Die Winkelhalbierende und Mathematik-digital/Textaufgaben/Wiederholung - Gleichungen lösen: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:KatharinaP_Agent_Tafel.jpg|rechts]]Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.


<h4><u>Materialien:</u>
*{{pdf|AB1_Winkelhalbierende.pdf |Arbeitsblatt zur Winkelhalbierenden}} und
*[[Bild:Tonpapier.png|30px]] orange-farbenes gleichschenkliges Dreieck (Tonpapier)</h4>


=Die Winkelhalbierende =
Gleichungen wie


x + 8 = 12


<div class="grid">
4x - 5 = 3x + 2 oder auch
<div class="width-1-3">[[Bild:Maxmoritz.jpg|150 px|left]]</div>
<div class="width-1-3">
''Max und Moritz - welch' zwei Knaben,''<br>
''die sich sehr an Scherzen laben,''<br>
''sind an ihrem Lieblingsort,''<br>
''ganz weit von den Eltern fort.''<br>
''Im Dachgeschoss, das ich da mein',''<br>
''fehlt der rechte Lichterschein.''<br>
''Sie beschließen ganz geschwind, ''<br>
''weil sie so geschickt doch sind ''<br>
''mitten in des Daches Gängen ''<br>
''soll die große Lampe hängen.''<br>
</div>
<div class="width-1-3">'''Haus von Max und Moritz <br>mit zwei gleichgeneigten Dachflächen'''<br>
[[Bild:Hausdach.jpg|250px|middle]]
</div>
</div>


(x + 4) · 2 = 3x


nennt man lineare Gleichungen.<br />


{{Box|1=Aufgabe|2=
   
<div class="grid">
  <div class="width-5-6">
# Nimm das [[Bild:Tonpapier.png|20px]] orange-farbene gleichschenklige Dreieck aus Tonpapier zur Hand, das das Dach des Hauses darstellen soll. Wie erhält man experimentell die Position des Lampenseils (beliebige Länge) und der Lampe? Zeichne das Seil und die Lampe auf dem Tonpapier ein!
# Überlege Dir zusammen mit Deinem/r NachbarIn welche Schritte notwendig sind, um das Seil der Lampe zu konstruieren. Zeichne die beiden sich schneidenden Dachflächen auf ein Blatt und konstruiere das Seil! Notiere daneben die einzelnen Schritte die notwendig sind!<br>
# Überprüfe Deine Konstruktionsschritte mit der folgenden Animation der Konstruktion der '''[http://www.hirnwindungen.de/wunderland/grundkons/winkelhalb.html Winkelhalbierenden]'''!</div>
<div class="width-1-6">[[Bild:Tonpapier.png|250px|middle]]</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}


Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.<br />




== Was ist eine Winkelhalbierende? ==
&nbsp;<br />&nbsp;
Das Seil, an dem die Lampe aufgehängt ist, halbiert den Winkel der beiden Dachflächen. Aufgrund welcher geometrischen Eigenschaft der Winkelhalbierenden konntest Du das Seil konstruieren?
 
{|
{{Mathematik|<popup name="Anschauungsbeispiel">
|{{blau |
[[Datei:ChristinaG_Anschauungsbeispiel_1.png]]</popup>}}
<font>'''Definition der Winkelhalbierenden'''</font><br>
 
----
 
Sei ein Winkel &alpha; gegeben mit den beiden Halbgerade g und h als Schenkel. <br>Die Symmetrieachse der beiden Halbgeraden g und h heißt '''Winkelhalbierende w''' des Winkels &alpha;.}}
Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.<br />
|width="30px"|
{{Merke|1=<br />
| <ggb_applet width="350" height="250" filename="Winkelhalbierende.ggb" showResetIcon="true" />
1. Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen<br />
2. Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen<br />
3. x berechnen<br />
4. Probe<br />
5. Lösungsmenge notieren}}
 
&nbsp;<br />&nbsp;
__FORCETOC__
__TOC__
&nbsp;<br />&nbsp;
 
= Anfänger=
 
 
 
