abbiegespur, deren Ränder als Parabeln beschrieben werden, beträgt folglich ca. $481m^2$ .

Kreisbogenansatz

Um die Fläche der Abbiegespur zu berechnen, muss wiederum zuerst der zweite Straßenrand bestimmt werden. Beim Kreisbogenansatz folgt dieser dem Verlauf

des Kreises mit dem Radius:

$\ r_2=r_1-d=8,485-0,35=8,135$

Die blaue Fläche zwischen den beiden Viertelkreisen wird berechnet, indem man den kleinen Viertelkreis mit dem Radius, $\ r_2$ , vom Viertelkreis mit dem Radius $r_1$ subtrahiert:

$\Rightarrow$

$\ A_b=\frac{(r_1)^2\cdot \pi}{4}-\frac{(r_2)^2\cdot \pi}{4}= \frac{\pi}{4}\cdot [(r_1)^2-(r_2)^2]$

____ $=\frac{\pi}{4}*(8,485^2-8,135^2)=4,56866\approx4,57$

Da zuvor die Fläche der Abbiegespur beim Parabelansatz durch eine Integrationsrechnung im Intervall [-6 < x < 6] bestimmt wurde,ist es noch nötig die restlichen gelben Flächen, $\ A_g$ , zu $\ A_b$ zu addieren.

Die gelben Flächen kann in sehr guter Annäherung berechnet werden, indem der Teil des Kreisbogens von F bis H von der Strecke [F;H] ersetzt wird, somit kann die Fläche des dadurch entstandenen Dreiecks bestimmt werden. Die für die Rechnung benötigten Strecken können durch die Koordinaten der entsprechenden Punkte errechnet werden.

$\rightarrow$ ____ $\ A_g=2\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$ $\ =\frac{1}{2}\cdot [C;F]\cdot [B;M]$

___________ $\ =2\cdot \frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 0,25$ $\ =2\cdot 0,026=0,125$

_______ $\ A_k=A_b+A_g=4,56866+0,125\approx4,69 FE$

$\rightarrow$ _____ $\ A_k\approx469m^2$

Die Fläche, die für die Abbiegespur bei der Realisierung des Kreisbogenansatzes anfallen würde, beträgt ca. $469m^2.$

Kosinuskurvenansatz

Die Fläche der Abbiegespur beim Kosinuskurvenansatz kann in etwa nach dem Verfahren, das bereits beim Parabelansatz entwickelt wurde, berechnet werden.

Im Vergleich zum Parabelansatz wird allerdings für die Bestimmung der Funktion, $\ y=a\cdot cos(b\cdot x)$ neben einem Wertepaar noch die Periodenlänge für die Berechnung von b (vgl. Parameter b) benötigt.

Bestimmung von $S_2$

Zur Berechnung des Parameters a muss ein Wertepaar der zu bestimmenden Funktion $\ c_2$ bestimmt werden. Dieser Punkt wird nach dem schon bekannten Verfahren konstruiert, indem ein Lot der Länge d = 0,35 auf die Tangente eines Punktes der bekannten Funktion gefällt wird. Dieses Verfahren ist wiederum am leichtesten am Scheitelpunkt $\ S_1$ anzuwenden, dessen Lage zuerst bestimmt werden muss:

$\Rightarrow$

$\ c_2(0)=-\frac{12}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{12}\cdot 0)=-3,81971$

$\Rightarrow$ $\ S_1(0/-3,81971)$

Der Punkt $\ S_2$ , der auf dem zu bestimmenden zweiten Straßenrand liegt, kann nun berechnet werde, indem $\ S_1$ um d = 0,35 nach oben verschoben wird.

y-Koordinate von $S_2$ $=-3,81971+0,35= -3,46971\approx3,47$

$\Rightarrow$ $\ S_2(0/-3,47)$

Bestimmung der Periodenlänge

Die Periodenlänge kann mithilfe einer geogebra-Datei folgendermaßen experimentell bestimmt werden.

Die Ausgangssituation ist, dass bereits der Punkt A durch das schon bekannte Verfahren konstruiert wurde:

A liegt auf

dem Lot mit m = -1, das auf die Tangente der Auffahrt (hier Punkt M) gefällt wurde, und
auf dem Kreis um M mit r = 0,35

Um die Periodenlänge berechnen zu können, muss der Punkt $S_x$ , Schnittpunkt der gesuchten Funktion mit der x-Achse, berechnet werden.

Demzufolge ist der Punkt $S_x$ von $c_2$ zu bestimmen, der

(I) von den Koordinaten von A ausgehend um die Strecke [A;C] nach unten verschoben ist und
(II) wie A den Abstand d = 0,35 zum Punkt M hat.

Dadurch wird deutlich, dass für die Konstruktion von $S_x$ der Punkt M um die Strecke [A;C] (= [C;B]) entlang des Graphen von $c_1$ nach unten verschoben werden muss.

Somit liegt $S_x$ auf dem Schnittpunkt des Kreises um M mit der x-Achse und kann nun vom Konstruktionsblatt abgelesen werden:

$\Rightarrow S_x(0/5,5049)$

Die Strecke vom Ursprung zu stellt, wie anhand der Skizze zu sehen ist, ein Viertel der gesamten Periodenlänge p dar.

