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Main>Qpm-68 |
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| {{Navigation verstecken|{{Lernpfad Terme}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
| | '''Boomwhackers''' sind gestimmte [[Percussion]]röhren. |
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| __NOTOC__
| | == Einsatz in der Schule == |
| ==Distributivgesetz der Multiplikation== | |
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| {{Box|1=Aufgabe|2=
| | Boomwhackers sind ideal geeignet, um mit Schülern aller Altersstufen [[Klassenmusizieren]] ohne großen finanziellen und technischen Aufwand zu realisieren. Der Name setzt sich zusammen aus den Begriffen BOOM = lautmalerisch für erzeugten Ton und WHACK = engl. schlagen, also für die Art wie der Ton erzeugt wird. Der Standardsatz umfaßt C-Dur diatonisch. Mit Hilfe von Oktavkappen kann ein Tonumfang von 2 Oktaven erreicht werden. Zusätzlich wird eine Bassergänzungsoktave angeboten, die mit besagten Oktavkappen realisiert werden kann. Außerden gibt es für beide noch die chromatischen Ergänzungssätze. |
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| Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zur Seitenlänge s erweitert (siehe Skizze).
| | Für den Anfang reicht jedoch der diatonische Satz und die Oktavkappen. Man benötigt für eine KLasse vier Sets zu je ca. ab 25,- € plus 2 Sätze Oktavkappen zu je 12,- €. Somit kann man 32 Kinder komplett mit Instrumenten für 124,- Euro ausstatten. |
| Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?
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| [[Bild:erweitertes_quadrat_einstieg5.jpg|right]]
| | Boomwhackers können sowohl rein rhythmisch als Ergänzung zum vorhandenen Instrumentenfundus eingesetzt werden. Man kann mit ihnen Melodien in eingeschränktem Umfang erzeugen. Den wichtigsten Einsatz jedoch bildet die harmonisch rhythmische Song- oder Liedbegleitung. |
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| {{Lösung versteckt|1=
| | == Boomwhackers - How to Start == |
| Der Flächeninhalt eines Rechtecks lautet <math> A_R= l \cdot b </math>
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| Die Länge l setzt sich hier aus a+e zusammen, b ist in diesem Fall s. <br />
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| Also errechnet sich der Flächeninhalt der Figur so: <br />
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| <math> A_F = ( a+e ) \cdot s </math>}}
| | Der tägliche Einsatz von Boomwhackers wird häufig behindert durch die - noch spärliche - Literatur, die entweder den kompletten Boomwhackers-Bestand erfordert und/oder vom Lehrer erhebliche Transkriptions-, Umschreib- und Kopierarbeiten verlangt, was im Schulalltag für das Fach Musik kaum oder nur selten für besondere Anlässe realisierbar ist. Ein praxisbezogener Weg findet sich in: |
| <br />
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| Überlege nun, wie du das Produkt in eine Summe umwandeln kannst.
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| {{Lösung versteckt|1=
| | *[http://www.andreasvonhoff.de/mat_bw.php Andreas von Hoff: Boomwhackers - How to Start. Klassenmusizieren mit dem Boomwhackers-Konzept] |
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| <math> (a+e) \cdot s = a \cdot s + e \cdot s </math>
| | Hier sind auch Klangbeispiele zu finden. |
| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| ==Erklärung==
| | Ebenfalls gibt es dort die [http://andreasvonhoff.de/mat_bw.php Boomwhackers-Begleitarrangements als Ergänzung zu Lorenz Maierhofers "Sim-Sala-Sing"]. |
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| Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).
