Main>Leonie Porzelt |
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| __NOTOC__
| | {{Box|Lernpfad|Im folgenden Lernpfad werden Sie verschiedene Grundvorstellungen für die Ableitung kennen lernen. Ein Repertoire an verschiedenen Grundvorstellungen, oder auch Deutungsmöglichkeiten für die Ableitung, helfen Ihnen die Ableitung flexibel auf unbekannte Sachaufgaben anzuwenden. Sie werden die Ableitung als lokale Änderungsrate, die Ableitung als Steigung der Tangente, die Ableitung als lokale Approximation und die Ableitung als Verstärkungsfaktor kennen lernen.|Lernpfad |
| {{Lernpfad-M| | |
| ===Eigenschaften der zentrischen Streckung===
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| }} | | }} |
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| [[Bild:Porzelt_Eigenschaften.jpg|center]]
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| <br>
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| ==1. Station: Fixelemente==
| | *[[Die Ableitung als lokale Änderungsrate]] |
| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| | {{Navigation verstecken|Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff|Navigation anzeigen |Navigation verbergen }}<br />{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|<Text>}} |
| :Für k<math>\not=</math>1 gilt:
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| :Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird.
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| </div>
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| <br>
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| :'''Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.'''
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| <br>
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| [[Bild:Porzelt_Fixgerade.jpg]] | |
| <br>
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| :Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| :f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.}}
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| :Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:
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| :{{Versteckt|1=
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| :Alle Geraden die durch den Punkt Z verlaufen sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen
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| :Streckung auf sich selbst abgebildet.
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| </div>
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| }} | |
| <br> | |
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| ==2. Station: Geradentreue und Parallelentreue==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| *'''Geradentreue''' bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
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| *'''Parallelentreue''' liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
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| </div>
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| <br>
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| :Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
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| :auf den Punkt P' abgebildet. | |
| :Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt. Was stellst du fest?
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| :Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.
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| <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Geradentreue.ggb" />
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| <br>
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| ==3. Station: Längentreue, Winkeltreue und Flächeninhaltstreue==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| *'''Längentreue''' bedeutet, wenn alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
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| *Ebenso gilt für die '''Winkeltreue''', wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
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| *'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
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| </div>
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| <br>
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| :In diesem Applet siehst du ein zentrisch gestrecktes Dreieck. Lass dir das Winkelmaß, die Streckenlängen und
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| :den Flächeninhalt nacheinander anzeigen. Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaft zutrifft.
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| <ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" />
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| <br>
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| :Durch Umformung kannst du herausfinden, wie der Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks zu berechnen ist.
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| :Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
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| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> ∙ h' <br>
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| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>''' ∙ '''|k|''' ∙ '''h''' <br>
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| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
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| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>'''
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| </div>
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| <br>
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| ==4. Station: Längenverhältnistreue==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| :'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
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| </div>
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| <br>
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| ==5. Station: Kreistreue==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| :'''Kreistreue''' bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
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| </div>
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| <br>
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| :Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch strecken. Finde heraus, ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
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| <ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" />
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| ==6. Station: Zusammenfassung==
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| :Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
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| <div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| '''Eigenschaften der zentrischen Streckung'''<br>
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| Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine '''Fixgerade'''. <br>
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| Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist '''parallelentreu'''.<br>
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| Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also '''nicht''' längentreu. <br>
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| Jedoch ist sie '''längenverhältnistreu'''. <br>
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| Die zentrische Streckung ist '''geradentreu''', '''winkeltreu''' und '''kreistreu'''. <br>
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| Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das '''|k|²-fache''' des Flächeninhalts der Urfigur. ('''A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = |k|² ∙ A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''') <br>
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| Die zentrische Streckung ist deshalb '''nicht''' flächeninhaltstreu.
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| </div>
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| ==7. Station: Übung==
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