$\rightarrow p=4 \cdot 5,5049=22,0186 \approx 22,02$

Aufstellen von $\ c_2$ :

$\ y=a\cdot cos(b\cdot x)$

(I) Bestimmung von b

$\ b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi}{22,02}$

(II) Bestimmung von a

$\ S_2(0/-3,46971)$

$\rightarrow$ $\ c_2(0)=a\cdot cos(0,2885599 \cdot 0)=-3,46971$ $\ a=-3,46971\approx-3,470$ $\Rightarrow$ $\ c_2(x)=-3,47\cdot cos(\frac {2\pi}{22,02} \cdot x)$

Integration

Die Straßenfläche ist, wie die Zeichnung verdeutlicht, durch folgendes Integral zu berechnen:

$A_c = 2\cdot \vert \left [ \int_{0}^{6}(c_2(x)-c_1(x))dx \right] \vert$

$\Rightarrow$

(I) $\int c_1(x) dx = \frac {12^2}{\pi^2} \cdot sin(\frac{\pi}{12}\cdot x)+C$ (vgl. Integrationsverfahren bei der Berechnung des Geländebedarfs)

(II) $\int c_2(x)dx= \int (-3,47 \cdot cos(\frac{2\pi}{22,02}x))dx=-\frac{3,47 \cdot 22,02}{2\pi}\cdot \int cos(t)dt$

__________________________________________.__________ $\uparrow$

Substitution:

$g(x)=\frac{2\pi}{22,02}x=t \rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{2\pi}{22,02} \rightarrow dx=\frac {22,02}{2\pi}$

$=\frac{3,47 \cdot 22,02}{2\pi}\cdot sin(t)+C=\frac{3,47 \cdot 22,02}{2\pi}\cdot sin(\frac{2\pi}{22,02}x)+C$

$\Rightarrow A_c=2\cdot \vert \left [ \int_{0}^{6}(c_2(x)-c_1(x))dx \right] \vert=2\cdot \vert \left [(\frac{3,47 \cdot 22,02}{2\pi}\cdot sin(\frac{2\pi}{22,02}x))-(\frac {12^2}{\pi^2} \cdot sin(\frac{\pi}{12}\cdot x))\right]_{0}^{6}=2\cdot \vert -2,5504\vert$ ^[15]

_______ $= 5,1008 \Rightarrow A_c=510m^2$

Die Fläche der Abbiegespur beträgt beim Kosinuskurvenansatz folglich ca. $510 m^2$

Exkurs in den Straßenbau

Nachdem die Flächenberechnungen abgeschlossen sind, wird nun ein Überblick über die Durchschnittskosten im Straßenbau und für den hierfür benötigten Grunderwerb benötigt. Da die Abbiegespur an einer Kreuzung in ländlicher Gegend geplant ist, müssen die durchschnittlichen Kosten herangezogen werden, die beim Bau einer Bundesstraße entstehen.^[16]

Durchschnittliche Kosten beim Bau einer Bundesstraße (pro m^2)

Die Baukosten einer Bundesstraße (pro $m^2$ ) setzen sich aus folgenden Komponenten zusammen:

Querschnitt einer nach gängigen Richtlinien gebauten Bundesstraße

Fixkosten, welche ca. 20% von II betragen
- Baustelleneinrichtung.
- Planung/Vermessung
Kosten für Decke und Unterbau, ca. 85 €
- Humus-und Bodenabtragung (13 €)
- Frostschutz (20 €)
- Bitumen (30 €)
- Asphalt-Binder (10 €)
- Asphalt-Feinbeton (12 €)
Straßennebeneinbauten, ca.150 €
- Entwässerungschächte-und Einläufe
- Borde bzw. Einbauten zur Begrenzung
- Böschungspflege

$\Rightarrow$ Die Kosten für einen Quadratmeter gebauter Bundesstraße belaufen sich auf ca. 250 Euro.

Kosten für den Grunderwerb

Neben der Straßenfläche muss zum Bau der Abbiegespur noch das Gelände zwischen der Spur und der Kreuzung aufgekauft werden, dessen Fläche für die verschiedenen Ansätze bereits berechnet wurde. Die Kosten, die beim Straßenbau für den Erwerb einer solchen Fläche gezahlt, belaufen sich in ländlicher Gegend auf durchschnittlich 3 € pro $m^2$ .

Ergebnis des Entscheidungskriteriums: Kosten für den Bau der Abbiegespur

Anhand dieser Angaben über Kosten, die im Straßenbau anfallen, und den berechneten Flächen können die Kostenveranschläge für die jeweiligen Ansätze berechnet werden. Die Gesamtkosten setzen sich aus den Zahlungen für den Geländebedarf und den Kosten für den Straßenbau zusammen:

Kosten der Abbiegespur beim:

Kosinuskurvenansatz	Parabelansatz	Viertelkreisansatz
$\ 682\cdot 3\ Euro+510\cdot 250\ Euro$	$\ 1200\cdot 3\ Euro+480\cdot 250\ Euro$	$\ 1545 \cdot 3\ Euro+470 \cdot 250\ Euro$
$\ = \mathbf{129546\ Euro }$	$\ = \mathbf{123600\ Euro}$	$\ =\mathbf{122135\ Euro}$

$\ \Rightarrow$

Durch den Viertelkreisansatz werdem gegenüber dem Parabelansatz ca.1500 Euro und im Vergleich zum Kosinuskurvenansatz ca.7400 Euro eingespart.

