Zylinder Pyramide Kegel/Rund um den Zylinder und Zylinder Pyramide Kegel/Der Satz von Cavalieri: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
< Zylinder Pyramide Kegel(Unterschied zwischen Seiten)
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Zeile 4: Zeile 4:
|Lernschritte ausblenden
|Lernschritte ausblenden
}}
}}
__NOTOC__
__NOTOC__
[[Datei:Zylinder.jpg|rechts|150px]]
==Zur Person==
 
=='''Hinweise'''==


Es gibt gerade (senkrechte) und schiefe Zylinder:
[[Datei:Bonaventura Cavalieri.jpeg|200px|right]]
<br><br>
<br><br>
[[Datei:Zylinder_gerade_schief.jpg|300px]]
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein <br>
italienischer Mathematiker und Astronom. <br>
Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt) <br>
geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.
<br><br>
<br><br>
Wir betrachten hier zunächst nur gerade Zylinder. Du wirst allerdings im Laufe der Unterrichtsreihe sehen, dass Mantel- und Oberflächeninhalt, sowie das Volumen eines schiefen Zylinders genauso berechnet werden, wie bei einem geraden Zylinder. ''(siehe "Satz von Cavalieri")''
<br>


=='''Wo gibt es überall Zylinder?'''==


{{Box|1=Auf Entdeckung|2=
=='''Erarbeitung des Satzes von Cavalieri'''==
Wo findet man überall zylindrische Formen? Notiere (auf deinem Laufzettel) mindestens 4 verschiedene Gegenstände aus dem Alltag, die die gleiche Form wie ein Zylinder haben können.
|3=Arbeitsmethode}}




=='''Mantelfläche und Mantelflächeninhalt des Zylinders'''==
Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"<br>
[[Datei:Rolle.jpg|150px|right]]


'''Klopapierrollen''' und '''Küchenrollen''' sind '''offene Zylinder''' (ohne Grund- und Deckfläche), d.h. sie bestehen nur aus dem '''Mantel'''eines Zylinders.<br>
Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"


<br>
[[Datei:Zylinder_gerade_geschwungen.jpg|180px|center]]


{{Box|1=Mantelflächeninhalt|2=
<br><br>
Stelle eine Formel für den '''Mantelflächeninhalt''' <math>M_{z}</math> eines Zylinders auf. Gehe dazu schrittweise vor:


a) Stelle dir zunächst vor, du schneidest die Mantelfläche des Zylinders (von oben nach unten) auf und biegst diese zu einer ebenen Fläche. Welche ebene Figur erhältst du dadurch? Überprüfe deine Überlegung mit Hilfe der Klopapierrolle.
{{Box|1=Wer hat nun Recht?|2=
Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!<br>


b)  Der Mantelflächeninhalt ist gleich dem Flächeninhalt der Figur aus a). Stelle nun die Formel zur Berechnung des Mantelflächeninhalts eines Zylinders auf!
Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!
{{Lösung versteckt|1=
Zur Lösung musst du den Buchstabensalat unten sortieren!


<div class="schuettel-quiz">
'''Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:'''<br>
Die Mantelfläche des Zylinders ist ein '''Rechteck'''. Die Breite des Rechtecks entspricht der '''Höhe''' <math>h_{z}</math> des Zylinders. Die Länge des Rechtecks entspricht dem '''Umfang''' der Zylindergrundfläche ('''Kreisumfang'''). Der Mantelflächeninhalt <math>M_{z}</math> ist also das '''Produkt''' aus '''Umfang''' und '''Höhe''' des Zylinders. Nun musst du dies nur noch in die Formelschreibweise übersetzen und die entsprechende Formel für den Zylinderumfang einsetzen.
Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach.
</div>
}}
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}




=='''Oberfläche und Oberflächeninhalt des Zylinders'''==
'''Volumenvergleich von Zylindern 1 '''


{{Box|1=Oberfläche und Körpernetz |2=
*Ziehe an dem grünen Punkt, um den Grundflächeninhalt des zweiten Zylinders zu verändern. 
a) Notiere, aus welchen Flächen sich die'''Oberfläche''' eines Zylinders zusammensetzt.
*Ziehe an dem roten Punkt, um die Höhe des dritten Zylinders zu verändern.


