Main>Jan Wörler |
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| <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
| | {{Lernpfad-Navigation|1= |
| '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div> | | [[Datei:Substitution.png|right|340px]] |
| | '''<big>[[Nullstellen bestimmen|Nullstellen bestimmen]]</big>''' |
| | *[[Nullstellen bestimmen/1. Überblick|Überblick]] |
| | *[[Nullstellen bestimmen/2. Ausklammern|Ausklammern]] |
| | *[[Nullstellen bestimmen/3. Faktorisieren von Polynomen|Faktorisieren von Polynomen]] |
| | *[[Nullstellen bestimmen/4. Erraten von Nullstellen|Erraten von Nullstellen]] |
| | *[[Nullstellen bestimmen/5. Substitution|Substitution]] |
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| == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN ==
| | [[Mathematik-digital |<small>< zurück zu Mathematik-digital.de </small>]] |
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| Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br />
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| '''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen ''negativen'' Stammbruch der Form <math>\textstyle - \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Für diese Art der Exponenten gilt: <math>-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0</math>.
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| === Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===
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| {| cellspacing="10"
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| |- style="vertical-align:top;"
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| | {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
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| Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
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| # Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
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| #* Definitionsbereich
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| #* Symmetrie
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| #* Monotonie
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| #* größte und kleinste Funktionswerte
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| # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
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| :{{Lösung versteckt|
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| :kommt noch
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| }} | | }} |
| }}<br>
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| || <ggb_applet height="300" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" />
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| |}
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| <!--{{ggb|W2_xm1n.ggb|datei}}-->
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| == Exponenten, Brüche und Potenzgesetze ==
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| Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:
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| :''Für eine reelle Zahl <math>a</math> und eine natürliche Zahl <math>n</math> wird definiert:''
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| :<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>
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| Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
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| :<font style="vertical-align:0%;"><math>x^{-\frac 1 n}</math></font><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math>
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| {| cellspacing="10"
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| |- style="vertical-align:top;"
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| | {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
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| Zeige die Richtigkeit folgender Behauptung:<br>
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| ''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion''
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| <math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math>
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| ''den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.''
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| :{{Lösung versteckt|
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| :Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt{x}</math> nur auf IR<sup>+</sup> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>M =</math>''IR<sup>+</sup>''.<br />
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| :Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' auf die Funktion ''f''.}}
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| }}
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| |}
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| == Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen ==
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| === Beispiel ===
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| Es sei <math>f</math> eine Potenzfunktion, definiert durch <math>f(x)=x^{\frac 1 3}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> von <math>f</math> (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von <math>f^{-1}</math> und <math>f(x)=x^{-1}</math>!).
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| <math>f^{-1}</math> ergibt sich aus <math>f</math> durch Auflösen nach <math>x</math>. Es ist:<br />
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| <math>y\,\, =x^{\frac 1 3}, \quad \quad |\,(\,)^3</math><br />
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| <math>y^3 =x^{\frac 3 3} = x. </math>
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| <math>f^{-1}</math> ergibt sich aus <math>f</math> durch Auflösen nach <math>x</math>. Es ist:<br />
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| <math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3} &|&|\,(\,)^3 \\
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| y^3 &=& x^{\frac 3 3} &|& \end{matrix}</math>
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| === Beispiel ===
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| Es sei <math>f</math> eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit Definitionsbereich ID = IR<sup>+</sup>. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math>.
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| Auflösen nach <math>x</math> ergibt:<br />
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| <math>y =x^{- \frac 1 3},</math><br />
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| <math>y^3 =x^{- \frac 3 3} = x^{-1} = \textstyle \frac 1 x, </math><br />
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| <math>x\cdot y^3 = 1,</math><br />
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| <math>x = \textstyle \frac{1}{y^3} = y^{-3}.</math><br />
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| == Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S" ==
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| * Spiegeln
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| * Strecken
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| * Stauchen
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| * Schieben
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| * Superponieren
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| Siehe [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video] auf www.oberprima.com.
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| == APPLET ==
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| <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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| filename="10_axminuas1nc.ggb" />
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| == test zone ==
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| <math>\begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 \\ &=& n^2 + 2n + 1\end{matrix}</math>
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