Entscheidungskriterium: Zweckmäßigkeit und Sicherheit der Abbiegespur

Das zweite Entscheidungskriterium soll Aufschluss darüber geben, inwiefern die einzelnen Ansätze im Straßenverkehr sicher und für den Gebrauch als Abbiegespur zweckmäßig sind. Als Indiz hierfür werden die Zentrifugal - bzw. Zentripetalkräfte die beim Durchfahren der Spur wirken, berechnet und die maximalen Geschwindigkeiten bestimmt, mit denen die Spur durchfahren werden kann. Zur Berechnung dieser Kurvengeschwindigkeiten sind folgende Kräfte von Bedeutung:^[17]

Beim Durchlaufen einer Kreisbahn greift die nach außen gerichtete Zentrifugalkraft an dem Körper an.

Dieser kann dem Verlauf der Kreisbahn folgen, wenn die Zentripetalkraft der Zentrifugalkraftentgegenwirkt.

Im Straßenverkehr bei der Kurvenfahrt entspricht der Zentripetalkraft die Haftkraft des Fahrzeugs mit dem Fahrbahnbelag.

Zentripetalkraft:

$F_Z=\frac{m \cdot v^2}{r}$

Haftkraft:

$F_{\mathrm{Rmax}} = \mu_{\mathrm{H}} \cdot F_N$

$\ \mu_{\mathrm{H}} \cdot F_N=\frac{m \cdot v^2}{r}$

$\ \mu_{\mathrm{H}}\cdot m\cdot G = \frac{m \cdot v^2}{r}$

$\ \Rightarrow$ $\ v=\sqrt{\mu_ {\mathrm{H}} \cdot g\cdot r}$

Die Zentripetalkraft beschreibt die Kraft, die aufgebracht werden muss, um einen Körper beim Durchlaufen einer Kreisbahn auf dieser zu halten.

Die Kraft die ein Fahrzeug auf der Fahrbahn hält ist die Haftkraft zwischen den Gummireifen und dem Beton.

Durch Gleichsetzen der beiden Kräfte erhält man einen Ausdruck, welcher nach der Geschwindigkeit (v) aufgelöst werden kann. Dadurch wird die maximale Geschwindigkeit bestimmt, mit welcher die Kreisbahn mit dem Radius r durchfahren werden kann.

$\ F_N=m\cdot g$

$\mu_{\mathrm{H}}$ ist die Haftreibungszahl. Diese beträgt für Gummi auf nassem Beton ca. 0,5.

Berechnung von $\ v_{\mathrm{max}}$ beim Viertelkreisansatz

Für den Viertelkreisansatz wurde der Radius ( $r=8.135$ ) des inneren Straßenrandes in einer

früheren Teilaufgabe bereits bestimmt.

$\ \Rightarrow$

$\ v_{\mathrm{maxK}}= \sqrt{9,81 \frac{m}{s^2}\cdot 0,5 \cdot 81,35m}=19,9755\frac{m}{s}\approx72\frac{km}{h}$

Bei regennasser Fahrbahn kann die Spur somit mit maximal $72\frac{km}{h}$ durchfahren werden.

Berechnung von $\ v_{\mathrm{max}}$ beim Parabelansatz

Um zu berechnen mit welcher Höchstgeschwindikgeit die Straße, die dem Verlauf einer Parabel folgt, durchfahren werden kann, ist es nötig den Radius des Kreises, der sich in den Scheitel des Graphen legen lässt, zu finden. Denn dort herrschen die größten Fliehkräfte, da im Kurvenscheitel der Radius am kleinsten ist.

Dieser Radius des Kreises, der sich in den Scheitel der Kurve legen lässt, lässt sich experimentell anhand einer in guter Näherung bestimmen.

In diesem Zeichenblatt wird der Mittelpunkt M eines Kreises entlang der y-Achse verschoben, wobei der Rand des Kreisbogens am Scheitel der Parabel fixiert ist. Dadurch verändert man durch das Verschieben von M den Radius und man kann feststellen, dass sich der Kreis um M bei einem bestimmten Radius in den Scheitel der Parabel legen lässt.

$\ \Rightarrow$ $\ r\approx 60m$ beträgt.

$\ v_{\mathrm{maxP}}=\sqrt{9,81 \frac{m}{s^2}\cdot 0,5 \cdot 60m}=17,1551\frac{m}{s}\approx62\frac{km}{h}$

Die Abbiegespur, die dem Verlauf einer Parabel folgt, kann folglich mit $62\frac{km}{h}$ durchfahren werden.

Berechnung von $\ v_{\mathrm{max}}$ beim Kosinuskurvenansatz

Der Radius des Kreises, der in den Scheitel der Kosinuskurve gelegt werden kann kann durch das gleich Verfahren anhand einer geogebra-Datei bestimmt werden.

$\ \Rightarrow$ $\ r\approx38m$

$\ v_{\mathrm{maxC}}=\sqrt{9,81 \frac{m}{s^2}\cdot 0,5 \cdot 38m}=13,6524\frac{m}{s}\approx49\frac{km}{h}$

Die Kosinuskurve könnte somit mit ca. $49\frac{km}{h}$ durchfahren werden.

