Integralrechnung/Vorüberlegungen und Quadratische Funktionen erforschen/Wiederholung (Optional): Unterschied zwischen den Seiten

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{{Kasten_blau|Auf der ersten Seite hast Du gelernt, dass der zurückgelegte Weg in einem Diagramm, in dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen ist, gleich dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist.}}  
{{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erforschen}}}}
<br><br>
 
{{Frage|Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?}}
{{Box| |
<br>
Bevor du loslegst, dich in das neue Thema '''Quadratische Funktionen''' einzuarbeiten, kannst du auf dieser Seite dein '''bisheriges Wissen über Funktionen auffrischen'''.|Kurzinfo}}
<div align="center">
==Teste dein Wissen über (lineare) Funktionen==
Dies ist die zentrale Frage des vorliegenden Lernpfades!
{{Box|Aufgabe|
Lücken-Mind Map oder Kreuzworträtsel - was machst du lieber? Suche dir eine der beiden folgenden Aufgaben aus und teste dein Wissen über (lineare) Funktionen.  Mit einem Klick in das weiße Kästchen oben rechts erhältst du den Vollbildmodus.
{{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=pbugpt1gt16|width:100%|height:700px}}{{Lösung versteckt|1=1. Genau
 
2. Ursprung
 
3. Sieben
 
4. Steigungsdreieck
 
5. y-Achsenabschnitt
 
6. Steigung
 
7. Wertetabelle
 
8. Fuenf
 
9. Gerade|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=Kreuzworträtsel anzeigen|3=Kreuzworträtsel verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=pp5okr7zk16|width:100%|height:500px}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Lineare Funktionen Lückenmap.png|1000px]]|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lücken-Mindmap anzeigen|3=Lücken-Mindmap verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
__NOTOC__
 
==Graphen zu einer Sachsituation==
{{Box|Aufgabe|2=
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 1) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
'''a)''' Beantworte die Frage in dem Applet. ''Hinweis'': Es gibt genau eine richtige Antwort.
 
{{LearningApp|app=p563afae517|width:100%|height:500px}}
 
'''b)''' Überlege dir eine Begründung für die richtige Darstellung der Entfernung zum Startpunkt.
 
{{Lösung versteckt|1=Eine mögliche Begründung ist:
 
Der Graph beginnt im Ursprung des Koordinatensystems.
 
Da Start und Ziel identisch sind, endet der Graph auf der x-Achse. Sein Verlauf lässt sich durch die Abstände der Läufer zum Start/Ziel (Luftlinie) beschreiben. Die folgende Skizze verdeutlicht die Abstände noch einmal.
Abstände der Läufer zum Ziel (dargestellt durch die blauen Linien):
 
[[Datei:Skizee 400m Bahn mit Luftlinien.PNG|rahmenlos|300px|Sportfest]]|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
==Zeigt der Graph einen funktionalen Zusammenhang?==
 
{{Box|Aufgabe|
{{LearningApp|app=pohhfm2vj16|width:100%|height:500px}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
 
