Das Klima-Buch und Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten: Unterschied zwischen den Seiten

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Das Klima-Buch<ref>''Das Klima-Buch''. Aus dem Englischen übersetzt von Ulrike und Michael Bischoff. S. Fischer, Frankfurt am Main 2022</ref> von Greta Thunberg stellt eine Gemeinschaftsleistung von vielen Wissenschaftlern und Wissenschaftsjournalisten dar, die durch eine übergreifende Gliederung in fünf Teile und Einleitungen von Thunberg zu jedem größeren Abschnitt zusammengehalten werden.
'''Lernziele:'''


==Wie das Klima funktioniert==
*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
====1.1 "Um dieses Problem zu lösen, müssen wir es zunächst verstehen", 2====
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.


''Thunberg'': "[...] Ich bin fest überzeugt, dass wir die schlimmsten Folgen dieser aufkommenden Existenzkrise nur abwenden können, wenn wir eine kritische Masse von Menschen zusammenbringen, die die notwendigen Veränderungen fordern. Damit das geschieht, müssen wir schnell Bewusstsein schaffen, denn noch immer fehlt es in der breiten Öffentlichkeit an grundlegendem Wissen, das notwendig ist um die Notlage zu begreifen, in der wir uns befinden.
Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]] &nbsp; [[#Übungen|Übungen]]
[...Dies] Buch enthüllt das Handeln der Verantwortlichen und das Versagen derer, die den Bürgerinnen und Bürgern der Welt diese Informationen schon längst hätten vermitteln müssen. [...]" (S.2/3)


"Selbstverständlich gibt es Fortschritte, hören wir. Manche Länder und Regionen melden eine recht erstaunliche Reduzierung der CO2-Emissionen – zumindest in den Jahren, seit die Welt erstmals die Rahmenwerke zur Handhabung unserer Statistiken ausgehandelt hat. Aber wie steht es um all diese Reduzierungen, wenn wir statt der sorgfältig manipulierten Landesstatistiken unsere Gesamtemissionen einbeziehen? Also all die Emissionen, die wir so erfolgreich aus diesen Zahlen herausgerechnet haben. Zum Beispiel durch die Verlagerung von Fabriken in ferne Erdteile und das Auslassen der Emissionen von internationalen Flug- und Schiffsverkehr in unseren Statistiken [...]" (S.4)
Ansonsten sind Sie hier richtig.


=====1.2 Die umfassende Geschichte des Kohlendioxids=====
''Peter Brannen'': "Wegen seiner erstaunlichen Bedeutung für alle Teile des Erdsystems ist Kohlendioxid nicht bloß einer von vielen abträglichen industriellen Schadstoffen wie Fluorkohlenwasserstoff oder Blei. Vielmehr ist es [...] 'der wichtigste Stoff in der Biosphäre'. (S. 6/7)


"Angesichts der zentralen Bedeutung des Kohlendioxids für die Biosphäre sollten wir vielleicht nicht überrascht sein, dass es derart zuverlässig zu Verwüstungen planetaren Ausmaßes führen kann, wenn dieses System so sehr aus dem Gleichgewicht gebracht wird." (S. 8)
Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.


=====1.3 Unser Einfluss auf die Evolution=====
Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


====1.5 "Die Wissenschaft ist so zuverlässig wie sie nur sein kann", 18====
<!-- Beispiel absolute und relative Häufigkeiten -->
"Die bemerkenswerte klimatische Stabilität des Holozäns ermöglichte es unserer Spezies – dem Homo sapiens –, von der Lebensweise der Jäger und Sammler zu der von Bauern überzugehen, die Land kultivierten. [...] Würden wir die Weltgeschichte in die Zeitspanne von einem Jahr übersetzen, hätte die [[Industrielle Revolution]] am Silvesterabend etwa eineinhalb Sekunden vor Mitternacht stattgefunden. Seit der Entstehung der menschlichen {{wpde|Zivilisation}} haben wir die Hälfte der Bäume auf der Erde gefällt, mehr als zwei Drittel der Wildtiere und Wildpflanzen ausgerottet, die Meere mit Plastik gefüllt und ein potentielles massenhaftes Artensterben und eine Klimakatastrophe in Gang gesetzt. Wir haben angefangen, die Systeme zu destabilisieren, auf denen das Leben basiert und auf die wir alle angewiesen sind. Mit anderen Worten: wir sägen den Ast ab, auf dem wir leben.
{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:


