Mathematik-digital und Mathematik-digital/Textaufgaben/Wiederholung - Gleichungen lösen: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Karl Kirst
 
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<div class="rahmen">
[[Datei:KatharinaP_Agent_Tafel.jpg|rechts]]Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.
[[Datei:Mathematik-digital Logo4.png|100px|left|link=]]  
<span style="font-size:28pt;">Lernpfade</span>


<span style="font-size:14pt;">'''Interaktive Unterrichtseinheiten'''</span>
[[Datei:OER-Award 2017 - Nominiert.png|rechts|mini|120px|link=https://open-educational-resources.de/veranstaltungen/17/award/ OER-Award 2017|Nominiert für den OER-Award 2017 in der Kategorie "'''Qualität für OER'''".]]
Die Lernpfade sind im Wiki erstellt und daher leicht veränderbar. Sie können jederzeit der individuellen Unterrichtssituation angepasst werden.


Wiki-Lernpfade eignen sich hervorragend zum computergestützten eigenverantwortichen Lernen. Inhalte können selbst erarbeitet oder geübt und gefestigt werden, sowohl im Unterricht als auch zu Hause. Die in die Lernpfade eingebauten automatisierten Auswertungen der Schülereingaben bieten diesen die Möglichkeit der Selbstkontrolle.
Gleichungen wie


Die  [http://www.mathematik-digital.de/ '''Linkdatenbank von Mathematik-digital.de''']  ist nach Klassenstufen und Lehrplanthemen geordnet. Damit soll  zu jedem Thema des Lehrplans eine Art „Best of“-Liste von Materialien im Internet zur Verfügung stehen.
x + 8 = 12


<small><center>[[Mathematik-digital/Informationen|Informationen]] | [[{{BASEPAGENAME}}/Lernpfade erstellen|Lernpfade erstellen]]  </center></small>
4x - 5 = 3x + 2 oder auch


</div>
(x + 4) · 2 = 3x


{{Box-spezial
nennt man lineare Gleichungen.<br />
|Titel= Aktuelle Lernpfade
|Inhalt=
:[[Nullstellen bestimmen|Nullstellen bestimmen]]
:[[Einführung in die Negativen Zahlen]]
:[[Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung|Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
:[[Quadratische Funktionen erkunden|Quadratische Funktionen erkunden]]
:[[Sinus- und Kosinusfunktion|Sinus- und Kosinusfunktion]]
:[[Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]
|Farbe= #f19a50       
}}




Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.<br />


{{Box-spezial
|Titel= Klasse 5
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
:[[Römische Zahlen|Römische Zahlen ]]  <small>[[Infoblatt Lernpfad Roemische Zahlen.pdf|Infoblatt Lernpfad Römische Zahlen {{icon-pdf}}]] </small>
:[[Figuren im Koordinatensystem]]
:[[Achsensymmetrie]]
:[[Rechteck - Flächeninhalt und Eigenschaften]]
:[[Flächeninhalt des Rechtecks]] <small>{{pdf|Infoblatt Lernpfad Rechteck.pdf|Infoblatt Lernpfad (Rechteck)}}</small>
:[[Flächeninhalt eines Rechtecks]]
:[[Flächeninhalt eines Rechtecks - Aufgaben]]


</div>
&nbsp;<br />&nbsp;
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


:[[Figuren im Koordinatensystem]]
{{Mathematik|<popup name="Anschauungsbeispiel">
::[[Datei:Schatzkarte.jpg|200px]]
[[Datei:ChristinaG_Anschauungsbeispiel_1.png]]</popup>}}


</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #d1dd85       
}}


Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.<br />
{{Merke|1=<br />
1. Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen<br />
2. Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen<br />
3. x berechnen<br />
4. Probe<br />
5. Lösungsmenge notieren}}


{{Box-spezial
&nbsp;<br />&nbsp;
|Titel= Klasse 6
__FORCETOC__
|Inhalt=
__TOC__
<div class="grid">
&nbsp;<br />&nbsp;
<div class="width-2-3">
:[[Grundwissen - Brüche]]
:[[Bruchteile bestimmen]]
:[[Kürzen von Brüchen]]
:[[Erweitern von Brüchen]]
:[[Größenvergleich von Brüchen]]
:[[Teilbarkeitsregeln]]
:[http://dmuw.zum.de/wiki/Lernpfade/Achsenspiegelung Achsenspiegelung] <small> im DMUW-Wiki</small>
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


:[[Erweitern von Brüchen]]
= Anfänger=
:[[Datei:Comic Frage.gif|200px]]


</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #d1dd85     
}}




{{Übung|Löse die Aufgaben in deinem Übungsheft. Schreibe die Lösungen anschließend in die Kästchen.}}
<div class="lueckentext-quiz">
Welche Zahl erfüllt die Gleichung?<br />
{|
| 2 + 4x = 58 || '''14 ()'''
|-
| 2y + ¼ = ¾ || '''0,25 ()'''
|-
| 8 – 2x = 4 || '''2 ()'''
|-
| 2 + z/5 = 1/2 || '''-7,5 ()'''
|-
| 5z - 7 = -2z || '''1 ()'''
|}
</div><br />


