Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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(Trigonometrische Funktionen)
 
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===Trigonometrsiche Funktionen===
 
===Trigonometrsiche Funktionen===
==Die Sinusfunktion==
 
Im Applet kannst du die Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis nachvollziehen. Du kannst den Punkt K auf dem Einheitskreis bewegen.
 
  
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==Die Winkelfunktionen am Einheitskreis==
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Sinus und Kosinuns waren zunächst nur für Winkel zwischen 0° und 90° definiert.
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Die Erweiterung dieser Definitionen ergibt sich, wenn <math>\alpha</math> als Drehwinkel am Einheitskreis betrachtet wird.
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Der Einheitskreis hat den Radius 1, auf der Kreislinie befindet sich ein Punkt P. Stelle dir einen Zeiger <math>\vec{OP}</math>  vor, der sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Zu jeder Stellung des Zeigers gehören ein Winkel <math>\alpha</math> und ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenusenlänge 1 (Hypothenuse = Radius). Da die Hypothenuse die Länge 1 hat, gilt:<br>
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<math>\sin (\alpha) =\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \frac{Gegenkathete}{1} = Gegenkathete </math>
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Der Punkt P hat also die Koordinaten P(<math>\cos (\alpha )  /\sin (\alpha )</math>).
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Diese Bezeichnung gilt auch für Winkel größer als 90°. Je nachdem, in welchem Quadranten des Koordinatensystems P liegt, sind die Werte für <math>\cos (\alpha) </math> bzw. <math>\sin (\alpha) </math> unter Umständen auch negativ.
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== Das Bogenmaß ==
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Eine andere Möglichkeit, den Winkel und damit P anzugeben, ist das sogenannte ''Bogenmaß''. Als Bogenmaß wird die Länge x des Bogens bezeichnet, den der Zeiger bis zum Punkt P entlang läuft. Die Einheit des Bogenmaßes lautet rad (= Radiant), wird in der Regel aber weggelassen.
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[[Bild:Einheitskreis_Bogenmaß.jpg]]
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Für einen ganzen Kreis beträgt das Gradmaß <math>\alpha</math> = 360° und das Bogenmaß x = 2<math>\pi</math> (der Umfang des Einheitskreises beträgt <math>\pi</math>). Die genaue Formel zur Umrechnung eines Winkels im Gradmaß in das Bogenmaß findest du unten im Definitionskasten.
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==sinusfunktion und Kosinusfunktion==
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{{Definition|Mithilfe des Einheitskreises kann man die Defintion von Sinus und Kosinus auf Winkel größer als 90° erweitern. Zu jedem Winkel <math>\alpha </math> im Gradmaß gehört das Bogenmaß des Winkels. Dieses ist die Länge x des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Dabei gilt: <math>x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180 ^\circ}</math>.
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Die Funktion <math>f(x) = \sin (x)</math> heißt ''Sinusfunktion'', die Funktion <math>f(x) = \cos (x)</math> ''Kosinusfunktion''.}}
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Im [https://www.geogebra.org/m/uznfmpkj Applet ] kannst du die Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis nachvollziehen, im [https://www.geogebra.org/m/tubqqs2r zweiten Applet ]. Du kannst dabei jeweils den Punkt K auf dem Einheitskreis bewegen.
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Version vom 9. Mai 2019, 21:45 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Trigonometrsiche Funktionen

Die Winkelfunktionen am Einheitskreis

Sinus und Kosinuns waren zunächst nur für Winkel zwischen 0° und 90° definiert. Die Erweiterung dieser Definitionen ergibt sich, wenn \alpha als Drehwinkel am Einheitskreis betrachtet wird.

Einheitskreis.jpg


Der Einheitskreis hat den Radius 1, auf der Kreislinie befindet sich ein Punkt P. Stelle dir einen Zeiger \vec{OP} vor, der sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Zu jeder Stellung des Zeigers gehören ein Winkel \alpha und ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenusenlänge 1 (Hypothenuse = Radius). Da die Hypothenuse die Länge 1 hat, gilt:

\sin (\alpha) =\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \frac{Gegenkathete}{1} = Gegenkathete

\cos (\alpha) =\frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{Ankathete}{1} = Ankathete

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(\cos (\alpha )  /\sin (\alpha )). Diese Bezeichnung gilt auch für Winkel größer als 90°. Je nachdem, in welchem Quadranten des Koordinatensystems P liegt, sind die Werte für \cos (\alpha) bzw. \sin (\alpha) unter Umständen auch negativ.

Das Bogenmaß

Eine andere Möglichkeit, den Winkel und damit P anzugeben, ist das sogenannte Bogenmaß. Als Bogenmaß wird die Länge x des Bogens bezeichnet, den der Zeiger bis zum Punkt P entlang läuft. Die Einheit des Bogenmaßes lautet rad (= Radiant), wird in der Regel aber weggelassen.

Einheitskreis Bogenmaß.jpg

Für einen ganzen Kreis beträgt das Gradmaß \alpha = 360° und das Bogenmaß x = 2\pi (der Umfang des Einheitskreises beträgt \pi). Die genaue Formel zur Umrechnung eines Winkels im Gradmaß in das Bogenmaß findest du unten im Definitionskasten.

sinusfunktion und Kosinusfunktion

Definition

Mithilfe des Einheitskreises kann man die Defintion von Sinus und Kosinus auf Winkel größer als 90° erweitern. Zu jedem Winkel \alpha im Gradmaß gehört das Bogenmaß des Winkels. Dieses ist die Länge x des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Dabei gilt: x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180 ^\circ}. Die Funktion f(x) = \sin (x) heißt Sinusfunktion, die Funktion f(x) = \cos (x) Kosinusfunktion.



Im Applet kannst du die Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis nachvollziehen, im zweiten Applet . Du kannst dabei jeweils den Punkt K auf dem Einheitskreis bewegen.