Aber die meisten von uns sind sich immer noch nicht darüber im Klaren, was vorgeht, und viele kümmert es offenbar auch gar nicht. Das liegt an diversen Faktoren, von denen dieses Buch viele behandelt. Einer dieser Faktoren, das so genannte '{{wpde|Everything will change|Shifting-Baseline-Syndrom}}' oder die {{wpde|Amnesie|Generationenamnesie}}, bezeichnet den Umstand, dass wir uns an Neues gewöhnen und anfangen, die Welt aus einer anderen Perspektive zu betrachten. Für meine Urgroßeltern wäre ein achtspuriges Autobahnkreuz vermutlich unvorstellbar gewesen, aber für meine Generation ist es etwas völlig Normales. Manchen von uns erscheint es sogar als etwas Natürliches, Sicheres und Beruhigendes, je nach den Umständen." (S.18/19)
::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>


"Die schnell eskalierende Klima- und Ökologiekrise ist eine globale Krise: Sie betrifft alle Pflanzen und Lebewesen. Zu behaupten, die gesamte Menschheit sei dafür verantwortlich, ist jedoch sehr weit von der Wahrheit entfernt. Die meisten Menschen leben gegenwärtig durchaus innerhalb der von der Erde gesetzten Grenzen. Lediglich eine Minderheit von uns hat diese Krise verursacht und treibt sie weiter voran. Aus diesem Grunde ist die gängige Behauptung: 'Es gibt zu viele Menschen', äußerst irreführend. Die Weltbevölkerung spielt zwar eine Rolle, aber nicht alle Menschen verursachen Emissionen und verbrauchen die Ressourcen der Erde, sondern nur manche Menschen – es sind die Gewohnheiten und das Verhalten mancher Menschen in Verbindung mit unseren Wirtschaftsstrukturen, die diese Katastrophe verursachen.
Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:


Die Industrielle Revolution, angetrieben von Sklaverei und Kolonialisierung, brachte dem globalen Norden unvorstellbaren Reichtum, besonders einer kleinen Minderheit der dort lebenden Menschen. Diese extreme Ungerechtigkeit ist die Grundlage, auf der unsere modernen Gesellschaften aufgebaut sind. Das ist der Kern des Problems: ''das Leiden vieler, die zum Nutzen weniger bezahlen''. Der Reichtum dieser wenigen hatte einen Preis: Unterdrückung, Völkermord, ökologische Zerstörung und klimatische Instabilität. Die Rechnung für all diese Zerstörung ist noch nicht beglichen. Tatsächlich ist sie noch nicht einmal zusammengerechnet worden und wartet noch darauf, gestellt zu werden.
::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>


[...] Warum sollten wir in einer solchen Notlage nicht Vergangenes vergangen sein lassen und lieber nach Lösungen für unsere gegenwärtigen Probleme suchen? [...] Die Antwort lautet, dass diese Krise nicht nur hier und jetzt stattfindet. Vielmehr hat sich die Klima- und Ökologiekrise kumulativ entwickelt und reicht letztlich zurück bis in die Kolonialisierung und noch darüber hinaus. Es ist eine Krise, die auf der Vorstellung beruht, manche seien mehr wert als andere und hätten daher das Recht, anderen Menschen Land, Ressourcen, zukünftige Lebensbedingungen und sogar das Leben zu nehmen. Und das geschieht weiterhin.
Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:
[...] Es gibt eindeutige Belege, dass große Erdölkonzerne wie Shell und ExxonMobil seit mindestens vier Jahrzehnten über die Folgen ihres Handelns Bescheid wussten. Das gilt auch für die Nationen der Welt [...] Die Welt wusste Bescheid. Es läuft auf die Schwarz-Weiß-Fragen hinaus. [...] Es gibt viele Sachverhalte, die sind schwarz oder weiß. Entweder man stürzt von einer Klippe oder nicht. [...] Entweder alle Bürger dürfen wählen oder nicht." (S.19-21)