==Videos und Merksätze==
Daniel Jung hat auf Youtube in seinem Channel ''Mathe by Daniel Jung'' zu den verschiedensten Themen Erklärvideos erstellt. Hier kannst du dir Videos zu dem Thema ''Was ist eine Funktion?'' bzw. eine Übersicht über ''Lineare Funktionen'' anschauen. Denke daran dir Kopfhörer anzuziehen, sofern du nicht alleine in einem Raum bist.
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
{{#evu:https://www.youtube.com/watch?v=tywU-wn6tF4}}
</div>
</div>
<br>
<div class="width-1-2">
Um der Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
{{#evu:https://www.youtube.com/watch?v=MgUqwCat-Ho}}
<br>
{{Aufgaben-M|2|
Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br>
Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!
}}
<br>
a) Konstante Funktion: &nbsp; <math>f(x)=5</math> &nbsp; in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
<br><br>
[[Bild:const_fkt.png|zentriert|500px]]
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Flächeninhalt: <math>A = 20.</math> <br>
Die Fläche ist rechteckig, also berechnet sich der Flächeninhalt nach der Formel <math>A = </math>  Breite <math>\cdot</math> Höhe. <br>
Die Breite ist dabei durch die Grenzen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> festgelegt, misst also
<math>x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4.</math> <br>
Die Höhe ist durch den (konstanten) Funktionswert <math>f(x)=5</math> festgelegt. <br>
Also: <math>A=4 \cdot 5 = 20.</math>
}}}}
<br>
b) Lineare, nicht-konstante Funktion: &nbsp; <math>f(x)= 0,5 x + 1</math> &nbsp; in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
<br><br>
[[Bild:lin_fkt.png|zentriert|500px]]
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Flächeninhalt: <math>A = 12.</math> <br>
Die Fläche lässt sich aufteilen in einen rechteckigen Teil ( Höhe <math> = y_1 = 2,</math> Breite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=8</math> <br>
und einen dreieckigen Teil ( Höhe <math> = y_2-y_1 = 2,</math> Grundseite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=4</math>. <br>
Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math>
<br>
{{Merke-M|
Allgemein berechnet sich eine solche aus Rechtecks- und Dreiecksfläche zusammengesetzte Fläche natürlich nach der Formel <math>A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b</math>, wenn <math>a</math> die Höhe des Rechtecks, <math>h</math> die Höhe des Dreiecks und <math>b</math> die Breite des Dreiecks bzw. Rechtecks sind. <br>
Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der  unteren Rechtecksfläche (Rechteck ABCD) und der oberen Rechtecksfläche (Rechteck BCEF)! <br>
Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH.
[[Bild:Flaeche_mittelwert.png|zentriert|350px]]
}}
}}}}
<br>
c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die schraffierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine
Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen dienen: <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> <br>
<br><br>
[[Bild:flaeche_allgemein.png|zentriert|500px]]
<br><br><br>
<div align="center">
[[Benutzer:Dickesen/Integral|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen|Home]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen/Integral3|>>Weiter>>]]
</div>
</div>
</div>
{{Box|1=Merke|2=
* Eine '''Funktion''' ordnet jedem Element einer Ausgangsmenge (Definitionsmenge) genau ein Element der Zielmenge (Ergebnismenge) zu. Ein Element aus der Ergebnismenge kann mehreren Elementen der Definitionsmenge zugeordnet werden.
[[Datei:Kein funktionaler Zusammenhang.PNG|rahmenlos|Kein fkt. Zsmh.|250px]] [[Datei:Funktionaler Zusammenhang.PNG|rahmenlos|Fkt. Zsmh.|250px]]
* '''Lineare Funktionen''' liegen in der Form <math>y=mx+b</math> vor, wobei m die Steigung der Geraden und b den y-Achsenabschnitt angibt.
* Funktionen mit dem Term <math>y=mx</math> nennt man '''proportionale Funktionen'''. Sie sind ein Spezialfall der linearen Funktionen.|3=Merksatz}}
{{Fortsetzung|weiter=Quadratische Funktionen im Alltag|weiterlink=Quadratische Funktionen erforschen/Quadratische Funktionen im Alltag}}
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,ZUM.de,OER,Quadratische Funktionen erforschen,Quadratische Funktionen,Quadratische Funktion</metakeywords>
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Learning-App]]

Version vom 21. November 2018, 16:24 Uhr

Quadratische Funktionen erforschen

< Mathematik-digital


Bevor du loslegst, dich in das neue Thema Quadratische Funktionen einzuarbeiten, kannst du auf dieser Seite dein bisheriges Wissen über Funktionen auffrischen.

Teste dein Wissen über (lineare) Funktionen

Aufgabe

Lücken-Mind Map oder Kreuzworträtsel - was machst du lieber? Suche dir eine der beiden folgenden Aufgaben aus und teste dein Wissen über (lineare) Funktionen. Mit einem Klick in das weiße Kästchen oben rechts erhältst du den Vollbildmodus.

1. Genau

2. Ursprung

3. Sieben

4. Steigungsdreieck

5. y-Achsenabschnitt

6. Steigung

7. Wertetabelle

8. Fuenf

9. Gerade

Lineare Funktionen Lückenmap.png


Graphen zu einer Sachsituation

Aufgabe

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 1) Notizblock mit Bleistift.

a) Beantworte die Frage in dem Applet. Hinweis: Es gibt genau eine richtige Antwort.



b) Überlege dir eine Begründung für die richtige Darstellung der Entfernung zum Startpunkt.

Eine mögliche Begründung ist:

Der Graph beginnt im Ursprung des Koordinatensystems.

Da Start und Ziel identisch sind, endet der Graph auf der x-Achse. Sein Verlauf lässt sich durch die Abstände der Läufer zum Start/Ziel (Luftlinie) beschreiben. Die folgende Skizze verdeutlicht die Abstände noch einmal. Abstände der Läufer zum Ziel (dargestellt durch die blauen Linien):

Sportfest

Zeigt der Graph einen funktionalen Zusammenhang?

Aufgabe



Videos und Merksätze

Daniel Jung hat auf Youtube in seinem Channel Mathe by Daniel Jung zu den verschiedensten Themen Erklärvideos erstellt. Hier kannst du dir Videos zu dem Thema Was ist eine Funktion? bzw. eine Übersicht über Lineare Funktionen anschauen. Denke daran dir Kopfhörer anzuziehen, sofern du nicht alleine in einem Raum bist.

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Merke
  • Eine Funktion ordnet jedem Element einer Ausgangsmenge (Definitionsmenge) genau ein Element der Zielmenge (Ergebnismenge) zu. Ein Element aus der Ergebnismenge kann mehreren Elementen der Definitionsmenge zugeordnet werden.

Kein fkt. Zsmh. Fkt. Zsmh.

  • Lineare Funktionen liegen in der Form vor, wobei m die Steigung der Geraden und b den y-Achsenabschnitt angibt.
  • Funktionen mit dem Term nennt man proportionale Funktionen. Sie sind ein Spezialfall der linearen Funktionen.


Quadratische Funktionen im Alltag

Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)

<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,ZUM.de,OER,Quadratische Funktionen erforschen,Quadratische Funktionen,Quadratische Funktion</metakeywords>

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