b) Zeichne das Körpernetz [[Inhalt_und_Drumherum/Rund_um_den_Zylinder/Was_war_das_nochmal?|(Was war das nochmal?)]] eines Zylinders mit Radius <math>r_{z}=1cm</math> und Höhe <math>h_{z}=3cm</math>. Beschriftung nicht vergessen!
<ggb_applet id="mpQGZVpe" width="100%" height="450" border="888888" />
{{Lösung versteckt|1=Die Länge des Rechtecks ist gleich dem Umfang des Grundflächenkreises, also <u>nicht beliebig lang</u> zeichnen!
 
|2=Hinweis einblenden|3=Hinweis ausblenden}}
 
{{Lösung versteckt|1=
<br>
[[Datei:Körpernetz_Zylinder_Beschriftung.jpg|center|300px]]
'''Volumenvergleich von Zylindern 2'''
Maße: <math>r_{z}=1cm</math>, <math>h_{z}=3cm</math> und <math>U_{z}=2\pi \cdot 1cm\approx 6,28cm</math>.
*Welche der Zylinder besitzen das gleiche Volumen? Begründe deine Antwort! Nutze dazu die beweglichen Elemente!
}}
|3=Arbeitsmethode}}


<ggb_applet id="W9hf8qwn" width="100%" height="450" border="888888" />


{{Box|1=Oberflächeninhalt des Zylinders|2=
Stelle eine Formel für den '''Oberflächeninhalt''' <math>O_{z}</math> des Zylinders auf. Das Körpernetz des Zylinders hilft dir dabei!
{{Lösung versteckt|1=
<div class="lueckentext-quiz">
Der Oberflächeninhalt berechnet sich durch: <math>O_{z}=</math>'''2'''<math>\cdot </math>'''<math>G_{z}</math>'''+'''<math>M_{z}</math>'''. Die '''Grundfläche''' ist ein '''Kreis''', die '''Mantelfläche''' ein Rechteck. Die Formel für die '''Flächeninhalte''' der einzelnen Teile der Oberfläche kennst du bereits und kannst sie einsetzen.<br>
</div>
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
|3=Arbeitsmethode}}


<br>


=='''Das Volumen des Zylinders'''==
'''Zurück zur Ausgangsfrage:'''Wer hat nun Recht? Peter oder Sandra? Begründe deine Antwort!


{{Box|1=Volumen|2=
Überlege, wie man die Volumenformel des Zylinders von der Volumenformel eines bereits bekannten Körpers ableiten könnte. Stelle die Formel für das '''Zylindervolumen''' auf.


{{Lösung versteckt|1=
<div class="lueckentext-quiz">
Bei einem Zylinder sind, ebenso wie bei einem '''Prisma''', Grund- und Deckfläche '''parallel''' und '''kongruent''' (deckungsgleich) zueinander. Das '''Volumen''' eines Prismas berechnet sich durch '''<math>V=G\cdot h</math>'''. Die '''Grundfläche''' eines Prismas kann auch ein '''beliebiges''' '''n-Eck''' sein.
</div>
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=
"Lösung: Volumenformel des Zylinders"


[[Datei:Annäherung_Zylinder_durch_Prisma.jpg|110px|right]]
{{Box|1=Verallgemeinerung der Erkenntnisse'|2=
Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen. <br>
'''Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...'''


Ein Zylinder hat als Grundfläche einen Kreis, der durch n-Ecke beliebig genau angenähert werden kann. Daher kann man auch den Zylinder durch ein n-seitiges Prisma annähern (s. Abbildung). <br>
{{Lösung versteckt|1=
Somit gilt auch für das Zylindervolumen <math>V_{z}=G_{z}\cdot h_{z}</math>.<br>
Du hast gerade Sachverhalte herausgearbeitet, welche Bonaventura Cavalieri in seinem berühmten (grundlegenden) Satz formuliert hat. Du kannst den Satz in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf S. 22 oder Fokus Mathematik, Ausgabe 2016 auf S. 44 nachlesen und deine Aufzeichnungen - wenn nötig - ergänzen oder berichtigen!
Diese Formel kann nun noch präziser formuliert werden.
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}




==Zusammenfassung==
{{Box|1=Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?|2=
Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.<br>
Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und '''begründe''' deine Antwort!
|3=Arbeitsmethode}}


<u>'''Bemerkung zur Schreibweise:'''</u>
'''Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform'''