"Das Problem ist, das sich die derzeit besten verfügbaren wissenschaftlichen Erkenntnisse nach sämtlichen Belegen auf einem Kollisionskurs zu unserem gegenwärtigen Wirtschaftssystem und der Lebensweise befinden, auf die viele Menschen im globalen Norden einen Anspruch zu haben glauben. [...]
<!-- Tabelle Auswertung Alter der Lerngruppe nach absoluten Häufigkeiten -->
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>
<!-- Tabelle Auswertung Alter der Lerngruppe nach absoluten Häufigkeiten -->
|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.


Was bleibt, ist weitgehend Taktik. Wie soll man die Informationen verpacken, formulieren und vermitteln? Wie störend wagen Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler aufzutreten? [...] Eine zutiefst spaltende Frage ist heutzutage, ob man Gleichheit und historische Emissionen in die Diskussionen über die erforderlichen Maßnahmen gegen die Umweltkrise einbeziehen sollte. Da solche Zahlen aus unseren internationalen Rahmenwerken herausverhandelt wurden, ist es sicher verlockend, sie zu ignorieren, weil sie eine düstere Botschaft noch trostloser erscheinen lassen. Allerdings lässt es diejenigen, die einen ganzheitlichen Ansatz vertreten und sie einzubeziehen versuchen, nach alarmistischer erscheinen als ihre Kolleginnen und Kollegen, und das ist ein großes Problem." (Seite 21/22)
Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


"Eine amerikanische Wissenschaftlerin, die ein breites heimisches Publikum ansprechen will, dürfte aber kein sonderliches Interesse daran haben, die ganze Netto-Null-Idee bis 2050 als völlig unzureichend abzutun. In der Debatte in den USA gilt die Vorstellung, innerhalb von drei Jahrzehnten auf Netto-Null- Emissionen zu kommen, schon als extrem radikal. Und diese Taktik ergibt durchaus einen Sinn. Das Problem ist jedoch, dass wir Gleichheit und historische Emissionen einbeziehen müssen, wenn das Pariser Abkommen in globalem Maßstab funktionieren soll. Daran geht kein Weg vorbei. [...]
<!-- Tabelle Auswertung Alter der Lerngruppe nach relativen Häufigkeiten -->
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>
<!-- Ende Tabelle Auswertung Alter der Lerngruppe nach relativen Häufigkeiten -->
|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.


Wir haben es seit unserem Jäger und Sammler-Vorfahren weit gebracht. Aber unsere Instinkte hatten nicht genügend Zeit, Schritt zu halten. Sie funktionieren immer noch weitgehend so wie vor fünfzigtausend Jahren, in einer anderen Welt, lange bevor wir Landwirtschaft, Häuser, Netflix und Supermärkte entwickelt haben. Wir sind für eine völlig andere Wirklichkeit gemacht, und unserem Gehirn fällt es schwer, auf Bedrohungen zu reagieren, die für viele von uns nicht unmittelbar und plötzlich auftauchen, Gefahren wie die Klima– und Ökologiekrise. Gefahren, die wir nicht klar erkennen, weil sie zu komplex, zu langsam und zu weit entfernt sind.


