Benutzer:MatheSchmidt

Zur Person:

Reinhard Schmidt ---- Tätigkeit: Lehrer Schule: Hollenberg-Gymnasium Waldbröl Bundesland: Nordrhein-Westfalen Fächer: Mathematik, Philosophie Internet: hirnwindungen.de Das Wunderland der Geometrie und matheschmidt.de Arbeitsschwerpunkte: Mathematik-Olympiade, Zusammenarbeit von Schule und Hochschule, mathematik-digital.de "Mathe zählt, weil Mathematik das Werkzeug ist, mit dem man sich die Welt zu eigen macht."

Links

Die folgende Linksammlung enthält verweise auf fertige oder geplante Lernpfade:

• Bremsweg

Satz von Euler

Wenn $a$ und $m$ teilerfremde natürliche Zahlen sind, dann ist ohne jeden Zweifel $a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m$.

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Beweis. Es gibt genau $\varphi(m)$ zu $m$ teilerfremde Zahlen, die kleiner als $m$ sind. Diese wollen wir mit $r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)}$ bezeichnen. Trivialerweise sind dann auch $ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}$ teilerfremd zu $m$; überdies sind die Zahlen $ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}$ paarweise inkongruent. Daher ist $r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m$, also $r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m$, also $1\equiv a^{\varphi(m)}1 \; \rm{mod} \; m$, qed.

Quiz

1. Ist die folgende Aussage wahr?

	$7^6 \equiv 1 \; \rm{mod} \; 9$
	$23^{10} \equiv 1 \; \rm{mod} \; 11$
	$4^6 \equiv 1 \; \rm{mod} \; 8$

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