Bei Aufgaben, bei denen es nur um Berechnungen am Zylinder geht, benötigt man den Index "Zylinder" oder "Z" (s. Formeln unten) nicht. Allerdings ist ein solcher Index sehr hilfreich bei Aufgaben, bei denen z.B. ein Zylinder und ein Quader berechnet werden sollen. Um die einzelnen Größen (z.B. Höhe h) unterscheiden zu können, fügt man einfach einen entsprechenden Index hinzu (z.B. <math>h_{Q}</math> oder <math>h_{Quader}</math> und <math>h_{z}</math> oder <math>h_{Zylinder}</math>). So behält man den Überblick darüber, was nun berechnet oder eingesetzt werden soll.
<ggb_applet id="r6yKgffu" width="100%" height="450" border="888888" />


 
*Nutze die beweglichen Elemente!
{{Box|1=Merke|2=
*Durch Ziehen an dem orangenen Punkt kannst du auch das dreiseitige gerade Prisma in ein dreiseitiges schiefes Prisma überführen.
<br>
{{Lösung versteckt|1=Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächen'''inhalt''' an!<br>
Ein Zylinder mit dem Radius <math>r_{z}</math> , der Grundfläche <math>G_{z}</math> und der Höhe <math>h_{z}</math> hat das <u>'''Volumen''' <math>V_{z}</math> </u>:
Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre '''Grundflächeninhalte''', ihre '''Höhe''' und die zur Grundfläche parallelen '''Schnittflächen''' in gleicher Höhe gleich groß sind.}}
<br>
<math>V_{z}=G_{z}\cdot h_{z}=\pi r_{z}^{2}\cdot h_{z}</math>
<br><br>
Der <u>'''Mantelflächeninhalt''' <math>M_{z}</math> </u> des Zylinders berechnet sich durch:
<br>
<math>M_{z}=U_{z}\cdot h_{z}=2\pi r_{z}\cdot h_{z}</math>
<br><br>
Für den <u>'''Oberflächeninhalt''' <math>O_{z}</math></u> des Zylinders gilt:
<br>
<math>O_{z}=2G_{z}+M_{z}</math><br><br>
<math>\Rightarrow O_{z}=2\pi r_{z}^{2}+2\pi r_{z}\cdot h_{z}=2\pi r_{z}\cdot (r_{z}+h_{z})</math>
|3=Merksatz}}




=='''Übungsaufgaben'''==
=='''Übungsaufgaben'''==
<br>
{{Box|1=Aufgabe|2=
{{Box|1=Aufgabe 1|2=
Eine Litfaßsäule ist 2,5m hoch und hat eine Werbefläche von 7,5m². Wie groß ist ihr Grundflächeninhalt?
{{Lösung versteckt|1=
Eine Litfaßsäule hat die Form eines Zylinders. Die Werbefläche der Säule entspricht der Mantelfläche des Zylinders. <br>


<u>geg.:</u> M=7,5m²; h=2,5m
Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an! <br><br>
<br>
a)[[Datei:Schiefes_Prisma_Maße.jpg|200px]] b) [[Datei:Geschwungener_Zylinder_Maße.jpg|180px]]
<u>ges.:</u> G
{{Lösung versteckt|1= Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also: <math>V=27000cm^{3}=27dm^{3}</math> <br>
<br>
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also: <math>V\approx 1696,46cm^{3}\approx 1,7dm^{3}</math> <br>
<u>Lösung:</u>    <math>M=2\pi r\cdot h</math>
<span style="color:red">'''Zu deiner Lösung gehört auch der Rechenweg!'''</span>
<br>
<math>\Rightarrow r=\frac{M} {2\pi h} =\frac{7,5m^{2} } {2\pi \cdot 2,5m}=\frac{7,5} {5\pi } m=\frac{1,5} {\pi } m \approx 0,48m</math>
<br>
<math>G=\pi r^{2} =\pi \frac{(1,5m)^{2} } {\pi ^{2} }= \frac{2,25} {\pi } m^{2} \approx 0,72m ^{2}</math>
<br>
Achtung! Nicht mit dem gerundeten Wert für den Radius weiterrechnen, sondern den genauen Wert verwenden!
<br>
<u>Antwort:</u> Der Grundflächeninhalt der Litfaßsäule ist ca. 0,72m².
}}
}}
|3=Üben}}
|3=Üben}}