[...] Sind wir imstande, unser Können, unser Wissen und unsere Technologie für einen Kulturwandel einzusetzen, der uns dazu bewegt, uns rechtzeitig zu verändern, um eine Klima- und Umweltkatastrophe abzuwenden? Dazu sind wir eindeutig in der Lage. Ob wir es auch tun, liegt ganz an uns." (S.22)


====1.9 "Dies ist die größte Geschichte der Welt", 42====
Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
"Unsere Ursprünge lassen sich wie die aller anderen Lebewesen durch die Tiefen der Zeit bis zu den Quellen des Lebens zurückverfolgen, und daher sind wir untrennbar mit der Natur verbunden, soweit wir uns auch von ihr entfernen mögen.
|}
[...] Wer ist dafür verantwortlich, diese umfassende, ganzheitliche Geschichte zusammenzufügen? [...] Die Antwort ist: niemand – oder vielmehr wir alle. [...] Der Wandel, den wir brauchen, um diese sichere Zukunft zu gewährleisten, wird nicht aus dem Nichts kommen. Er wird aus einem Wandel der öffentlichen Meinung erwachsen, und dieser Wandel muss von uns mit allen effektiven Mitteln herbeigeführt werden, die wir aufbieten können. Er wird davon getrieben, wie wir entscheiden, diese Geschichte zu vermitteln. Es gibt keine Einheitsbotschaft, die für alle funktioniert. Es sind Tausende – sogar Millionen – unterschiedliche Herangehensweisen notwendig, aber im Augenblick sind unsere Ressourcen, gelinde gesagt, beschränkt. Wir müssen ''koka soppa pa en spik'', wie wir in Schweden sagen, 'aus einem Nagel eine Suppe kochen', also mit dem auskommen, was wir haben. Und was wir haben ist Moral, Empathie, wissenschaftliche Erkenntnisse, Medien und – in einigen glücklichen Teilen der Welt – Demokratie. Das sind einige der besten Instrumente, über die wir gegenwärtig verfügen, und wir alle müssen anfangen, sie zu nutzen." (S.42/43)
<!-- Ende Beispiel absolute und relative Häufigkeiten -->


==Wie unser Planet verändert wird==


2.1 "Das Wetter scheint auf Steroiden zu sein", 50
<!-- Definition absolute und relative Häufigkeiten -->
{{Merke|1=Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.


2.8 "Der Schneeball ist ins Rollen gebracht", 74
Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.


'''Vielleicht ist die Bezeichnung''' das Problem. ''Klimawandel''. Das klingt nicht sonderlich schlimm. [...] Menschen, die in einem der zahlreichen Länder des globalen Nordens mit hohen Emissionen leben, könnten die Vorstellung eines Klimawandels durchaus für alles andere als beunruhigend und gefährlich halten. Eine sich ändernde Welt. Ein wärmer werdender Planet. Was sollte man daran nicht mögen?
Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.  


[...] Aber das Klima verändert sich nicht einfach nur, es destabilisiert sich. Es bricht zusammen. (S. 74)
Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}
<!-- Ende Definition absolute und relative Häufigkeiten -->


--


2.15 "Es ist viel näher als wir glauben", 96
<!-- Merksatz absolute und relative Häufigkeiten -->
{{Merke|1=Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.


==Die Folgen für uns==
Mathematische Kurzschreibweise:


3.1 "Die Welt hat Fieber", 142
:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,  


3.8 "Wir sitzen nicht alle im selben Boot", 166
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.


"Wir sollten unser rasch schwindendes Kohlenstoffbudget als genau das sehen, was es ist: eine begrenzte natürliche Ressource, die allen Lebewesen gleichermaßen gehört. Die Tatsache, dass 90 Prozent des verbliebenen Budgets, damit wir eine 67-prozentige Chance haben, die Erderwärmung unter 1,5° C zu halten, bereits überwiegend vom globalen Norden – verbraucht sind, ist gar nicht zu übersehen. Ebenso wenig die Tatsache, dass die reichen Länder - wie meines – den Rest dieses Budgets derzeit mit erheblich größerer Geschwindigkeit verbrauchen als diejenigen, die historisch von eben diesen Staaten ausgebeutet worden.
Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.


