Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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== Einstieg ==
== Einstieg ==
''Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und den Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.''<br />
''Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. Ihre Aufzeichnungen werden am Ende der Reihe eingesammelt.''


==== Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase ====
==== Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase ====
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=====Aufgabe 1.1=====
=====Aufgabe 1.1=====
Skizziert zunächst für die beiden Gefäße '''(siehe Bild <- wird noch eingefügt)''' einen möglichen Verlauf des Füllgraphs in ein Koordinatensystem. Vergleicht eure Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründet eure Skizze.
Skizziert zunächst für die Gefäße einen möglichen Verlauf des Füllgraphen in ein Koordinatensystem. Vergleicht eure Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründet eure Skizze.


=====Experiment=====
=====Experiment=====
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=====Versuchsaufbau=====
=====Versuchsaufbau=====
Im Bild seht ihr den Versuchsaufbau. Bei der Versuchsdurchführung ist es zum einen besonders wichtig, dass der Wasserzufluss immer gleichmäßig ist. Der obere Trichter muss daher immer mit Wasser gefüllt sein, sodass der Zufluss konstant bleibt. Zum anderen muss der „Zeitmesser“ genau beobachten, wann der Wasserspiegel die markierten Höhen erreicht, damit die Messung so exakt wie möglich ist.  
Im Bild seht ihr den Versuchsaufbau. Bei der Versuchsdurchführung ist es zum einen besonders wichtig, dass der Wasserzufluss immer gleichmäßig ist. Der obere Teil des Trichters muss daher immer mit Wasser gefüllt sein, sodass der Zufluss konstant bleibt. Zum anderen muss der „Zeitmesser“ genau beobachten, wann der Wasserspiegel die markierten Höhen erreicht, damit die Messung so exakt wie möglich ist.  


''Achtung: Bei manchen Stoppuhren lassen sich Zwischenzeiten stoppen. Diese liefern für unseren Versuch die genaueren Ergebnisse, müssen aber zunächst noch addiert werden.''
''Achtung: Bei manchen Stoppuhren lassen sich Zwischenzeiten stoppen. Diese liefern für unseren Versuch die genaueren Ergebnisse, müssen aber zunächst noch addiert werden.''
[[Datei:LP_Messbecher.jpg|200px]]


Wenn alle Messdaten in der Tabelle eingetragen sind, könnt ihr euch die dazugehörigen Punkte im Koordinatensystem anzeigen lassen. Markiere als erstes alle Messwerte (Zeit und Höhe). Durch einen Rechtsklick über den markierten Werten kann im erscheinenden Kontextmenü ''Erzeuge - Liste von Punkten'' ausgewählt, sodass die zu den Messwerten gehörigen Punkte im Koordinatensystem erscheinen.
Wenn alle Messdaten in der Tabelle eingetragen sind, könnt ihr euch die dazugehörigen Punkte im Koordinatensystem anzeigen lassen. Markiere als erstes alle Messwerte (Zeit und Höhe). Durch einen Rechtsklick über den markierten Werten kann im erscheinenden Kontextmenü ''Erzeuge - Liste von Punkten'' ausgewählt, sodass die zu den Messwerten gehörigen Punkte im Koordinatensystem erscheinen.
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=====Aufgabe 1.3=====
=====Aufgabe 1.3=====
Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels untersucht werden.
Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels untersucht werden.  


Mit welcher Geschwindigkeit (Höhe/Zeit) steigt der Wasserspiegel zwischen den Höhen
Ist es  möglich, die Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 5s zu ermitteln? Begründet eure Antwort kurz.
[1;2], [4;5] und [5;8]. Berechne die Steiggeschwindigkeit für jedes Intervall. Interpretiere die Ergebnisse mit Blick auf die jeweilige Gefäßform.
 
=====Aufgabe 1.4=====
Ist es  möglich, die Steiggeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu ermitteln? Begründet eure Antwort kurz.


==== Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater ====
==== Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater ====
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[[Datei:LP_Krater.png|400px]]
[[Datei:LP_Krater.png|400px]]


Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?


== Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ==
== Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ==
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[[Datei:VaseFuellvorgang.jpg|130px]]
[[Datei:VaseFuellvorgang.jpg|130px]]


In die abgebildete Vase wird gleichmäßig Wasser eingelassen. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert.
In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.


