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(Satz von Euler)
(Satz von Euler)
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<math>a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m</math>.
 
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Es gibt genau <math>\varphi(m)</math> zu <math>m</math> teilerfremde Zahlen, die kleiner als <math>m</math> sind.
 
Es gibt genau <math>\varphi(m)</math> zu <math>m</math> teilerfremde Zahlen, die kleiner als <math>m</math> sind.

Version vom 17. März 2008, 15:19 Uhr

Satz von Euler

Wenn a und m teilerfremde natürliche Zahlen sind, dann ist ohne jeden Zweifel a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m.

Beweis. Es gibt genau \varphi(m) zu m teilerfremde Zahlen, die kleiner als m sind. Diese wollen wir mit r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)} bezeichnen. Trivialerweise sind dann auch ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)} teilerfremd zu m; überdies sind die Zahlen ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)} paarweise inkongruent. Daher ist r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m, also r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m, also 1\equiv a^{\varphi(m)}1 \; \rm{mod} \; m, qed.