{{Übung|Ordne die passenden Gleichungen und Lösungen einander zu.}}
<div class="lueckentext-quiz">
<big>Zuordnung</big><br>
Welche Zahl erfüllt die Gleichung?<br />
{|
| 2 + 4x = 58 || '''14 ()'''
|-
| 2y + ¼ = ¾ || '''0,25 ()'''
|-
| 8 – 2x = 4 || '''2 ()'''
|-
| 2 + z/5 = 1/2 || '''-7,5 ()'''
|-
| 5z - 7 = -2z || '''1 ()'''
|}
</div><br />
 
&nbsp;<br /><br />&nbsp;
 
{{Übung|Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?<br />Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.}}<br />
<quiz display="simple">
{ 2x – y = r  ->  x – y = r/2 }
- Richtig
+ Falsch
 
{ w – 3u = s  ->  3u = s – w }
- Richtig
+ Falsch
 
{ (x- 2)y = u  ->  x – 2 = u/y }
+ Richtig
- Falsch
 
{ x + y/3 = w ->  x + y = 3w }
- Richtig
+ Falsch
</quiz>
 
<br />
 
= Fortgeschrittene=
 
{{Merke-M|Bei folgender Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zu verrechnen!}}
 
{{Übung|Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.}}<br />
 
 
{|width="100%" style="border-style:none"
|7x – 8 – 12 – 3x = 2x
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|x=10}}
|-
|2y – 3y + 5y – 24 = 0
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|y=7}}
|-
|4,5a + 12,5 = 7a
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|a=5}}
|-
|2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|x=12}}
|-
|5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|x=-7}}
|}
|}
<br />


{{Aufgabe|Forme die Formel nach der gesuchten Variable um:}}<br />
{|width="240" style="border-style:none"
|A = ab/2 || b=?
|-
|u = 2a + 2b || b=?
|-
|x/a – b = c || x=?
|}
<br />






'''Notiere auf dem Arbeitsblatt:'''
= Experten =
# Übertrage die Definition der Winkelhalbierenden auf Dein Arbeitsblatt!
<br>
<br>


== Konstruktion der Winkelhalbierenden ==
{{Box|1=Aufgabe - Konstruktionsschritte|2=
# Konstruiere mit Zirkel und Lineal die Winkelhalbierende auf Deinem Arbeitsblatt!
# Notiere die besprochenen '''{{pdf|Konstruktion_Winkelhalbierenden.pdf|Konstruktionsschritte}}''' auf Dein Arbeitsblatt!
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1=Aufgabe - Konstruktion mit Geogebra|2=
'''Auch am Computer kann man eine Winkelhalbierende konstruieren!''' <br><br>
'''Arbeitsauftrag:'''
# Speichere folgende '''{{Ggb|Hausdach2.ggb|GeoGebra-Datei}}''' in Deinem Ordner ab und konstruiere mit Geogebra die Winkelhalbierende!
# Orientiere Dich dabei an den Konstruktionsschritten auf dem Arbeitsblatt!<br>
# Speichere die erstellte Konstruktion unter <<Hausdach_DeinName>> im Klassenverzeichnis ab!
3=Arbeitsmethode}}


{{Aufgabe|Welche Zahl erfüllt die Gleichung?}}<br />
4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7<br />
¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½<br />
10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5<br />
(x – 6)(x + 6) = x(x + 9)<br />


== Quiz zur Winkelhalbierenden ==


{{Box|1=Quiz zur Winkelhalbierenden|2='''Sind die Aussagen wahr oder falsch?''' Beantworte folgende '''[http://inmare.cspsx.de/quiz_wh4.htm Quizfragen]'''.|3=Üben}} 


== Vertiefung bzw. Wiederholung ==
{{Aufgabe|Drücke die Variable x aus:}}<br />
(ax + b)/c = d<br />
ax/c + b = d<br />


''Nachdem nun die Lampe angebracht,''<br>
''wird noch kein Mittagsschlaf gemacht.''<br>
''Max und Moritz schleppen an,''<br>
''drei Teppiche mit Lust und Fun.''<br>
''Diese drei sind rund nicht eckig,''<br>
''und ganz arg bunt und gar nicht fleckig.''<br>
''Für Erwachsene was für ein Kraus,''<br>
''Max rollt alle drei so aus,''<br>
''dass sie sich an beiden Wänden,''<br>
''jeweils mit ihren Kreisrändern befänden.''<br>