:{| class="wikitable"
:{| class="wikitable"
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a) in den ersten drei Sekunden<br />
a) in den ersten drei Sekunden<br />
b) zwischen Sekunde 3 und 6<br />
b) zwischen Sekunde 3 und 6<br />
c) zwischen Sekunde 15 und 18<br />
c) zwischen Sekunde 12 und 15<br />
d) zwischen Sekunde 3 und 12<br />
d) zwischen Sekunde 3 und 12<br />
e) in den ersten 18 Sekunden<br />
e) in den ersten 18 Sekunden<br />
}}
}}
:{{Lösung versteckt|1=
 
a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 2,73 cm/s.<br />
<popup name="Lösung">
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,471 cm/s.<br />
a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 0,273 cm/s.<br />
c) Zwischen Sekunde 15 und 18 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 17,58 cm - 12,17 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,389 cm/s zu.<br />
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,47 cm/s.<br />
c) Zwischen Sekunde 12 und 15 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 12,17 cm - 8 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,39 cm/s zu.<br />
d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.<br />
d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.<br />
e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.<br />
e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.<br />
</popup>


}}
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Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der '''momentanen Änderungsrate'''. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in Aufgabe 2.
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der '''momentanen Änderungsrate'''. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in Aufgabe 2.
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{{Aufgaben-M|2|  
{{Aufgaben-M|2|  
Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für Sekunde 12 zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners bzw. PCs die mittlere Änderungsrate ...<br />
Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt <math>t = 12</math> Sekunden  zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners bzw. PCs die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...<br />
a) ... zwischen Sekunde 12 und 15<br />
a) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 13</math> Sekunden<br />
b) ... zwischen Sekunde 12 und 14<br />
b) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,5</math> Sekunden<br />
c) ... zwischen Sekunde 12 und 13<br />
c) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,1</math> Sekunden<br />
d) ... zwischen Sekunde 12 und 12,5<br />
d) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,05</math> Sekunden<br />
e) ... zwischen Sekunde 12 und 12,3<br />
e) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - g), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.<br />  
f) ... zwischen Sekunde 12 und 12,1<br />
g) ... zwischen Sekunde 12 und 12,05<br />
h) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - g), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.<br />  
}}
}}


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:{{Lösung versteckt|1=
<popup name="Lösung">
a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 15 die Höhe 12,167 cm hat. In den drei Sekunden ist es also um 12,167 cm - 8 cm = 4,167 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 4,167 cm : 3 s = 1,389 cm/s.<br />
a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 15 die Höhe 12,167 cm hat. In den drei Sekunden ist es also um 12,167 cm - 8 cm = 4,167 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 4,167 cm : 3 s = 1,389 cm/s.<br />
b) 10,648 cm - 8 cm = 2,648 cm => 2,648 cm : 2 s = 1,324 cm/s<br />
b) 10,648 cm - 8 cm = 2,648 cm => 2,648 cm : 2 s = 1,324 cm/s<br />
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g) 1,204 cm/s<br />
g) 1,204 cm/s<br />
h) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.<br />
h) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.<br />
}}
</popup>
 
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{{Aufgaben-M|3|  
{{Aufgaben-M|3|  
Zeile 132: Zeile 133:
b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.<br />
b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.<br />
}}
}}
:{{Lösung versteckt|1=
<popup name="Lösung">
a)<br />  
a)<br />  
<math>w(12)=0,001(12+8)^3=8</math><br />
<math>w(12)=0,001(12+8)^3=8</math><br />
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=> mittlere Änderungsrate: <math>0,00120006 cm : 0,001 s = 1,20006 cm/s</math><br />
=> mittlere Änderungsrate: <math>0,00120006 cm : 0,001 s = 1,20006 cm/s</math><br />
b) Der Zeitabschnitt für die mittlere Änderungsrate müsste immer kleiner gewählt werden, z.B. zwischen Sekunde 12 und 12,00001 usw.<br />
b) Der Zeitabschnitt für die mittlere Änderungsrate müsste immer kleiner gewählt werden, z.B. zwischen Sekunde 12 und 12,00001 usw.<br />
}}
</popup>
<br />


== Von der Sekanten- zur Tangentensteigung ==
== Von der Sekanten- zur Tangentensteigung ==


===== Barringer-Krater =====
===== Barringer-Krater =====
Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, brachen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.


<br>


Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|k(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|k(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man '''Sekante'''. <br /><math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.
Die ''durchschnittliche'' Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A(x<sub>0</sub>|k(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|k(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man '''Sekante'''. <br /><math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.


