Grundwissen - Brüche

Terme

1. Vorwort
2. Terme und Variablen
3. Aufstellen und Interpretieren von Termen
4. Umformen von Termen
5. Auflösen von Klammern
6. Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen
7. Weitere Aufgaben
8. Grundwissenübersicht - Alles auf einen Blick

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Termbegriff

Eine Klasse macht am Wandertag einen Ausflug in den Zoo mit dem Zug. Der Zug hat folgende Maße:
Lokomotive: 15,5 m ; Waggon jeweils 20,25 m.

• Wie lang ist der Zug (1 Lokomotive, 2 Waggons)?
• Wie lang ist der Zug mit 3, 5, 9, Waggons?
• Wie kannst du die verschiedenen Längen des Zuges am einfachsten berechnen?

• Der Zug setzt sich zusammen aus 1 Lokomotive und 2 Waggons. Die Lokomotive ist 15,5 m lang und die 2 Waggons jeweils 20,25 m. Also ist die Länge des Zuges:
  15,5 m + 20,25 m +20,25 m = 56 m

• Länge des Zuges mit 3 Waggons:
  15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 76,25 m
• Länge des Zuges mit 5 Waggons:
  15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 116,75 m
• Länge des Zuges mit 8 Waggons:
  15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m= 197,75 m

• In den Rechnungen oben hat sich die Anzahl der Waggons verändert. Um möglichst schnell und einfach viele verschiedene Waggonsanzahlen auszurechnen, ist es sinnvoll sich zu überlegen, welche Zahlen sich verändern und welche nicht.
  Die Lokomotive bleibt immer gleich, sie ist "fest". Die Anzahl der Waggons verändert sich, sie "variiert". Also kannst du diese Rechnung auch so schreiben: $15,5m + \Box*(20,25m)$
  und für $\Box$ die verschiedenen Anzahlen der Waggons einsetzen.

Erklärung

Term und Variable

Den oben verwendeten Rechenausdruck nennt man Term. Ein Term kann neben Zahlen auch Größen enthalten, die veränderbar sind. Diese Größen nennt man Variable, zum Beispiel $\Box$ oder Buchstaben wie a, b, c, n oder x, y, z. Sie halten den Platz für verschiedene Einsetzungen frei.

Beispiel 1

$T(n)=4\cdot n$ (lies "T von n gleich vier mal n")
Dieser Term beschreibt alle Vielfachen von 4, wenn man für n der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt.

n	1	2	3	4	5	6
$T(n)$	$T(1)=4 \cdot 1=4$	$T(2)=4 \cdot 2=8$	$T(3)$	$T(4)$	$T(5)$	$T(6)$

Vervollständige die Tabelle in deinem Heft.

n	1	2	3	4	5	6
$T(n)$	$T(1)=4 \cdot 1=4$	$T(2)=4 \cdot 2=8$	$T(3)=4 \cdot 3=12$	$T(4)=4 \cdot 4=16$	$T(5)=4 \cdot 5=20$	$T(6)=4 \cdot 6=24$

Beispiel 2

$T(x)=x^2$ (lies "T von x gleich x hoch 2")
Dieser Term beschreibt alle Quadratzahlen, wenn man für x der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt. Fertige wie in Beispiel 1 eine Tabelle in deinem Heft an.

x	1	2	3	4	5	6
$T(x)$

x	1	2	3	4	5	6
$T(x)$	$T(1)=1^2=1$	$T(2)=2^2=4$	$T(3)=3^2=9$	$T(4)=4^2=16$	$T(5)=5^2=25$	$T(6)=^2=36$

Rechenregeln

Erklärung

Definitionsmenge und Termwert

Die Schreibweise T(n) bzw. T(x) beschreibt, dass n bzw. x die Variable ist. Die Zahlen, die für die Variable in einen Term eingesetzt werden dürfen und zu einer sinnvollen Aussage führen, nennt man Definitionsmenge $D$. Setzt du für die Variable eine Zahl aus der Definitionsmenge $D$ ein, so errechnest du den zugehörigen Termwert.

In der 6. Klasse hast du bereits gelernt, dass es verschiedene Termarten gibt. (Falls du dich nicht mehr erinnern kannst, klicke hier)

Konvention

Vereinbarung:

1. Malpunkte zwischen einer Zahl (oder Variablen) und einer Variablen oder einer Klammer können weggelassen werden

Beispiel:

$3\cdot x=3x$

$a\cdot b=ab$

$5\cdot(a^2+b)=5(a^2+b)$

2. Vorrangregel: Klammern zuerst, Potenz vor Punkt, Punkt vor Strich!

3. Es gilt: $3\cdot 7+2 \cdot a=3 \cdot 7+2a$

Den Malpunkt zwischen zwei Zahlen darfst du nicht weglassen! Ist mindestens ein Faktor eine Variable dann kannst du ihn weglassen!

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Gib zu jedem der Terme die Termart (oben) und das Ergebnis (unten) an, indem du die Felder in die Kästchen ziehst:

$T_1(x)=10\cdot x-12$	$T_2(x)=10\cdot(x-12)$	$T_3(x)=10\cdot x+(-12)$	$T_4(x)=(x+x):3$	$T_5(x)=(x+3)\cdot x$	$T_6(x)=x+(3+x)$
Differenz	Produkt	Summe	Quotient	Produkt	Summe
10x-12	10x-120	10x-12	2x:3 bzw.$\frac{2x}{3}$	x2+3x	3+2x

Aufgabe 2

Monika,Felix und Katrin berechnen den Wert des Terms T(x) = 3x+2x² für x=5. Monika erhält als Ergebnis T(5) = 115, Felix erhält T(5) = 625 und Katrin erhält T(5) = 65.

1 a) Wer hat das richtige Ergebnis errechnet?

	Monika
	Katrin
	Felix

2 b) Welchen Fehler haben die anderen beiden gemacht? Sie haben das/die ... missachtet

	Vorrangregel
	Distributivgesetz
	Kommutativgesetz

3 c) Welche Änderungen ergeben die Termwerte von den anderen Kindern?

	$3x+(2x)^2$
	$-(3x)+(2x^2)$
	$(3x+2x)^2$

Aufstellen und Interpretieren von Termen