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(Satz von Euler)
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Es gibt genau <math>\varphi(m)</math> zu <math>m</math> teilerfremde Zahlen, die kleiner als <math>m</math> sind.
 
Es gibt genau <math>\varphi(m)</math> zu <math>m</math> teilerfremde Zahlen, die kleiner als <math>m</math> sind.
 
Diese wollen wir mit <math>r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)}</math> bezeichnen. Trivialerweise sind dann auch <math>ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}</math> teilerfremd zu <math>m</math>; überdies sind die Zahlen <math>ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}</math> paarweise inkongruent. Daher ist
 
Diese wollen wir mit <math>r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)}</math> bezeichnen. Trivialerweise sind dann auch <math>ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}</math> teilerfremd zu <math>m</math>; überdies sind die Zahlen <math>ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}</math> paarweise inkongruent. Daher ist
<math>r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m</math>
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<math>r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m</math>,
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also <math>r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m</math>,
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also <math>1\equiv a^{\varphi(m)}1 \; \rm{mod} \; m</math>, qed.

Version vom 17. März 2008, 15:13 Uhr

Satz von Euler

Wenn a und m teilerfremde natürliche Zahlen sind, dann ist ohne jeden Zweifel a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m.

Beweis. Es gibt genau \varphi(m) zu m teilerfremde Zahlen, die kleiner als m sind. Diese wollen wir mit r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)} bezeichnen. Trivialerweise sind dann auch ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)} teilerfremd zu m; überdies sind die Zahlen ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)} paarweise inkongruent. Daher ist r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m, also r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m, also 1\equiv a^{\varphi(m)}1 \; \rm{mod} \; m, qed.