[...] Die Tatsache, dass drei Milliarden Menschen pro Kopf und Jahr weniger Energie verbrauchen als ein amerikanischer Standardkühlschrank, vermittelt eine Vorstellung davon, wie weit wir derzeit von globaler Gleichheit und Klimagerechtigkeit entfernt sind.
Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.


Die Klimakrise ist nichts, was '''wir''' hervorgebracht haben. [...] Die Menschen in den Teilen der Welt, die für diese Krise am meisten Verantwortung tragen, müssen sich klar machen, dass es auch andere Sichtweisen gibt und sie anfangen müssen, sich damit auseinanderzusetzen. [...] Sie mögen viele Kolonien sich selbst regieren lassen, aber stattdessen kolonialisieren sie nun die Atmosphäre [...]
Mathematische Kurzschreibweise:


Indem der globale Norden die Reste unseres Kohlenstoffbudgets verbraucht, stiehlt er nicht nur seinen eigenen Kindern die Gegenwart und die Zukunft, sondern vor allen den Menschen, die in den am schlimmsten betroffenen Teilen der Welt leben [...]." (S.166/67)
:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,


--
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.


3.16 "Es warten enorme Herausforderungen", 196
Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}
<!-- Ende Merksatz absolute und relative Häufigkeiten -->


==Was wir dagegen unternommen haben==


4.1 "Wie können wir unser Versagen ungeschehen machen, wenn wir nicht einmal zugeben können, dass wir versagt haben?", 218
[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]
<!-- Einführungsbeispiel Teil 5 -->
{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>


4.4 "Wir gehen nicht in die richtige Richtung", 236
Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.


''Thunberg zu dem Gedanken, man könne mit neuen Technologien wichtige Erfolge erzielen:'' "weltweit sind bislang nur etwa 20 Anlagen zur {{wpde|CO2-Abscheidung_und_-Speicherung|Kohlenstoffabscheidung und –speicherung}} in Betrieb, von denen einige nachweislich mehr CO2 freisetzen, als sie abscheiden.
Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


Wir können uns den Ausweg aus der Klima– und Ökologiekrise nicht einfach mit Geld, Investitionen und Anlagenbau erkaufen. Dennoch steht Geld stark im Zentrum des Problems. Investitionen sind überaus wichtig. [...]
<!-- Tabelle Auswertung Geschlecht absolute Häufigkeiten -->
Das häufig vorgebrachte Argument: 'Wir haben nicht genug Geld', wurde schon oft widerlegt. Laut dem Internationalen Währungsfond wurde die Produktion und Verbrennung von Kohle, Öl und Erdgas allein 2020 mit 5,9 Billionen US-Dollar subventioniert. Das sind in jeder Minute über 11 Millionen Dollar für die Zerstörung unseres Planeten. [...] Im Juni 2021 kam die internationale Energieagentur zu dem Schluss, dass von dem historischen globalen Rettungsplan gerade einmal triste 2 Prozent in grüne Energie investiert wurden – was immer 'grün' in diesem Fall heißen mag so konnten die 2 % in der EU durchaus für den Kauf von Erdgas aus Putins Russland oder für die Verbrennung von Biomasse aus Waldrodungen [!] ausgegeben werden, da diese – und viele andere – Aktivitäten nach der neuen EU-Taxonomie im Augenblick als grün gelten.
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-
<!-- Ende Auswertung Geschlecht absolute Häufigkeiten -->
| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


Unsere Regierenden haben also nicht nur 'etwas falsch gemacht' – sie haben völlig versagt. Und das tun sie auch weiterhin; [...]" (S.237)
<!-- Tabelle Auswertung Geschlecht relative Häufigkeiten -->
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>
<!-- Ende Auswertung Geschlecht relative Häufigkeiten -->
|}
<!-- Ende Einführungsbeispiel Teil 5 -->