Entscheidung durch Interpretation der Entscheidungskriterien

1.Entscheidungskriterium: Kosten der Abbiegespur	2.Etscheidungskriterium Kurvengeschwindigkeit:	Entscheidung der Modellierungsaufgabe
Viertelkreisansatz: $\mathbf{122135\ Euro}$	Viertelkreisansatz: $\mathbf{72km/h}$	1.Entscheidungskriterium Obwohl der Viertelkreisansatz den größten Geländebedarf zwischen Spur und Kreuzung benötigt, ist er dennoch aufgrund der kleinsten zu bebauenden Straßenfläche die kostengünstigste Alternative.
Parabelansatz: $\mathbf{123600\ Euro}$	Parabelansatz: $\mathbf{62km/h}$	2.Entscheidungskriterium Der Viertelkreisansatz bietet die größte Sicherheit und ist für den Bau einer Abbiegespur am zweckmäßigsten aufgrund der geringsten Fliehkräfte .
Kosinusansatz: $\mathbf{129546\ Euro }$	Kosinusansatz: $\mathbf{49km/h}$	$\Rightarrow$ Der Viertelkreisansatz ist für den Bau der Abbiegespur eindeutig am besten geeignet, da er bezüglich beider Entscheidungskriterien die günstigste Alternative darstellt.

Validation

Allerdings wurden, wie es in Modellierungsaufgaben häufig der Fall ist, zur Berechnung der Entscheidungskriterien an manchen Stellen Vereinfachungen, Näherungen oder experimentelle Verfahren angewandt. Deshalb es nötig kritisch darüber zu reflektieren, inwiefern die Ergebnisse der beiden Entscheidungskriterien Aufschluss über das realistische Problem geben können. Hierfür werden zum einen die einzelnen Annäherungen aufgelistet, um zu überprüfen, ob oder inwiefern Abweichungen entstehen, und zum anderen soll gezeigt werden, dass die experimentelle Verfahren zulässige Lösungen liefern:

Entscheidungskriterium: Kosten für den Bau der Spur

(I) Annäherung bei der Berechnung der Straßenfläche beim Viertelkreisansatz

Zur Berechnung des Geländebedarfs beim Viertelkreis wurde, um die gelben Flächen zu berechnen, der Kreisbogen durch eine Strecke angenähert. Bei dieser Vereinfachung können keine schwerwiegenden Abweichungen entstehen, da zum einen die gelben Flächen nur einen sehr kleinen Teil der gesamten Fläche der Abbiegespur darstellen, zum anderen weil sich ein Kreisbogen auf einer kurzen Distanz sehr gut durch eine Gerade annähern lässt(vgl.).

(II) Experimentelles Verfahren zur Bestimmung der Periodenlänge

Um die Funktion des zweiten Straßenrands zur Berechnung der Straßenfläche beim Kosinuskurvenansatz aufzustellen, musste die Periodenlänge der gesuchten Kosinusfunktion bestimmt werden. Hierfür diente ein experimentelles Verfahren (vgl). Dieses Verfahren kann folgendermaßen auf seine Richtigkeit hin überprüft werden.

Es müssen folgende Kriterien erfüllt sein, so dass der Punkt $S_x$ auf der gesuchten Funktion $c_2$ liegt:

$S_x$ muss den Abstand d = 0,35 von $c_1$ aufweisen; erfüllt da, $S_x$ auf dem Kreisbogen um M mit r = 0,35 liegt.

Die beiden Tangenten ( $t_1(x)$ und $t_2(x)$ ) an den Punkten M und $S_x$ müssen die gleiche Steigung besitzen. Denn der Abstand der beiden Punkte und somit der beiden Funktionen ( $c_1$ und $c_2$ ) ergibt sich aus der Länge des gemeinsamen Lotes ( (l(x) ).

Somit ist zu zeigen:l(x)ist senkrecht zu $t_1(x)$

$\Rightarrow$ $m_l \cdot m_{t1}=-1$ ^[18]

Um dies zu zeigen werden folgende Angaben benötigt:

$c^\prime_1=-b \cdot a \cdot sin(b \cdot x)$

$\ S_x(5,5049/0)$

$\ M(5,7525/-0,2475)$

(Die Koordinaten von M werden bestimmt, indem der Punkt (6/0) um b nach unten bzw. entlang der x-Achse nach links verschoben wird: b=0,2475 (vgl.)

$m_{t1}=c^\prime_1(5,7525)=\frac{12}{\pi}\cdot sin(\frac{\pi}{12}\cdot 5,7525)\approx0,9979$

$m = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ $\rightarrow$ $m_l= \frac{y_m-y_s}{x_m-x_s}$ $= \frac{-0,2475-0}{5,7525-5,5049} \approx-0,9996$

$\Rightarrow$ $m_{t1} \cdot m_lm =0,9979\cdot -0,9996=-0,9975\cong -1$

$\Rightarrow$ q.e.d

Der Punkt $\ S_x(5,5049/0)$ erfüllt die erforderlichen Kriterien, um auf auf $c_2$ zu liegen. Somit liefert das experimentelle Verfahren zur Bestimmung der Periodenlänge eine zulässige Lösung.