<br>
{{Box|1=Aufgabe 2|2=
Bei einem Zylinder mit Radius r, Höhe h, Grundfläche G, Volumen V, Mantelflächeninhalt M und Oberflächeninhalt O sind zwei der sechs Größen gegeben. Berechne die fehlenden vier Größen und runde auf zwei Nachkommastellen.<br>
'''Wichtiger Hinweis:''' Rechne mit den <u>genauen</u> Werten weiter. Verwende dazu zunächst <u>nur</u> die Formelschreibweise, stelle die Formelgleichung entsprechend um und vereinfache (wenn möglich). Setze erst danach die entsprechenden Zahlen ein und berechne. <br>
''(Das Umformen von Gleichungen mit Variablen soll dadurch trainiert werden. Bei manchen Aufgaben werden beispielsweise gar keine Längen oder Größen wie Volumen und Radius angegegeben und du musst die entsprechende Formel anhand der Variablen aufstellen und zusammenfassen.)''
:{{{!}}  class="wikitable"
! !!'''r''' !!'''h''' !!'''G''' !!'''V''' !!'''M''' !!'''O'''
{{!}}-
{{!}}  a) {{!}}{{!}} 5,2 cm {{!}}{{!}}  <span style="color:white"> ? ? ? ? </span> {{!}}{{!}}  <span style="color:white"> ? ? ? ? </span> {{!}}{{!}}  0,098 dm³ {{!}}{{!}}  {{!}}{{!}} <span style="color:white"> ? ? ? ? </span> 
{{!}}-
{{!}} b) {{!}}{{!}}  {{!}}{{!}}  {{!}}{{!}}  {{!}}{{!}} 64 dm³ {{!}}{{!}} 0,72 m² {{!}}{{!}}
{{!}}}
Einheiten: '''a)''' in cm (bzw. cm², cm³);    ''' b)''' in dm (bzw. dm², dm³)
{{pdf|Lösung_Berechnungen_rund_um_Zylinder.pdf|Lösungen zu Aufgabe 7}}
|3=Üben}}
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
<u>'''Hausaufgabe für die nächste Stunde'''</u>
Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf Seite 20 folgende Aufgaben:
* Nr.5: Gib das Ergebnis in Zentimeter an!  <br>


* Nr.6: Die Volumen- und Oberflächenberechnung einer der abgebildeten Körper haben wir bereits im Unterricht besprochen. Berechne nun '''zwei''' der restlichen Körper. <br>
{{Box|1=Hausaufgabe für nächste Stunde|2=
Setze auch hier wieder die Zahlen erst ganz am Ende ein, <u>nachdem</u> du die Formel entsprechend umgeformt und weitgehend vereinfacht hast (s. vorherige Aufgabe)!
Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.<br>
 
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde schon anfangen!
''(Du findest unten für alle Körper aus Nr.6 die Lösungen! Du kannst die restlichen Aufgaben somit als Übung für die Klassenarbeit oder die anstehende HÜ nutzen!)''
{{Lösung versteckt|1= Zur Bearbeitung von Nr. 2 hilft dir eventuell die Beispielaufgabe auf Seite 22.
 
|2=Hinweis anzeigen|3=Hinweis einblenden}}
Lösung zu S.20 Nr.5:  {{Lösung versteckt|1=
<u>geg.:</u>
<br><math>h_{z}=15m</math> (benötigt man hier gar nicht!)
<br> <math>d_{z}=1,8m</math> <math>\Rightarrow r_{z}=0,9m=9dm</math>
<br><math>V_{Wasser}=1000l=1000dm^{3}</math>
<br><br>
<u>ges.:</u> <math>h_{Wasser}</math>
<br><br>
<u>Lösung:</u> <br>
<math>V_{Wasser}=\pi r_{z}^{2}\cdot h_{Wasser}</math> <br>
<math>\Rightarrow \frac {V_{Wasser} } {\pi r_{z}^{2} } =h_{Wasser}</math> <br>
<math>\Rightarrow h_{Wasser}=\frac {1000dm^{3} } {\pi \cdot 81dm^{2} } \approx 3,93dm = 39,3cm</math>
<br>
<u>Antwort:</u> Das Wasser steht ca. 39,3cm hoch.