{{Box-spezial
&nbsp;<br /><br />&nbsp;
|Titel= Klasse 7
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
:[[Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Lot]]
:[http://rmg.zum.de/wiki/Lernpfad_Terme Lernpfad Terme]<small> im RMG-Wiki</small>
:[[Textaufgaben]] (Textgleichungen mit einer Variablen)
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


</div>
{{Übung|Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?<br />Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.}}<br />
</div> <!-- End .grid -->
<quiz display="simple">
|Farbe= #d1dd85       
{ 2x – y = r  <br />  x – y = r/2 }
}}
- Richtig
+ Falsch


{ w – 3u = s  <br />  3u = s – w }
- Richtig
+ Falsch


{ (x- 2)y = u  <br />  x – 2 = u/y }
+ Richtig
- Falsch


{{Box-spezial
{ x + y/3 = w  <br /> x + y = 3w }
|Titel= Klasse 8
- Richtig
|Inhalt=
+ Falsch
<div class="grid">
</quiz>
<div class="width-2-3">
:[[Vera 8 interaktiv/Mathematik/Test A|Vera 8 Test A]] - [[Vera_8_interaktiv/Mathematik/Test_B|Vera 8 Test B]] - [[Vera_8_interaktiv/Mathematik/Test_C|Vera 8 Test C]]
:[[Jahrgangsstufentest/BMT8_2011|BMT8 2011]] - [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2008|BMT8 2008]] - [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2007|BMT8 2007]]
:[[Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung|Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
:[[Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen]]
:[[Lineare Funktionen]]
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


:[[Datei:Mathematik-digital Pfeil-3d.png|14px]] [[Vera 8 interaktiv/Mathematik/Test A|Vera 8 Test A]]
<br />
:[[Datei:AufgabeA29 Spiegelung.jpg|150px]]


<div id="ggbContainerbf08f431cc93a1815077e8251eee0ded"></div>
= Fortgeschrittene=


</div>
{{Merke-M|Bei der folgenden Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zusammenfassen!}}
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #d1dd85       
}}


{{Übung|Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.}}<br />




{{Box-spezial
{|width="100%" style="border-style:none"
|Titel= Klasse 9
|7x – 8 – 12 – 3x = 2x
|Inhalt=
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=10</math>}}
<div class="grid">
|-
<div class="width-2-3">
|2y – 3y + 5y – 24 = 0
:{{Lernpfadlink-M-digital|Rechnen mit Quadratwurzeln}}
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>y=6</math>}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Binomische Formeln}}
|-
:[[Einführung in quadratische Funktionen]]
|4,5a + 12,5 = 7a
:{{Lernpfadlink-M-digital|Rund um den Kreis}}  
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>a=5</math>}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Grundwissen Pythagoras}}
|-
:{{Lernpfadlink-M-digital|Kongruenz von Dreiecken}}
|2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8
:{{Lernpfadlink-M-digital|Kongruenzsätze in Dreiecken}}
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=12</math>}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Inhalt und Drumherum}}
|-
:{{Lernpfadlink-M-digital|Zylinder-Oberfläche}}
|5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24
</div>
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=7</math>}}
<div class="width-1-3">
|}
'''Im Blick '''
<br />


:{{Lernpfadlink-M-digital|Grundwissen-Pythagoras}}
:[[Datei:Py Körper.png|100px]]


</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #d1dd85     
}}


{{Aufgabe|Forme die Formel nach der gesuchten Variable um:}}<br />


{|width="100%" style="border-style:none"
|A = ab/2 || b=?
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>2A/a=b</math>}}
|-
|u = 2a + 2b || b=?
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>(U-2a)/2=b</math>}}
|-
|x/a – b = c || x=?
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>(c+b)*a</math>}}
|}
<br />


{{Box-spezial
= Experten =  
|Titel= Klasse 10
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
:{{Lernpfadlink-Medienvielfalt|Trigonometrische Funktionen}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Trigonometrische Funktionen}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Sinus- und Kosinusfunktion}} <span style="color:#ed8917"> neu 3.12.17</span>
:{{Lernpfadlink-M-digital|Der Logarithmus}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Potenzfunktionen}}
:{{Lernpfadlink-Medienvielfalt|Potenzfunktionen}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Exponential- und Logarithmusfunktionen}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Grenzwerte spezieller Funktionen}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Ganzrationale Funktionen}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Eigenschaften ganzrationaler Funktionen}}
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


:{{Lernpfadlink-M-digital|Exponential- und Logarithmusfunktionen}}  
{{Übung|Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.}}<br />
[[Datei:Logarithmic spiral.svg|200px]]


</div>
<div class="lueckentext-quiz">
</div> <!-- End .grid -->
{|width="100%" style="border-style:none"
|Farbe= #d1dd85     
|4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7 || '''43,75()'''
}}
|-
|¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½ || '''119()'''
|-
|10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5 || '''8()'''
|-
|(x – 6)(x + 6) = x(x + 9) || '''-4()'''
|}
</div><br />