4.10 "Eine ganz neue Art zu denken", 263


" ''''Der American way of life''' ist nicht verhandelbar. Punkt.'
{{Aufgabe|


Das sagte US-Präsident George H. W. Busch 1992 vor dem UN-Erdgipfel in Rio de Janeiro. Rückblickend stellt sich heraus, dass er im Namen des gesamten globalen Norden sprach. Und bis heute ist das unsere Position.  [...]  Was wir tun müssen, ist, die Emission von Treibhausgasen einzustellen, was theoretisch ziemlich einfach ist oder zumindest früher einfach gewesen wäre – wenn wir das Problem nicht hätten außer Kontrolle geraten lassen.  [...] 
Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}


Seit Präsident George H. W. Busch diese Äußerung tat, sind unsere CO2-Emotionen um über 60 Prozent gestiegen und haben das, was damals eine 'große Herausforderung' war, in eine existenzielle Notlage verwandelt. [...] Dennoch hat uns das Wirtschaftswachstum seit dem Erdgipfel in Rio 19 92 zumindest einen großen Vorteil gebracht – es hat zweifelsfrei bewiesen, dass wir nie den Ehrgeiz hatten, das Klima zu retten, sondern dass es uns immer nur darum ging, unsere Lebensweise zu retten. Und das gilt immer noch
==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>


[...] Wenn wir eine Chance haben sollen, die weiteren irreparablen Schäden möglichst gering zu halten, müssen wir uns jetzt entscheiden. Entweder wir retten die Lebensbedingungen für alle zukünftigen Generationen oder wir lassen einige wenige Reiche ihr ständiges destruktives Streben nach unmittelbarer Profitmaximierung fortsetzen. Wenn wir uns für die erste Möglichkeiten entscheiden und beschließen, als Zivilisation fortzubestehen, müssen wir anfangen Prioritäten zu setzen. [...]
<!-- Ende Aufgabe 1 -->


Jenseits der einfachsten Grundlagen muss unsere Priorität sein, unsere verbliebenen Kohlenstoffbudgets gerecht und ganzheitlich in der Welt zu verteilen, um unsere enormen historischen Schulden zu begleichen. [...]
<!-- Aufgabe 2 -->
{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.


Wir Klima Aktivistinnen und -aktivisten werden immer wieder gefragt, was wir tun sollten, um das Klima zu retten. Aber vielleicht ist diese Frage an sich schon falsch. Vielleicht sollten wir stattdessen anfangen zu fragen, was wir nicht mehr tun sollten? [...] Ich bin der festen Überzeugung, wenn wir es schaffen, es richtig anzugehen, wird unser Leben mehr Sinn bekommen. [...] Auf keinen Fall sollte das als Rückschritt in unserer Entwicklung gelten. Im Gegenteil wäre es menschliche Evolution – menschliche Revolution."
Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}


4.18 "Ständig sagen sie das eine und tun das andere", 308
<!-- Ende Aufgabe 2 -->


4.23 "Hier ziehen wir die Grenze", 331
<!-- Aufgabe 3 -->
{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}
<!-- Ende Aufgabe 3 -->


==Was wir jetzt tun müssen==
<!-- Aufgabe 4 -->
{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.


5.1 "Der effektivste Weg aus dieser verfahrenen Lage ist, uns weiterzubilden
Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.


5.8 "Wir müssen jetzt das scheinbar Unmögliche tun", 390
[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]


5.15 "Ehrlichkeit, Solidarität, Integrität und Klimagerechtigkeit", 426
Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}


5.22 "Hoffnung muss man sich verdienen", 462
{{Lösung versteckt|1=


==Über das Buch==
[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]
===Verlagsmitteilung===
'''Das Klima-Buch von Greta Thunberg''' S. Fischer Verlag 2022


'''»Hört auf die Wissenschaft, bevor es zu spät ist!«'''
Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.