<ggb_applet width="550" height="400" filename="Teppiche2.ggb" showToolBar="true" showResetIcon="true" />
{{Aufgabe|In einer Schule gibt es L Lehrer und K Schüler. Was sagt die Gleichung aus?}}<br />
<br>
{{Box|1=Aufgabe|2=
# Positioniere die drei unterschiedlich großen Teppiche in obiger Abbildung so, dass sie die Wände berühren!
# Betrachte die Mittelpunkte der Teppiche! Welche besondere Lage haben die Mittelpunkte der drei kreisförmigen Teppiche?
# Konstruiere in der Geogebra-App eine Halbgerade, auf der alle Mittelpunkte von runden Teppichen liegen, die beide Wände berühren!<ggb_applet height="500" width="625" showMenuBar="false" showResetIcon="true" framePossible="false" enableRightClick="false" filename="Hausdach2.ggb‎" />
# Speichere die Datei unter "Teppich_<<DeinName>>" im Klassenverzeichnis ab!
|3=Arbeitsmethode}}
<br>
<br>


== Weitere Aufgaben und Hausaufgabe ==
K = 12 * L
Schmid A., Weidig I. (Hrsg.): Lambacher Schweizer 7, Mathematik für Gymnasien, Stuttgart 2005:<br>
'''S. 18 / Nr. 3, 5''' und ''' S. 19 / 7'''
<br>
<br>






<div align="center"><font><b>''Dies nun war der erste Streich und der zweite folgt zugleich!''</b></font></div>
<br>


{{Autoren|[[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]]}}


{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
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[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:GeoGebra-Übungen]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Die Winkelhalbierende,Winkelhalbierende,Lernpfad,Mathematik,7. Klasse</metakeywords>

Version vom 26. März 2011, 17:06 Uhr

KatharinaP Agent Tafel.jpg

Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.


Gleichungen wie

x + 8 = 12

4x - 5 = 3x + 2 oder auch

(x + 4) · 2 = 3x

nennt man lineare Gleichungen.


Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.


 
 

Vorlage:Mathematik


Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.

Merke


1. Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen
2. Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen
3. x berechnen
4. Probe

5. Lösungsmenge notieren


 
 

 
 

Anfänger

Übung
Ordne die passenden Gleichungen und Lösungen einander zu.


Zuordnung
Welche Zahl erfüllt die Gleichung?

2 + 4x = 58 14 ()
2y + ¼ = ¾ 0,25 ()
8 – 2x = 4 2 ()
2 + z/5 = 1/2 -7,5 ()
5z - 7 = -2z 1 ()


 

 


Übung
Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?
Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.


1 2x – y = r -> x – y = r/2

Richtig
Falsch

2 w – 3u = s -> 3u = s – w

Richtig
Falsch

3 (x- 2)y = u -> x – 2 = u/y

Richtig
Falsch

4 x + y/3 = w -> x + y = 3w

Richtig
Falsch




Fortgeschrittene

Merke
Bei folgender Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zu verrechnen!


Übung
Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.



7x – 8 – 12 – 3x = 2x
{{{1}}}
2y – 3y + 5y – 24 = 0
{{{1}}}
4,5a + 12,5 = 7a
{{{1}}}
2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8
{{{1}}}
5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24
{{{1}}}




Aufgabe
Forme die Formel nach der gesuchten Variable um:


A = ab/2 b=?
u = 2a + 2b b=?
x/a – b = c x=?



Experten

Aufgabe
Welche Zahl erfüllt die Gleichung?


4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7
¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½
10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5
(x – 6)(x + 6) = x(x + 9)



Aufgabe
Drücke die Variable x aus:


(ax + b)/c = d
ax/c + b = d


Aufgabe
In einer Schule gibt es L Lehrer und K Schüler. Was sagt die Gleichung aus?


K = 12 * L



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