Benutzer:MatheSchmidt

Zur Person:

Reinhard Schmidt Tätigkeit: Lehrer, Fachleiter für das Fach Mathematik Schule: Hollenberg-Gymnasium Waldbröl Studiensemiar: Studiensemiar Engelskirchen Bundesland: Nordrhein-Westfalen Fächer: Mathematik, Philosophie Internet: hirnwindungen.de Das Wunderland der Geometrie und matheschmidt.de Arbeitsschwerpunkte: Mathematik-Olympiade, GeoGebra-Institut Köln/Bonn, Zusammenarbeit von Schule und Hochschule, mathematik-digital.de   "Mathe zählt, weil Mathematik das Werkzeug ist, mit dem man sich die Welt zu eigen macht."

Arbeitsgruppen

• Fachseminar Mathematik Engelskirchen
• Fortbildungen

Links (Lernpfade)

Die folgende Linksammlung enthält Verweise auf fertige oder geplante Lernpfade:

• Sammlung von Lernpfaden
• Ideen für einen Lernpfad "Bremsweg"
• Einführung in quadratische Funktionen
• Das Koordinatensystem
• Flächeninhalte und Funktionen
• Rechtecke
• Eigenschaften des Integrals
• Eigenschaften des Integrals
• Die Binomialverteilung
• Die Eulergerade
• Der Satz des Pythagoras
• Moiré-Effekt
• Tangenten an einen Kreis

Links (Arbeiten im Wiki)

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Satz von Euler

Wenn $a$ und $m$ teilerfremde natürliche Zahlen sind, dann ist ohne jeden Zweifel $a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m$.

Beweis: [Anzeigen][Verstecken]

Beweis. Es gibt genau $\varphi(m)$ zu $m$ teilerfremde Zahlen, die kleiner als $m$ sind. Diese wollen wir mit $r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)}$ bezeichnen. Trivialerweise sind dann auch $ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}$ teilerfremd zu $m$; überdies sind die Zahlen $ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}$ paarweise inkongruent. Daher ist $r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m$, also $r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m$, also $1\equiv a^{\varphi(m)}1 \; \rm{mod} \; m$, qed.

Spielwiese

Gegeben sind ein Punkt $P(p_1|p_2)$ mit seinen Koordinaten sowie die Basisvektoren $\vec{e_1'} = {a_{11} \choose a_{21}}$ und $\vec{e_2'} = {a_{12} \choose a_{22}}$ eines neuen Koordinatensystems.

${p'_{1} \choose p'_{2}}=p_1\cdot\vec{e_1'}+p_2\cdot\vec{e_2'} =p_1\cdot{a_{11} \choose a_{21}}+p_2\cdot{a_{12} \choose a_{22}} ={p_1a_{11}+p_2a_{12} \choose p_1a_{21}+p_2a_{22}} ={a_{11} ~ a_{12} \choose a_{21} ~ a_{22}} {p_{1} \choose p_{2}}$

Affine Abbildungen

$M={a_{11} ~ a_{12} \choose a_{21} ~ a_{22}}$

$\vec{v} = {v_{1} \choose v_{2}}$

$\vec{p'}={a_{11} ~ a_{12} \choose a_{21} ~ a_{22}}\cdot{p_{1} \choose p_{2}}+{v_{1} \choose v_{2}}$

Quiz

1. Ist die folgende Aussage wahr?

	$7^6 \equiv 1 \; \rm{mod} \; 9$
	$23^{10} \equiv 1 \; \rm{mod} \; 11$
	$4^6 \equiv 1 \; \rm{mod} \; 8$

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