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[[Datei:Tangentensteigung_Bild.png|rand|571x571px]]<br />


==Die Tangente==
==Porsche==
Sie hatten bereits in der Sekundarstufe 1 mit Tangenten zu tun und haben diese im Zusammenhang mit kreisen kennengelernt.{{Box|Aufgabe 1|a) In [[Aufgabe 1a)|diesem Applet]] sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten  <br/>  
Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion <math>s(t)=0,2t^2+4,5t^3</math> beschreiben.
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


b) Zoomen Sie in [[Aufgabe 2a)|diesem Applet]] in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was  Sie sehen. <br/>
[[Datei:Porsche Weg Zeit Kurve.png|mini|alternativtext=|450x450px]]
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


c) Zoomen Sie in [[Aufgabe 1c)|diesem Applet]] in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen. <br/>
:{| class="wikitable"
{{Lösung versteckt|1= Lösung |Merksatz}}
!'''Zeit (Sekunden)'''!!Strecke (Meter)
<br/>
|-
d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist. {{Lösung versteckt|1={{Box|Die Tangente als Schmiegegerade|Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen bezeichnet als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente  |Merksatz}}|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
|0||0
}}
|-
==Die Steigung einer Sekante==
|1||4,7
[[Datei:Sekante Bild.png|rand|459x459px]]
|-
<br />{{Box|Aufgabe 2|a) Wie ist eine Sekante,wie Sie sie im obigen Bild sehen können, definiert? <br/>
|2||19,6
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|-
|3||45,9
|-
|4||84,8
|-
|5||137,5
|-
|6||205,2
|-
|7
|289,1
|-
|8
|390,4
|-
|9
|510,3
|}
 
==Mittlere Änderungsrate==
Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe die [[mittleren Änderungsrate]] in diesem Beispiel zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft.
 
:
{{Box|Aufgabe 1|Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.


b) Berechnen Sie in [[Aufgabe 2 b)|diesem Applet]] die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q. <br/>
a) zwischen Sekunde 1 und 2 <br /> b) zwischen Sekunde 2 und 3 <br /> c) zwischen Sekunde 3 und 4 <br /> d) Notiere deine Schätzung zu welchem Zeitpunkt der Porsche 100 km/h erreicht hat.<br />
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.


c) Stellen Sie die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Steigung von Sekanten auf. <br/>
{{Lösung versteckt|[[/Lösungskontrolle/|zum Applet]]<ggb_applet id="ceu9yjy3" width="50%" height="450" border="8888"></ggb_applet>}}|Arbeitsmethode
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Differerenzenquotient Hilfe.png|rand|600x600px]]|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode
}}
}}


==Die Steigung der Tangente==
<br />
In dieser Aufgabe werden Sie sich die Berechnung der Steigung von Tangenten über den Differenzenquotienten herleiten.
<br />{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3+x</math>, den festen Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> mit <math>x_0=1</math>und den flexiblen Punkt <math>Q(x|f(x))</math>.
<br/>
a) Nähern Sie den Punkt Q so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P. <br/>
Tuen Sie dies indem Sie in 4 Schritten die Größe <math>x-x_0</math> verkleinern.
<br/>
Nutzen Sie hierfür die folgende Tabelle und entnehmen Sie die benötigten Werte dem Applet.
{{Lösung versteckt|[[/Aufgabe 3 a)|Zur Tabelle und zum Applet]] [[Datei: Tabelle Intervallverkleinerung .png|rand|571x571px]]<ggb_applet id="tgks8yyz" width="50%" height="450" border="8888"></ggb_applet>|2=Tabelle und Applet anzeigen|3=Tabelle und Applet verbergen}}


==Momentane Änderungsrate==
{{Box|Aufgabe 2|Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinere dieses. Nutzen Sie hierzu die folgende Tabelle. <br /> a) Verkleinern Sie das Intervall mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest. <br /> b) Schätzen Sie die Geschwindigkeit des Porsches nach 3 Sekunden und begründe Sie Ihre Schätzung.
<ggb_applet id="fmzb7fjd" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet>
c) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.<br /> Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.<br /> d) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden? <br />
e) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?|Arbeitsmethode
}}{{Box|Tangente|Die Geraden, die durch den Punkt P(x0{{!}}f(x0)) verläuft und die gleiche Steigung wie der Graph von f an dieser Stelle hat, nennt man Tangente.|Merksatz
}}


|Arbeitsmethode
==Der Differentialquotient==
}}{{Box|Aufgabe 4|Schätzen Sie in folgenden Applets durch Anlegen eines Stifts auf den Bildschirm die Steigung der Tangente im Punkt P.<br/>
{{Box|Aufgabe 3|a) Schauen Sie sich die Aufgaben zur Intervallverkleinerungen aus Aufgabe 2 erneut an. Notieren Sie wie man die Verkleinerung des Intervalls Differenzenquotienten ausdrücken könnte. Das Ergebnis des neuen Quotienten soll die Steigung der Tangente sein. Hilfe einbauen!
Lassen Sie sich dann die Lösung anzeigen.
{{Lösung versteckt|Applets|Applets anzeigen|Applets verbergen}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}

Version vom 7. Juli 2019, 17:32 Uhr

Porsche

Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion beschreiben.

Zeit (Sekunden) Strecke (Meter)
0 0
1 4,7
2 19,6
3 45,9
4 84,8
5 137,5
6 205,2
7 289,1
8 390,4
9 510,3

Mittlere Änderungsrate

Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe die mittleren Änderungsrate in diesem Beispiel zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft.

Aufgabe 1

Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2
b) zwischen Sekunde 2 und 3
c) zwischen Sekunde 3 und 4
d) Notiere deine Schätzung zu welchem Zeitpunkt der Porsche 100 km/h erreicht hat.
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.

zum Applet
GeoGebra


Momentane Änderungsrate

Aufgabe 2

Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinere dieses. Nutzen Sie hierzu die folgende Tabelle.
a) Verkleinern Sie das Intervall mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest.
b) Schätzen Sie die Geschwindigkeit des Porsches nach 3 Sekunden und begründe Sie Ihre Schätzung.

GeoGebra

c) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.
Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.
d) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden?

e) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?
Tangente
Die Geraden, die durch den Punkt P(x0|f(x0)) verläuft und die gleiche Steigung wie der Graph von f an dieser Stelle hat, nennt man Tangente.

Der Differentialquotient

Aufgabe 3

a) Schauen Sie sich die Aufgaben zur Intervallverkleinerungen aus Aufgabe 2 erneut an. Notieren Sie wie man die Verkleinerung des Intervalls Differenzenquotienten ausdrücken könnte. Das Ergebnis des neuen Quotienten soll die Steigung der Tangente sein. Hilfe einbauen!

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