((III) Annäherung beim Aufstellen der Kosinus – bzw. Parabelfunktion

Für die exakte Berechnung des jeweiligen oberen Straßenrandes müssten Funktionen aufgestellt werden, die während ihres ganzen Verlaufes zum unteren Straßenrand den Abstand d = 0,35 aufweisen. Hierfür wäre es jedoch nötig, unendlich viele Punkte zu berücksichtigen, die den entsprechenden Abstand zu den jeweiligen unteren Straßenrändern aufweisen. Zur Bestimmung der Kosinusfunktion ( $y=a\cdot cos(b\cdot x)$ ) und der Parabelfunktion ( $y=ax^2+c$ ) können aber lediglich zwei Wertepaare berücksichtigt werden, da die Funktionen nur zwei Parameter aufweisen. Die aufgestellten Funktionen stellen aber dennoch gute Annäherungen dar.

Denn zum einen wird durch die Symmetrie noch ein drittes Wertepaar miteinbezogen und zum anderen ist nur das Intervall ( $x\delta[-6;6]$ ) für die Berechnung der Straßenfläche relevant. Folglich sind in diesem kleinen Intervall, sowohl für Parabel-, als auch für die Kosinusfunktion drei Wertepaare festgelegt, die genau den entsprechenden Abstand zum anderen Straßenrand aufweisen. Zwischen diesen Punkten könnte der Abstand zwar vom Sollwert d abweichen, aber anhand von geogebra-Dateien kann gezeigt werden, dass diese Abweichungen sehr gering sind.

In diesen Dateien wird der Mittelpunktes eines Kreises mit r = 0,35 = d entlang des festgelegten Straßenrandes verschoben, wobei man feststellen kann, dass der Kreisbogen im relevanten Intervall den ebenfalls eingezeichneten zweiten Straßenrand weitestgehend berührt.

Für die Berechnung eines Kostenvoranschlages sind also einige Annäherungen zu treffen, so dass gewisse Abweichungen entstehen, da sich der Wert der Straßenfläche bereits bei einer Abweichung von 0,01 FE um einen Meter verändert. Aber wie durch obige Ausführungen und durch die geogebra-Dateien gezeigt wird, wurde mit guten Annäherungen gerechnet, so dass das Ergebnis der Kostenvoranschläge nicht wesentlich verfälscht wird und der Kreisansatz somit eindeutig die finanziell günstigste Option darstellt.

Entscheidungskriterium: Sicherheit und Verkehrstauglichkeit

Anhand dieses Entscheidungskriteriums war zu bestimmen, welche Spur am sichersten beim Durchfahren und am verkehrstauglichsten ist. Hierfür wurden die maximal möglichen Kurvengeschwindigkeiten berechnet und miteinander verglichen.

Zur Berechnung der Geschwindigkeiten diente die Formel, , die durch das Gleichsetzen der Haftkraft und Zentripetalkraft hergeleitet wurde. In der Realität beeinflussen jedoch weitere Komponenten die Kurvengeschwindigkeit. Denn diese hängt unter anderen vom Schwerpunkt des Fahrzeuges und von einer eventuell vorliegenden Kurvenüberhöhung ab^[19].

Allerdings genügt es für diese Modellierungsaufgabe die vereinfachte Beziehung aus Haftkraft und Zentripetalkraft anzuwenden, da in diesem Fall nicht die Exaktheit der Geschwindigkeiten, sondern der Vergleich der Werte untereinander im Vordergrund steht. Folglich ist das Ergebnis des Entscheidungskriteriums aufgrund der einheitlichen Vergleichsbasis als korrekt anzusehen, weshalb der Viertelkreis ebenfalls im Hinblick auf die Verkehrssicherheit und Tauglichkeit die beste Alternative darstellt.

Zusammnfassssung der Validation

Infolgedessen ist der Viertelkreis der beste Ansatz zum Bau dieser Abbiegespur. Allerdings muss berücksichtigt werden, dass diese Option nur unter den gegebenen Angaben, die beste Alternative darstellt. Vor allem die Vorgabe, dass die Spur in ländlicher Gegend geplant ist, begünstigt den Viertelkreis enorm, da dort die durchschnittlichen Zahlungen für den Grunderwerb sehr gering sind, wodurch der große Geländebedarf nur unwesentlich ins Gewicht fällt. In einer Stadt beispielsweise müssen deutlich höhere Grunderwerbszahlungen geleistet werden, weshalb dort wahrscheinlich der Parabel – oder Kosinusansatz bevorzugt werden würde, da diese dort die finanziell günstigeren Optionen darstellen. Außerdem haben in der Baupolitik finanzielle Gesichtspunkte häufig eine höhere Relevanz als Kriterien, die die Verkehrssicherheit und Tauglichkeit betreffen. Doch unter den hier vorliegenden Umständen geht der Viertelkreisansatz in beiden Kriterien als Sieger hervor, weshalb er eindeutig den am besten geeigneten Bauvorschlag darstellt.

Schlussteil:Die Didaktik der Mathematischen Modellierung

Beabsichtigter Lernerfolg bei der Mathematischen Modellierung^[20]

Kompetenzen zur Anwendung der Mathematik: Der Schüler soll dahingeführt werden, dass er mathematische Zusammenhänge in der Umwelt erkennt und somit eine mathematische Denkweise auf alltägliche Problemstellungen übertragen kann.