Greta Thunberg hat die Welt aufgerüttelt und tief bewegt. Mit dem Klima-Buch schafft sie nun ein unverzichtbares Werkzeug – für alle, die sich für die Rettung unseres Planeten einsetzen wollen.
Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)


Die Aufgabe scheint geradezu unmöglich: eine Zukunft für das Leben auf unserem Planeten zu sichern. So schnell und umfassend zu handeln wie noch nie zuvor. Und sich dabei gegen scheinbar übermächtige Gegner durchzusetzen – nicht nur gegen Ölmultis und Regierungen, sondern auch gegen das im Wandel befindliche Klimasystem selbst. Unsere Chancen stehen nicht besonders gut, und die Zeit läuft uns davon – '''aber es könnte alles auch ganz anders kommen'''.
Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"


Weltweit haben Expertinnen und Experten aus Geophysik, Mathematik, Ozeanographie, Meteorologie, Ökonomie, Psychologie und Philosophie ihr Fachwissen eingesetzt, um ein tieferes Verständnis der Krisen zu entwickeln, mit denen wir konfrontiert sind. Greta Thunberg hat ihr Klima-Buch in Zusammenarbeit mit über hundert Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler zusammengestellt. Außerdem erzählt sie von ihren eigenen Erfahrungen, die sie sammeln konnte. Davon, wie sie das weltweit praktizierte Greenwashing aufgedeckt und somit gezeigt hat, wie sehr wir alle hinters Licht geführt wurden. Dies ist eines der größten Probleme unserer Zeit, aber – wie Greta sagt – zugleich auch unsere größte Hoffnung. Erst wenn wir alle das Gesamtbild kennen, werden wir auch handeln können. Wenn ein einzelnes streikendes Schulkind einen weltweiten Protest lostreten kann, was könnten wir dann gemeinsam alles erreichen?
Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und  
* E-Mails.|2=Lösung
}}


In der heutigen Zeit zu leben – der entscheidendsten Zeit der Menschheitsgeschichte –, bedeutet, eine große Verantwortung zu tragen. Das Klima-Buch zeigt, dass wir gemeinsam das scheinbar Unmögliche schaffen können. Aber '''wir''' müssen es tun – und zwar jetzt!
<!-- Ende Aufgabe 4 -->


===Rezensionen===
<!-- Aufgabe 5 -->
'''Perlentaucher-Notiz zur F.A.Z.-Rezension''':
<div class="lueckentext-quiz">
Rezensent Joachim Müller-Jung ist fast ein bisschen überrascht, wie zahm Greta Thunberg in diesem Buch daherkommt - auch vor dem Hintergrund der weit medienwirksameren "Verzweiflungstaten" anderer Aktivisten zurzeit. Weniger "How dare you", dafür mehr "Aufklärungsprosa" begegnet dem Kritiker auf den rund 500 Seiten, von denen ca. 50 von Thunberg selbst, der Rest von Expert*innen verfasst wurde. Schlecht findet Müller-Jung den ruhigen Tonfall aber nicht: Gerade den internationalen Verhandlungen fehle es oftmals an der sprachlichen "Klarheit und Direktheit", die Thunberg und ihre Mitautor*innen hier beweisen, unterstützt auch durch ein gutes Lektorat, lobt der Kritiker. Auch bleibe der jungen Aktivistin so immerhin der übliche Shitstorm erspart, überlegt er. Ein informatives Krisenhandbuch vor dem siebenundzwanzigsten Weltklimagipfel, das wieder einmal "entschlossenes" Handeln fordert, dabei aber leider nicht allzu viel mediale Aufmerksamkeit erlangt, so Müller-Jung.
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.  


==Anmerkungen==
Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.
<references />
 
Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.
 
'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.
 