&nbsp;<br />&nbsp;




{{Box-spezial
{{Aufgabe|Drücke die Variable x aus:}}<br />
|Titel= Klasse 11
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
:{{Lernpfadlink-M-digital|Einführung in die Differentialrechnung}}
:[http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Differentialrechnung] Medienvielfalt, 2005
:{{Lernpfadlink-M-digital|Zusammenhang zwischen Graph einer Funktion und Ableitung}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Achsen- und Punktsymmetrie von Funktionen}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Extremwertaufgaben}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben}}
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


:{{Lernpfadlink-M-digital|Einführung in quadratische  Funktionen}}
:[[Datei:Parabelbrems.gif|200px]]


</div>
{|width="100%" style="border-style:none"
</div> <!-- End .grid -->
|(ax + b)/c = d
|Farbe= #d1dd85       
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=(cd-b)/a</math>}}
}}
|-
|ax/c + b = d
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=[(d-b)*c]/a</math>}}
|}
<br />




{{Box-spezial
{{Aufgabe|In einer Schule gibt es L Lehrer und S Schüler. Was sagt die Gleichung aus?}}<br />
|Titel= Klasse 12
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
:{{Lernpfadlink-M-digital|Einführung in die Integralrechnung}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Integral}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Affine Abbildungen}}


</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


:{{Lernpfadlink-M-digital|Affine Abbildungen}}
{|width="100%" style="border-style:none"
:[[Datei:Kaleidoskop.jpg|200px]]
|S = 12 * L
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|In dieser Schule gibt es zwölf mal so viele Schüler wie Lehrer}}
|}
<br />


</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #d1dd85       
}}


<div class="box">
=== Besondere Themen ===
:{{Lernpfadlink-M-digital|Mathematik für Grundschüler}}
:[[Datei:Mathematik-digital Pfeil-3d.png|14px]]  [[:rmg:Benutzer:Deininger_Matthias/Facharbeit|RSA-Kryptographie]] <small> im RMG-Wiki </small>
:{{Lernpfadlink-M-digital|Chaos und Fraktale}}
:{{Lernpfadlink-M-digital|Lernpfad Differenzialgleichungen}}


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'''Kooperationen'''
 
<center>
<span style="padding: 1rem">[[File:Institutlogo f.png|link=http://www.dms.uni-landau.de Institut für Mathematik]]</span>
<span style="padding: 1rem">[[File:Zum Logo Baustein2.png|link=http://www.zum.de]]</span>
<span style="padding: 1rem">[[File:Didaktik_der_MathemathikUniWürzburg.png|link=http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/aktuelles]]</span>
<span style="padding: 1rem">[[File:Medien f.png|link=http://www.austromath.at/medienvielfalt]]</span>
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[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital|!]]
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<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Lernpfad,Lernpfade,Mathematik,Unterrichtseinheiten,interaktive Übungen,COER13,OER,CC,BY-SA</metakeywords>
 
 
[[dmuw:Lernpfade]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
 
__NOTOC__ __NOEDITSECTION__

Version vom 1. Dezember 2011, 23:01 Uhr

KatharinaP Agent Tafel.jpg

Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.


Gleichungen wie

x + 8 = 12

4x - 5 = 3x + 2 oder auch

(x + 4) · 2 = 3x

nennt man lineare Gleichungen.


Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.


 
 

Vorlage:Mathematik


Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.

Merke


1. Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen
2. Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen
3. x berechnen
4. Probe

5. Lösungsmenge notieren


 
 

 
 

Anfänger

Übung
Löse die Aufgaben in deinem Übungsheft. Schreibe die Lösungen anschließend in die Kästchen.


Welche Zahl erfüllt die Gleichung?

2 + 4x = 58 14 ()
2y + ¼ = ¾ 0,25 ()
8 – 2x = 4 2 ()
2 + z/5 = 1/2 -7,5 ()
5z - 7 = -2z 1 ()


 

 


Übung
Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?
Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.


1 2x – y = r
x – y = r/2

Richtig
Falsch

2 w – 3u = s
3u = s – w

Richtig
Falsch

3 (x- 2)y = u
x – 2 = u/y

Richtig
Falsch

4 x + y/3 = w
x + y = 3w

Richtig
Falsch



Fortgeschrittene

Merke
Bei der folgenden Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zusammenfassen!


Übung
Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.



7x – 8 – 12 – 3x = 2x
2y – 3y + 5y – 24 = 0
4,5a + 12,5 = 7a
2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8
5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24




Aufgabe
Forme die Formel nach der gesuchten Variable um:


A = ab/2 b=?
u = 2a + 2b b=?
x/a – b = c x=?


Experten

Übung
Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.


4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7 43,75()
¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½ 119()
10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5 8()
(x – 6)(x + 6) = x(x + 9) -4()


 
 


Aufgabe
Drücke die Variable x aus:



(ax + b)/c = d
ax/c + b = d



Aufgabe
In einer Schule gibt es L Lehrer und S Schüler. Was sagt die Gleichung aus?



S = 12 * L
In dieser Schule gibt es zwölf mal so viele Schüler wie Lehrer



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