Erkennen der Mathematik als Wissenschaft: Dem Schüler wird durch das Erkennen und Anwenden der Mathematik in der Umwelt deutlich, dass Mathematik nicht abstrakt und ohne Realitätsbezug ist, sondern dass in verschiedensten Fällen Bezüge zwischen der Mathematik und der Realität hergestellt werden können.

Anwenden von Heuristischen Strategien: Bei der Mathematischen Modellierung werden insbesondere Problemlöse- und Argumentationsfähigkeit geschult. Des weiteren wird ein hohes Maß an Kreativität von den Schülern verlangt, da bei der Modellierung in manchen Fällen die Grenzen der Mathematisierbarkeit erreicht werden, und somit Lösungswege gefunden werden müssen, die über die konventionelle Mathematik hinausgehen.

Motivation zur Beschäftigung mit der Mathematik: Für manche Modellierungsaufgabe ist von den Schülern ein sehr breites Spektrum an mathematischen Inhalten anzuwenden. Dadurch wird das Verständnis und vor allem die Verinnerlichung von mathematischen Inhalten unterstützt.

Eigene Erfahrungen beim Modellieren

Meine Modellierungsaufgabe lässt offensichtlich den Bezug der Mathematik zur realen Umwelt erkennen. Infolgedessen wurde mir deutlich, welch gewichtige Rolle die Mathematik im Straßenbau einnimmt. So habe ich z.B. bei der einen oder anderen Autobahnauffahrt feststellen können, dass beim Bau weniger das Kriterium der Sicherheit im Hinblick auf Kurvenradien und Fliehkräfte gewichtet war, sondern dass vor allem der finanzielle Aspekt wohl mit starker Gewichtung in die Entscheidung einging, was im Gegensatz zu meiner persönlichen Gewichtung der Kriterien steht.

Außerdem wurde mir deutlich, dass beim Bearbeiten der Modellierungsaufgabe die Sprachkompetenz eine große Rolle spielt. Denn um die reale Problemstellung durch Aufstellen von Entscheidungskriterien zu vereinfachen, ist es notwendig die für die Aufgabe relevanten Aspekte zu beschreiben und ihre Bedeutung zu erklären (vgl. Aufstellen von Entscheidungskriterien). Dieser Vorgang ähnelt stark dem Erarbeiten von Argumenten in einer Deutscherörterung, in welcher ebenso für die Entscheidung relevante Aspekte gefunden, diskutiert und gewichtet werden müssen. Demzufolge wird auf gleicher Weise wie bei der mathematischen Modellierung eine Entscheidung getroffen. Dieses Beispiel verdeutlicht, dass die Denk- und Arbeitsweise beim Mathematischen Modellieren auch auf andere Bereiche als ein gewisser Entscheidungsfindungsprozess übertragen werden kann.

Des Weiteren machte ich beim Lösen der Aufgabe die Erfahrung, dass es eine große Herausforderung ist, mathematische Lösungsschritte nachvollziehbar zu verschriftlichen. Es gelingt nämlich nur die eigenen Überlegungen für andere verständlich darzustellen, wenn sie von einem selbst vollkommen verstanden werden. Folglich schult die Mathematische Modellierung die sprachliche und mathematische Genauigkeit.

Überdies ist in meiner Modellierungsaufgabe eine große Bandbreite an mathematischen Inhalten vorzufinden, die sich über die Lerninhalte verschiedener Klassenstufen hinstrecken. So reichen diese von der Anwendung des Satz des Pythagoras, den Eigenschaften von linearen Funktionen, dem Aufstellen von quadratischen Funktion und Kosinusfunktionen, über die Flächenberechnung beim Kreis, den Ableitungsregeln, bis hin zur erweiterten Integralrechnung. Der Einschub über die Eigenschaften von Kosinusfunktion soll als Beispiel dafür dienen, dass es erforderlich war zurückliegenden Unterrichtsstoff für die Lösung der Aufgabe einzubeziehen und hierfür zu wiederholen. Demzufolge musste ich, um die Modellierungsaufgabe lösen zu können, einige mathematische Inhalte auffrischen, und habe mich somit intensiv mit der Mathematik beschäftigt.

Ein weiterer beabsichtigter Lernerfolg ist die Schulung der Kreativität. Ich kann aus eigener Erfahrung bestätigen, dass diese Kreativität in hohem Maße, sowohl gefordert, als auch gefördert wird. Dies wird deutlich, wenn man mein Referat mit der Modellierungsaufgabe vergleicht. Denn bei der Anwendungsaufgabe ist die Mathematik, die hinter der Aufgabe steckt offensichtlich, nachdem der Sachkontext, die „Einkleidung“ entfernt worden ist. Nachdem ich diese Mathematik erkannt hatte, war es mir möglich die Aufgabe relativ problemlos zu lösen. Die Modellierungsaufgabe hingegen ist nicht auf eine bestimmte mathematische Thematik zugeschnitten, weshalb beim Lösen einzelner Teilaufgaben immer wieder neue Probleme auftauchen, die über die konventionelle Mathematik teilweise hinausgehen. Als Beispiel hierfür dient die Berechnung der Straßenfläche, für welche ein zweiter Straßenrand benötigt wird, dessen Graph im gleichen Abstand zum ersten Straßenrand verläuft. Eine solche Aufgabenstellung ist mir persönlich im Mathematikunterricht noch nicht begegnet, und somit war es erforderlich eine eigene Lösungsstrategie zu entwickeln, wie dieser zweite Straßenrand in möglichst genauer Annäherung berechnet werden kann. Doch vor allem bin ich auf die Grenzen der konventionellen Mathematisierbarkeit gestoßen als ich für das zweite Entscheidungskriterium die Kurvenradien bestimmen musste, wofür ich einen heuristischen Lösungsansatz mit geeigneten geogebra-Dateien entwickelt habe.

