Extremwertaufgaben

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Problemstellung

Der Goldfisch in Wermelskirchen möchte wiedereröffnen. Da es sich um einen Raucher-Club handeln soll, hat der neue Inhaber sich überlegt, Streichholzschachteln als Werbung zu nutzen. Den Großteil seines Geldes hat er bereits in die Sanierung gesteckt, deshalb will er die Streichholzschachteln von seinen Mitarbeitern basteln lassen und zwar mit möglichst wenig Materialverbrauch. In einem Großmarkt hat der Besitzer dementsprechend Pappe und Streichhölzer (4,5cm lang) gekauft.

Einer der Mitarbeiter kam gestern mit folgender Bastelanleitung zu mir:

(Siehe Aufgabenblatt)

Er fragte mich, wie er aus der Pappe möglichst viele Streichholzschachteln basteln könnte. Als Vorgabe hat er gesagt bekommen, dass das Volumen 45cm³ haben muss.

Könnt ihr ihm helfen, herauszufinden, welche Maße die Streichholzschachtel haben muss?

(Die Klebekanten [siehe gestrichelte Linien] werden für die Berechnung nicht weiter berücksichtigt.)

Falls du nicht weiterkommst: Hier findest du Hilfen

Hauptbedingung

 O=15a+20b+4ab

Nebenbedingung

 25=5ab

Zielfunktion

 O(a)=15a+100/a+20

Ableitung

 O'(a)=15-100/a^2

Notwendige Bedingung

 0=15-100/a^2

 a=2,58cm

Hinreichende Bedingung

 O''(3,46)>0 --> Tiefpunkt

Seitenlänge b und Oberfläche O

 b=2,6cm

 O=139,9cm^2

Randextrema

Sowohl fuer a gegen 0 als auch fuer a gegen unendlich, geht O(a) 
gegen unendlich --> 3,46 ist ein globales Minimum

Visualisiserung zur Überprüfung der Ergebnisse

Bewege den roten Punkt, um die Größe der Schachtel zu verändern.

Weiterführende Problemstellung

Bastel eine "optimale" Streichholzschachtel.

Überlege: Warum sind Streichholzschachteln in der Realität nicht "optimal"?

Verfasser

Team.gif
Entstanden unter Mitwirkung von:

Janina Wittenstein