Differentialrechnung Version Vorlesung 2: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 28. Mai 2018, 17:02 Uhr

Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater

Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.

Barrington-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion k(x)=0,002x^2 für 0 \leq x \leq 300 beschrieben werden.

LP Krater.png


Stift.gif   Aufgabe 1

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?





Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Barringer-Krater

Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A\left( x_0 | k(x_0) \right) und B\left( x_1 | k(x_1) \right) kann mit  m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet, nennt man Sekante.

 m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} ist dann die Sekantensteigung.



Stift.gif   Aufgabe 2

Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind: x_1-x_0 und k(x_1)-k(x_0)

Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)


Applet

Lösung



Stift.gif   Aufgabe 3

Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300|180) und B(400|320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x0 hinaus fortgesetzt denkt.




Information
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade (lokal) den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.


In der Graphik der Lösung der Aufgabe 6 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Stift.gif   Aufgabe 4

Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.

Berechnen Sie die Steigungen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie für \Delta x und \Delta y aus dem Applet entnehmen können.

Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen?


Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden. Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.