Diese erforderliche Kreativität machte für mich den Reiz dieser Modellierungsaufgabe aus. Denn ich habe mich vor allem bei Problemen, die auf den ersten Blick mithilfe der herkömmlichen Mathematik nicht lösbar erschienen, sehr lange in die Aufgabe vertieft bis ich beispielsweise durch eine geeignete Annäherung oder durch ein experimentelles Verfahren einen Lösungsweg fand und somit letztendlich die Frage beantworten konnte, welcher Ansatz für den Bau der Abbiegespur am besten geeignet ist.

Quellenangaben

↑ vgl. Maaß Katja, Mathematisches Modellieren – Aufgaben für die Sekundarstufe I, Cornelsen – Verlag, Berlin 2007, Seite 10
↑ Das Schaubild und die sich darauf beziehenden Erläuterungen folgen: Maaß Katja, Mathematisches Modellieren - Aufgaben für die Sekunderstufe I, Cornelsen-Verlag, Berlin 2007, Seite 13
↑ vgl. Maaß Katja, Mathematisches Modellieren - Aufgaben für die Sekunderstufe I, Cornelsen-Verlag, Berlin 2007, Seite 12
↑ gemäß den Schilderungen eines Bauingenieurs mit langjähriger Erfahrung im Straßenbau
↑ vgl. Czech Walter, Herman-Rottmair Ferdinand, Maier Herbert, Mathematik Training – Algebra 9. Klasse, Freising 1996, Seite 84 - 122
↑ vgl. Czech Walter, Training-Mathematik – Infinitesimalrechnung 1 – 11.Klasse, Stark-Verlag Freising 1994,Seite 43
↑ vgl. Czech Walter, Herman-Rottmair Ferdinand, Maier Herbert, Training Mathematik – Algebra 9. Klasse, Freising 1996, Seite 98
↑ vgl. Müller Alfred, Training – Grundwissen – Mathematik – Geometrie – 9. Klasse, Stark-Verlag, Freising 1996, Seite 63-75
↑ vgl. Müller Alfred, Mathematik Training – Geometrie 10. Klasse – 1, Stark-Verlag, Freising 1997, Seite 7
↑ vgl. Müller Alfred, Mathematik Training – Geometrie – 10. Klasse – 2, Stark-Verlag, Freising 1997, Seite 43-51
↑ Arnold Günter, Schwarzberg Julius, Mathematik Training – Analysis 2 – Sek.II, Stark – Verlag, Freising 1995, Seite 7
↑ vgl. Czech Walter, Abitur-Training Mathematik – Analysis – Leistungskurs, Stark-Verlag, Freising 1995, Seite 40-43
↑ vgl. Czech Walter, Abitur-Training Mathematik – Analysis – Leistungskurs, Stark-Verlag, Freising 1995, Seite 40
↑ Berechnung mithilfe eine Computer-Algebra-Systems
↑ Berechnung mithilfe eines Computer-Algebra-Systems
↑ Information über den Straßenbau gemäß Erfahrungswerten eines Bauingenieurs
↑ Vgl. Hammer Karl, Knauth Herbert, Kühnel Siegfried, - Jahrgansstufe 11 – Mechanik Fundamentum, Oldenbourg-Verlag, München 1996, Seite 86 – 95
↑ vgl. Keil Karl-August, Kratz Johannes, Müller Hans, Wörle Karl, Infinitesimalrechnung 1, Bayrischer Schulbuch – Verlag, München 1997, Seite 25-28
↑ Vgl. Hammer Karl, Knauth Herbert, Kühnel Siegfried, - Jahrgansstufe 11 – Mechanik Fundamentum, Oldenbourg-Verlag, München 1996, Seite 93
↑ Die Darstellung folgt Katja Maaß, Mathematisches Modellieren – Aufgaben für die Sekunderstufe I,Cornelsen – Verlag, Berlin 2007, Seite 15 – 16

[1] vgl. Maaß Katja, Mathematisches Modellieren – Aufgaben für die Sekundarstufe I, Cornelsen – Verlag, Berlin 2007, Seite 10

[2] Das Schaubild und die sich darauf beziehenden Erläuterungen folgen: Maaß Katja, Mathematisches Modellieren - Aufgaben für die Sekunderstufe I, Cornelsen-Verlag, Berlin 2007, Seite 13

[3] vgl. Maaß Katja, Mathematisches Modellieren - Aufgaben für die Sekunderstufe I, Cornelsen-Verlag, Berlin 2007, Seite 12