{{Aufgaben-M|1|  
{{Aufgaben-M|1|  
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<popup name="Applet">
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{{Aufgaben-M|111|
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Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300|180) und B(400|320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x<sub>0</sub> hinaus fortgesetzt denkt.
Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300<nowiki>|</nowiki>180) und B(400<nowiki>|</nowiki>320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x<sub>0</sub> hinaus fortgesetzt denkt.
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:{{Lösung versteckt|1=
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<math>m=\frac{320-180}{400-300}=\frac{140}{100}=1,4</math>
<math>m=\frac{320-180}{400-300}=\frac{140}{100}=1,4</math>


Dieser Wert ist größer als, das heißt, dass das Raumfahrtzeug diese Steigung nicht mehr bewältigen kann. Es ist aber auch nur die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten A und B und nicht die Steigung im Punkt A, die für das Herauskommen des Fahrzeugs interssant ist.
Dieser Wert ist größer als 1, das heißt, dass das Raumfahrzeug diese Steigung nicht mehr bewältigen kann. Es ist aber auch nur die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten A und B und nicht die Steigung im Punkt A, die für das Herauskommen des Fahrzeugs interssant ist.
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Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.
Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.


Berechnen Sie die Steigugnen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie  für <math>\Delta x </math> und <math>\Delta y</math> aus dem Applet entnehmen können.
Berechnen Sie die Steigungen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie  für <math>\Delta x </math> und <math>\Delta y</math> aus dem Applet entnehmen können.


Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen?
Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen?
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Um zu entscheiden,ob das Fahrzeug aus dem Kater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden.
Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Kater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden.
Wenn  die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.
Wenn  die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.


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Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.


Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n}</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)
Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)


  ''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.''
  ''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.''
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Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der vorherigen Aufgaben.
Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der vorherigen Aufgaben.
}}
}}
 
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:{{Lösung versteckt|1=
<popup name="Lösung">
Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
 
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}}
{| class="wikitable"
 
 
 
:{| class="wikitable"
!'''n''' !! '''h'''  !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
!'''n''' !! '''h'''  !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
|-
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| 5 || 0,00001 || 1,00001 || 2,00001
| 5 || 0,00001 || 1,00001 || 2,00001
|}
|}
 
</popup>
 
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{{Aufgaben-M|7|
{{Aufgaben-M|7|
* ''das gleiche mit einer anderen Funktion''
* ''das gleiche mit einer anderen Funktion''
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{{Aufgaben-M|21|
* Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Raumfahrzeug kommt.
* Bestimmen Sie mit Hilfe des Applets, wie weit das Raumfahrzeug kommt.
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Version vom 1. November 2013, 11:52 Uhr

Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung

Einstieg

Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und den Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.

Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. Ihre Aufzeichnungen werden am Ende der Reihe eingesammelt.

Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase

Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.

Aufgabe 1.1

Skizziert zunächst für die Gefäße einen möglichen Verlauf des Füllgraphen in ein Koordinatensystem. Vergleicht eure Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründet eure Skizze.

Experiment

Mit dem folgenden Experiment werdet ihr eure Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollt ihr gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen. Die Messdaten für die Zeit tragt ihr danach in die untenstehende GeoGebra-Tabelle ein.

Versuchsaufbau

Im Bild seht ihr den Versuchsaufbau. Bei der Versuchsdurchführung ist es zum einen besonders wichtig, dass der Wasserzufluss immer gleichmäßig ist. Der obere Teil des Trichters muss daher immer mit Wasser gefüllt sein, sodass der Zufluss konstant bleibt. Zum anderen muss der „Zeitmesser“ genau beobachten, wann der Wasserspiegel die markierten Höhen erreicht, damit die Messung so exakt wie möglich ist.

Achtung: Bei manchen Stoppuhren lassen sich Zwischenzeiten stoppen. Diese liefern für unseren Versuch die genaueren Ergebnisse, müssen aber zunächst noch addiert werden.

LP Messbecher.jpg

Wenn alle Messdaten in der Tabelle eingetragen sind, könnt ihr euch die dazugehörigen Punkte im Koordinatensystem anzeigen lassen. Markiere als erstes alle Messwerte (Zeit und Höhe). Durch einen Rechtsklick über den markierten Werten kann im erscheinenden Kontextmenü Erzeuge - Liste von Punkten ausgewählt, sodass die zu den Messwerten gehörigen Punkte im Koordinatensystem erscheinen.