{{pdf|Lösungen_S.20Nr.6.pdf|Lösungen zu S.20 Nr.6}}
'''Zeige die Lösungen deiner Lehrerin.'''
}}
|3=Üben}}
|3=Üben}}
=='''Abschlusstest: Multiple-Choice-Quiz'''==
<div class="multiplechoice-quiz">
1. Der Durchmesser eines Kreises ist…
(!der Radius) (der doppelte Radius) (!die Verbindung zweier Kreispunkte)    (! der halbe Radius) 
2. Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus…
(!zwei beliebigen Kreisen)      (!Dreieck)      (Rechteck)      (!Raute)      (zwei kongruenten Kreisen)
3. Was stellt der Kreis bei einem Zylinder dar?
(Deckfläche)      (!Mantelfläche)      (!Oberfläche)      (Grundfläche)  (!Grundflächeninhalt)
4. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet:
(<math>V=\pi r^{2} \cdot h</math>)      (!<math>V=2\pi r\cdot h</math>)      (<math>V=\frac{1}{4}\pi d^{2} \cdot h</math>)      (<math>V=G\cdot h</math>)
</div>




{{Fortsetzung|weiter=Der Satz von Cavalieri|weiterlink=../Der_Satz_von_Cavalieri}}
{{Fortsetzung|weiter=Rund um die Pyramide|weiterlink=../Rund_um_die_Pyramide}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Zylinder]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Version vom 18. November 2018, 14:06 Uhr

Pyramiden mit verschiedenen Grundflächen.jpg

Zylinder Pyramide Kegel

  1. Einführungstests zu bekannten Inhalten
  2. Rund um den Zylinder
  3. Der Satz von Cavalieri
  4. Rund um die Pyramide
  5. Rund um den Kegel
  6. Zusatzaufgaben
< zurück zu Mathematik-digital.de

Zur Person

Bonaventura Cavalieri.jpeg



Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein
italienischer Mathematiker und Astronom.
Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt)
geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.


Erarbeitung des Satzes von Cavalieri

Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"

Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"


Zylinder gerade geschwungen.jpg




Wer hat nun Recht?

Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!

Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!

Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:

Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach.


Volumenvergleich von Zylindern 1

  • Ziehe an dem grünen Punkt, um den Grundflächeninhalt des zweiten Zylinders zu verändern.
  • Ziehe an dem roten Punkt, um die Höhe des dritten Zylinders zu verändern.
GeoGebra



Volumenvergleich von Zylindern 2

  • Welche der Zylinder besitzen das gleiche Volumen? Begründe deine Antwort! Nutze dazu die beweglichen Elemente!
GeoGebra



Zurück zur Ausgangsfrage:Wer hat nun Recht? Peter oder Sandra? Begründe deine Antwort!



Verallgemeinerung der Erkenntnisse'

Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen.
Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...

Du hast gerade Sachverhalte herausgearbeitet, welche Bonaventura Cavalieri in seinem berühmten (grundlegenden) Satz formuliert hat. Du kannst den Satz in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf S. 22 oder Fokus Mathematik, Ausgabe 2016 auf S. 44 nachlesen und deine Aufzeichnungen - wenn nötig - ergänzen oder berichtigen!


Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?

Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.

Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und begründe deine Antwort!

Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform

GeoGebra
  • Nutze die beweglichen Elemente!
  • Durch Ziehen an dem orangenen Punkt kannst du auch das dreiseitige gerade Prisma in ein dreiseitiges schiefes Prisma überführen.

Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächeninhalt an!

Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre Grundflächeninhalte, ihre Höhe und die zur Grundfläche parallelen Schnittflächen in gleicher Höhe gleich groß sind.


Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an!

a)Schiefes Prisma Maße.jpg b) Geschwungener Zylinder Maße.jpg

Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also:
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also:

Zu deiner Lösung gehört auch der Rechenweg!


Hausaufgabe für nächste Stunde

Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde schon anfangen!

Zur Bearbeitung von Nr. 2 hilft dir eventuell die Beispielaufgabe auf Seite 22.
Zeige die Lösungen deiner Lehrerin.


Rund um die Pyramide
Abgerufen von „https://unterrichten.zum.de/index.php?title=Zylinder_Pyramide_Kegel/Rund_um_den_Zylinder&oldid=72434“