[4] äß den Schilderungen eines Bauingenieurs mit langjähriger Erfahrung im Straßenbau

[5] vgl. Czech Walter, Herman-Rottmair Ferdinand, Maier Herbert, Mathematik Training – Algebra 9. Klasse, Freising 1996, Seite 84 - 122

[6] vgl. Czech Walter, Training-Mathematik – Infinitesimalrechnung 1 – 11.Klasse, Stark-Verlag Freising 1994,Seite 43

[7] vgl. Czech Walter, Herman-Rottmair Ferdinand, Maier Herbert, Training Mathematik – Algebra 9. Klasse, Freising 1996, Seite 98

[8] vgl. Müller Alfred, Training – Grundwissen – Mathematik – Geometrie – 9. Klasse, Stark-Verlag, Freising 1996, Seite 63-75

[9] vgl. Müller Alfred, Mathematik Training – Geometrie 10. Klasse – 1, Stark-Verlag, Freising 1997, Seite 7

[10] vgl. Müller Alfred, Mathematik Training – Geometrie – 10. Klasse – 2, Stark-Verlag, Freising 1997, Seite 43-51

[11] Arnold Günter, Schwarzberg Julius, Mathematik Training – Analysis 2 – Sek.II, Stark – Verlag, Freising 1995, Seite 7

[12] vgl. Czech Walter, Abitur-Training Mathematik – Analysis – Leistungskurs, Stark-Verlag, Freising 1995, Seite 40-43

[13] vgl. Czech Walter, Abitur-Training Mathematik – Analysis – Leistungskurs, Stark-Verlag, Freising 1995, Seite 40

[14] Berechnung mithilfe eine Computer-Algebra-Systems

[15] Berechnung mithilfe eines Computer-Algebra-Systems

[16] Information über den Straßenbau gemäß Erfahrungswerten eines Bauingenieurs

[17] Vgl. Hammer Karl, Knauth Herbert, Kühnel Siegfried, - Jahrgansstufe 11 – Mechanik Fundamentum, Oldenbourg-Verlag, München 1996, Seite 86 – 95

[18] vgl. Keil Karl-August, Kratz Johannes, Müller Hans, Wörle Karl, Infinitesimalrechnung 1, Bayrischer Schulbuch – Verlag, München 1997, Seite 25-28

[19] Vgl. Hammer Karl, Knauth Herbert, Kühnel Siegfried, - Jahrgansstufe 11 – Mechanik Fundamentum, Oldenbourg-Verlag, München 1996, Seite 93

[20] Die Darstellung folgt Katja Maaß, Mathematisches Modellieren – Aufgaben für die Sekunderstufe I,Cornelsen – Verlag, Berlin 2007, Seite 15 – 16

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

@@ Zeile 1.137: / Zeile 1.137: @@
 ==Quellenangaben==
 <references/>
+[[Kategorie:Mathematik]]

Facharbeit: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. November 2018, 15:21 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Modellierung im Straßenbau

Vorwort

Einführung: Die Mathematische Modellierung

Aufgabenstelllung

Ablauf des Modellierungsprozesses

Kriterien für Modellierungsaufgaben

Hauptteil: Lösung der Modellierungsaufgabe

Aufstellen von Entscheidungskriterien

Berechnung der Entscheidungskriterien

Entscheidungskriterium: Kosten für den Bau der Abbiegespur

Berechnung des Geländebedarfs

Berechnung der Straßenfläche

Exkurs in den Straßenbau

Ergebnis des Entscheidungskriteriums: Kosten für den Bau der Abbiegespur

Entscheidungskriterium: Zweckmäßigkeit und Sicherheit der Abbiegespur

Entscheidung durch Interpretation der Entscheidungskriterien

Validation

Schlussteil:Die Didaktik der Mathematischen Modellierung

Beabsichtigter Lernerfolg bei der Mathematischen Modellierung^[20]

Eigene Erfahrungen beim Modellieren

Quellenangaben

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Aktionen

Suche

Navigation

ZUM.de

Hilfen

Werkzeuge

Facharbeit: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. November 2018, 15:21 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Modellierung im Straßenbau

Vorwort

Einführung: Die Mathematische Modellierung

Aufgabenstelllung

Ablauf des Modellierungsprozesses

Kriterien für Modellierungsaufgaben

Hauptteil: Lösung der Modellierungsaufgabe

Aufstellen von Entscheidungskriterien

Berechnung der Entscheidungskriterien

Entscheidungskriterium: Kosten für den Bau der Abbiegespur

Berechnung des Geländebedarfs

Berechnung der Straßenfläche

Exkurs in den Straßenbau

Ergebnis des Entscheidungskriteriums: Kosten für den Bau der Abbiegespur

Entscheidungskriterium: Zweckmäßigkeit und Sicherheit der Abbiegespur

Entscheidung durch Interpretation der Entscheidungskriterien

Validation

Schlussteil:Die Didaktik der Mathematischen Modellierung

Beabsichtigter Lernerfolg bei der Mathematischen Modellierung[20]

Eigene Erfahrungen beim Modellieren

Quellenangaben

Navigationsmenü

Suche

Beabsichtigter Lernerfolg bei der Mathematischen Modellierung^[20]