Extremwertaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen

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==Problemstellung==
 
==Problemstellung==
Onkel Dagobert sieht in einer Zeitung folgenden Artikel:
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Der ''Goldfisch'' in Wermelskirchen möchte wiedereröffnen. Da es sich um einen Raucher-Club handeln soll, hat der neue Inhaber sich überlegt, Streichholzschachteln als Werbung zu nutzen.  Den Großteil seines Geldes hat er bereits in die Sanierung gesteckt, deshalb will er die Streichholzschachteln von seinen Mitarbeitern basteln lassen und zwar mit möglichst wenig Materialverbrauch. In einem Großmarkt hat der Besitzer dementsprechend Pappe und Streichhölzer (4,5cm lang) gekauft.
  
{{Kasten grau|
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Einer der Mitarbeiter kam gestern mit folgender Bastelanleitung zu mir:
'''Großer Wettbewerb:'''<br /><br />
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Kann Gustav Gans es in 15 Jahren schaffen der reichste Bürger Entenhausens zu werden?
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Es heißt, Onkel Dagobert habe nur 1.000.000€ in seinem Speicher und er vermehrt es zur Zeit nicht mehr. Gustav Gans behauptet in einem Interview: „In 15 Jahren habe ich 1.006.440€ auf meinem Konto und bin damit reicher als Dagobert Duck!“ […] Wird Dagobert Duck es schaffen, der reichste Bürger Entenhausens zu bleiben?}}
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(Siehe Aufgabenblatt)
  
Er bekommt von seinen „Sponsoren“ unterschiedlich viel Geld geschenkt plus Angebote für eine Anlage über 5Jahre. Welche der Anlagen kann er wählen, um nach den 5Jahren genug Geld zusammen zu haben, um der reichste Bürger Entenhausens zu bleiben?
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Er fragte mich, wie er aus der Pappe möglichst viele Streichholzschachteln basteln könnte. Als Vorgabe hat er gesagt bekommen, dass das Volumen 25cm³ haben muss. Dann begann er zu singen:
  
Bank 1: Anlage von 3000€ über 15 Jahre zu einem Zinssatz von 5,9%
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"Your stare was holdin', Ripped jeans, skin was showin'
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Hot night, wind was blowin'
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Where you think you're going, baby? "
  
Bank 2: Anlage von 3500€ über 15 Jahre zu einem Zinssatz von 5%
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Gestern habe ich Muffins gebacken.
  
Bank 3: Anlage von 4000€ über 15 Jahre zu einem Zinssatz von 2,7%
 
  
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Könnt ihr ihm helfen, herauszufinden, welche Maße die Streichholzschachtel haben muss?
  
Löse grafisch oder rechnerisch und überprüfe deine Ergebnisse mit dem gestellten GeoGebra Aplett!
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(Die Klebekanten [siehe gestrichelte Linien] werden für die Berechnung nicht weiter berücksichtigt.)
  
==GeoGebra-Datei==
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==Falls du nicht weiterkommst: Hier findest du Hilfen==
<ggb_applet width="1272" height="632"  version="4.0" 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+
  
==Weiterführende Problemstellung==
+
==Hauptbedingung==
 +
{{Lösung versteckt|
 +
<math> O=15a+20b+4ab </math>}}
  
Teste mit dem GeoGebra Aplett verschiedene Werte, Laufzeiten und Prozentsätze für die Geldanlagen.
+
==Nebenbedingung==
Gibt es Besonderheiten, welche dir auffallen?
+
{{Lösung versteckt|
 +
<math> 25=5ab </math>}}
  
 +
==Zielfunktion==
 +
{{Lösung versteckt|
 +
<math> O(a)=15a+100/a+20 </math>}}
  
==Aufgabe 2==
+
==Ableitung==
 +
{{Lösung versteckt|
 +
<math> O'(a)=15-100/a^2 </math>}}
  
 +
==Notwendige Bedingung==
 +
{{Lösung versteckt|
 +
<math> 0=15-100/a^2 </math>
 +
<math> a=2,58cm </math>}}
 +
 +
==Hinreichende Bedingung==
 +
{{Lösung versteckt|
 +
<math> O''(2,58)>0 --> Tiefpunkt </math>}}
 +
 +
==Seitenlänge b und Oberfläche O==
 +
{{Lösung versteckt|
 +
<math> b=1,94cm </math>
 +
<math> O=97,41cm^2 </math>}}
 +
 +
==Randextrema==
 +
{{Lösung versteckt|
 +
<math>Sowohl fuer a gegen 0 als auch fuer a gegen unendlich, geht O(a)
 +
gegen unendlich --> 2,58 ist ein globales Minimum </math>}}
 +
 +
==Visualisiserung zur Überprüfung der Ergebnisse==
 +
Bewege den roten Punkt, um die Größe der Schachtel zu verändern. <ggb_applet width="1280" height="639"  version="4.0" 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==Weiterführende Problemstellung==
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Bastel eine "optimale" Streichholzschachtel.
  
==GeoGebra Aplett Aufgabe 2==
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Überlege: Warum sind Streichholzschachteln in der Realität nicht "optimal"?
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Aktuelle Version vom 22. Oktober 2012, 18:00 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Problemstellung

Der Goldfisch in Wermelskirchen möchte wiedereröffnen. Da es sich um einen Raucher-Club handeln soll, hat der neue Inhaber sich überlegt, Streichholzschachteln als Werbung zu nutzen. Den Großteil seines Geldes hat er bereits in die Sanierung gesteckt, deshalb will er die Streichholzschachteln von seinen Mitarbeitern basteln lassen und zwar mit möglichst wenig Materialverbrauch. In einem Großmarkt hat der Besitzer dementsprechend Pappe und Streichhölzer (4,5cm lang) gekauft.

Einer der Mitarbeiter kam gestern mit folgender Bastelanleitung zu mir:

(Siehe Aufgabenblatt)

Er fragte mich, wie er aus der Pappe möglichst viele Streichholzschachteln basteln könnte. Als Vorgabe hat er gesagt bekommen, dass das Volumen 25cm³ haben muss. Dann begann er zu singen:

"Your stare was holdin', Ripped jeans, skin was showin' Hot night, wind was blowin' Where you think you're going, baby? "

Gestern habe ich Muffins gebacken.


Könnt ihr ihm helfen, herauszufinden, welche Maße die Streichholzschachtel haben muss?

(Die Klebekanten [siehe gestrichelte Linien] werden für die Berechnung nicht weiter berücksichtigt.)

Falls du nicht weiterkommst: Hier findest du Hilfen

Hauptbedingung

 O=15a+20b+4ab

Nebenbedingung

 25=5ab

Zielfunktion

 O(a)=15a+100/a+20

Ableitung

 O'(a)=15-100/a^2

Notwendige Bedingung

 0=15-100/a^2

 a=2,58cm

Hinreichende Bedingung

 O''(2,58)>0 --> Tiefpunkt

Seitenlänge b und Oberfläche O

 b=1,94cm

 O=97,41cm^2

Randextrema

Sowohl fuer a gegen 0 als auch fuer a gegen unendlich, geht O(a) 
gegen unendlich --> 2,58 ist ein globales Minimum

Visualisiserung zur Überprüfung der Ergebnisse

Bewege den roten Punkt, um die Größe der Schachtel zu verändern.

Weiterführende Problemstellung

Bastel eine "optimale" Streichholzschachtel.

Überlege: Warum sind Streichholzschachteln in der Realität nicht "optimal"?

Verfasser

Team.gif
Entstanden unter Mitwirkung von:

Janina Wittenstein