GeoGebra Tabelle

<popup name="GeoGebra Tabelle">

GeoGebra

</popup>

Aufgabe 1.2

Vergleicht die Versuchsdaten mit euren Skizzen aus Aufgabe 1 und beschreibt den Verlauf des Füllgraphen. Inwiefern kann man die Form des Gefäßes am Füllgraphen ablesen?

Aufgabe 1.3

Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels untersucht werden.

Ist es möglich, die Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 5s zu ermitteln? Begründet eure Antwort kurz.

Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater

Meteor.jpg


In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.

Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: für

LP Krater.png

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?

Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

Blumenvase

VaseFuellvorgang.jpg

In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.

Zeit (Sekunden) Höhe (cm)
0 0,51
3 1,33
6 2,74
9 4,91
12 8,00
15 12,17
18 17,58

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.

Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Lösung"> a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 0,273 cm/s.
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,47 cm/s.
c) Zwischen Sekunde 12 und 15 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 12,17 cm - 8 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,39 cm/s zu.
d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.
e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.
</popup>



Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in Aufgabe 2.

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>


<popup name="Lösung"> a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 15 die Höhe 12,167 cm hat. In den drei Sekunden ist es also um 12,167 cm - 8 cm = 4,167 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 4,167 cm : 3 s = 1,389 cm/s.
b) 10,648 cm - 8 cm = 2,648 cm => 2,648 cm : 2 s = 1,324 cm/s
c) 1,261 cm/s
d) 1,2302 cm/s
e) 1,218 cm/s
f) 1,206 cm/s
g) 1,204 cm/s
h) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.
</popup>



Vorlage:Aufgaben-M <popup name="Lösung"> a)


=> Höhenzunahme:
=> mittlere Änderungsrate:
b) Der Zeitabschnitt für die mittlere Änderungsrate müsste immer kleiner gewählt werden, z.B. zwischen Sekunde 12 und 12,00001 usw.
</popup>

Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Barringer-Krater

Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, brachen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.


Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A(x0|k(x0)) und B(x1|k(x1)) kann mit berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man Sekante.
ist dann die Sekantensteigung.

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>


<popup name="Lösung">

GeoGebra

</popup>


Vorlage:Aufgaben-M

Dieser Wert ist größer als 1, das heißt, dass das Raumfahrzeug diese Steigung nicht mehr bewältigen kann. Es ist aber auch nur die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten A und B und nicht die Steigung im Punkt A, die für das Herauskommen des Fahrzeugs interssant ist.




Vorlage:Kasten blau

In der Graphik der Lösung der Aufgabe 1 Nummer ändern kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Vorlage:Aufgaben-M


Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Kater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden. Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.


Die weitere Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Berechnung der Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.

Verallgemeinerung

Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.

Vorlage:Aufgaben-M

  • Die Steigung ist (ungefähr) 3.
  • Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
  • Die Steigung ist (ungefähr) 2.




Vorlage:Aufgaben-M

  • Die Steigung ist .
  • Wählt man , so ergibt sich .
  • Wenn man x1 sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.

Vorlage:Kasten blau




Anstatt x1 immer mehr x0 anzunähern, kann man auch die Differenz klein werden lassen. Es ist dann .

Vorlage:Aufgaben-M

GeoGebra



GeoGebra



Vorlage:Untersuchen Vollziehen sie im Applet den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?


  • Sekantensteigung
  • Man würde durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.



Vorlage:Aufgaben-M
<popup name="Lösung"> Die Sekantensteigung ist . Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)

n h x1 Sekantensteigung m
0 1 2 3
1 0,1 1,1 2,1
2 0,01 1,01 2,01
3 0,001 1,001 2,001
4 0,0001 1,0001 2,0001
5 0,00001 1,00001 2,00001

</popup>
Vorlage:Aufgaben-M

Differenzenquotient

Vorlage:Aufgaben-M
Farm-Fresh plenumPlenumsphase

Differentialquotient

Vorlage:Kastendesign1


Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.



GeoGebra



Vorlage:ProtokollierenSchreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.


Vorlage:Aufgaben-M


Andere Schreibweise:

Statt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte immer kleiner werden lassen.

Vorlage:Aufgaben-M



Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.



GeoGebra



Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.



Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) berechnen.

Vorlage:Aufgaben-M

Ableitungsfunktion

Vorlage:Aufgaben-M



Vorlage:Aufgaben-M

GeoGebra



Vorlage:Mathematik

Beispiel- und Vertiefungsaufgaben aus dem jeweiligen Lehrbuch zur Übung bzw. Hausaufgabe


Vorlage:Aufgaben-M

Diagnoseinstrument