 
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<!-- Ende Aufgabe 5 -->
 
<!-- Aufgabe 6 -->
160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.
 
Bestimmen Sie
 
*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.
 
Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?
 
[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]
 
Geben Sie
 
*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.
 
 
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[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]
 
Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}
 
 
{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}
 
 
{{Beschreibende Statistik}}

Aktuelle Version vom 9. November 2022, 14:32 Uhr

Lernziele:

  • Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
    • absolute Häufigkeit und
    • relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
  • Sie können
    • die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
    • die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
  • Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
    • als absolute Häufigkeitsverteilung und
    • als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen Pfeil 2.gif   Übungen

Ansonsten sind Sie hier richtig.


Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in absoluten Zahlen angegeben werden oder als relativer Anteil am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.

Beispiel "Alter der Lerngruppe":
Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von und enthält folgende Beobachtungswerte:

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat Merkmalsausprägungen, nämlich:

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:

Merkmalsausprägung Summe
absolute Häufigkeit
Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man absolute Häufigkeitsverteilung.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:

Merkmalsausprägung Summe
absolute Häufigkeit
oder als Dezimal- oder Prozentzahl Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,15=15%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,2=20%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,1=10%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,4=40%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,15=15%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%}
Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man relative Häufigkeitsverteilung.


Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.


Merke

Die absolute Häufigkeit gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung an.

Statt schreibt man auch kurz .

Die relative Häufigkeit gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung bezogen auf den Stichprobenumfang an.

Statt schreibt man auch kurz .



Merke

Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

oder noch kürzer ,

wobei die Anzahl der Merkmalsausprägungen und den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man absolute Häufigkeitsverteilung.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

oder noch kürzer ,

wobei die Anzahl der Merkmalsausprägungen und den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man relative Häufigkeitsverteilung.


Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen

Einführungsbeispiel - Teil 5

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon für männlich und für weiblich

Merkmalsausprägung männlich weiblich Summe
absolute Häufigkeit

Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:

Merkmalsausprägung männlich weiblich Summe
relative Häufigkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{12}{30}=0,4=40%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{18}{30}=0,6=60%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1=100%}


Aufgabe


Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.

Übungen

Zuordnung
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.

Merkmalsausprägungen alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
Beobachtungswerte Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
absolute Häufigkeit Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
relative Häufigkeit Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang


Aufgabe

1.4.2 Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.

Beschreibende Statistik - Lösung


Aufgabe

1.4.3 Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.

Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe


Aufgabe

Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie

  • die absolute Häufigkeit und
  • die relative Häufigkeit
    • als Bruch und
    • als Prozentzahl.

Strichliste

Geben Sie

  • die Grundgesamtheit,
  • den Stichprobenumfang,
  • das Merkmal und
  • die Merkmalsausprägungen an.

Häufigkeiten

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:

  • Chatten,
  • Musikdownload,
  • Informationen,
  • Games und
  • E-Mails.


Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man absolute Häufigkeit.

Den Anteil von der Gesamtmenge nennt man relative Häufigkeit.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets 100 % oder 1, denn die Summe der Anteile ergibt ein Ganzes.

Rundungen können zu Abweichungen führen.



160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

  • die absolute Häufigkeit und
  • die relative Häufigkeit
    • als Bruch und
    • als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

Urliste Beobachtungswerte

Geben Sie

  • die Grundgesamtheit,
  • den Stichprobenumfang,
  • das Merkmal und
  • die Merkmalsausprägungen an.



Lösung

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.


Klassenbildung


Datei:Estatística ícone.svg

Lernpfad Beschreibende Statistik

  1. Grundbegriffe
  2. Graphische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen
  3. Lagemaße
    (arithmetisches Mittel, Modus, Median)
  4. Streuungsmaße
    (mittlere absolute Abweichung, mittlere quadratische Abweichung, Standardabweichung)
  5. Einsatz des Taschenrechners
    (Bedienung Casio fx-991DE PLUS)
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