| | Der Vertrieb läuft in Deutschland und Österreich über [http://www.best-acoustics.de/ www.bestacoustics.de] (in der Schweiz über [http://www.musicanova.ch/ www.musicanova.ch]). Auf der Internetseite findet man dann die Adressen der Händler, die die Instrumente an Endkunden verkaufen. |
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| : <math> a \cdot(b+c) = a \cdot b+a \cdot c = ab + ac \text{ für alle } a, b, c \in Q</math>
| | == Versand-Handel == |
| : <math> a \cdot (b-c) = a \cdot b - a \cdot c = ab - ac \text{ für alle } a, b, c \in Q</math> | | |
| :: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation) | | * [http://www.musik-produktiv.de/ Musik Produktiv] - Der diatonische Satz c - c' kostet dort zum Beispiel 25,-- Euro. |
| | * [http://www.thomann.de/de/search.html?oa=rnk&sw=boomwhackers Thomann Cyberstore] |
| | * [http://www.kieffers-musik.de Kieffer's Musikladen] |
| | * [http://www.never-stop-the-beat.de/ Percussion+M] |
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| | == Boomwhackers und Stomp == |
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| | Boomwhackers sind eine gute Ergänzung bzw. Erweiterung zu [[Stomp]]. Dazu sind inzwischen zwei Sonderhefte erschienen: |
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| ==Beispiel==
| | * Boomwhackers im Klassengroove |
| | :http://www.helbling.com (Einfach "Boomwhackers" im Suchfeld eingeben) |
| | {{Meinung|Im Schwierigkeitsgrad ansteigende Übungsstücke, Klassenarrangements und ausführliche Hinweise zu verschiedenen Spieltechniken (die häufig geäußerte Kritik, die Boomwhackers würden nicht klingen, liegt m.E. am falschen Umgang mit den Instrumenten; wir hatten schon Klassen-Aufführungen in einer großen Aula mit 400 ZuhörerInnen und der Sound war richtig gut - ohne Verstärkung!). -- [[Benutzer:Thkoch2001]] 18:48, 3. Sep 2005 (CEST)}} |
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| <math> (2-y) \cdot 3 = 2 \cdot 3-y \cdot 3 = 6-3y </math>
| | *[http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/3795704944/dirkbechtel Boomwhackers Musical Tubes] |
| | :Klassenarrangements und Spielstücke, Sonderheft von "klasse musik" |
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| Multipliziere nun folgende Terme aus:
| | ==Weblinks== |
| | * [http://www.boomwhackers.com Boomwhackers] |
| | * [http://www.andreasvonhoff.de/ Andreas von Hoff - Drum Circles - Musizieren im Unterricht und in AGs] |
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| * <math> (4+m)\cdot 2 </math>
| | == Siehe auch == |
| {{Lösung versteckt|1=
| | * [[Musik]] |
| <math> (4+m)\cdot 2 = 4 \cdot 2 + m \cdot 2 = 8 +2m </math>
| | * [[Percussion]] |
| <br>
| | * [[Rhythmus]] |
| }}
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| * <math> (7+z) \cdot (-4) </math>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math> (7+z)\cdot (-4) = 7\cdot (-4) + z\cdot (-4) = -28 - 4z </math>
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| <br>
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| }}
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| * <math> (\frac{1}{2}+a) \cdot \frac{1}{2}</math>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math> (\frac{1}{2} + a) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + a \cdot \frac{1}{2} = </math>
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| <math> = \frac{1}{4} + \frac{a}{2} </math>
| | [[Kategorie:Musik]] |
| <br />
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| }}
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| * <math> (\frac{1}{3}-k) \cdot \frac{3}{4}</math>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math> (\frac{1}{3}- k) \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} - k \cdot \frac{3}{4} = </math>
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| <math> = \frac{1}{4} - \frac{3k}{4}</math>
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| <br />
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| }}
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| ==Distributivgesetz der Division==
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| {{Box|1=Aufgabe|2=
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| Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:
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| * Anna: "Wir zählen alle Bonbons zusammen und teilen sie dann durch 3."
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| * Sara: "Wir teilen erst die Waldbeerbonbons durch 3, dann die Kirschbonbons und zählen dann zusammen, wie viele Bonbons jede von uns bekommt."
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| * Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?"
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| Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften als Termen und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.
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| [[Bild:bonbons_einstieg_dg-division-neu.jpg|right]]
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| {{Lösung versteckt|1=
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| * Anna: <math> (9+18):3 = 27:3 = 9 </math>
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| * Sara: <math> 9:3 + 18:3 = 3+6 = 9 </math>
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| <math>\Rightarrow (9+18):3 = 9:3 + 18:3 = 9 </math>
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| Also haben alle drei Freundinnen recht.
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| }}
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| Versuche nun, eine dafür allgemein geltende Rechenregel zu formulieren.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math>(a+b):c = a:c + b:c </math>
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| ===Erklärung===
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| Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).
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| : <math>\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c}+ \frac{b}{c} \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\} </math>
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| bzw.:
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| : <math> (a+b):c = a:c + b:c \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\} </math>
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| | |
| : <math> \frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c} \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\} </math>
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| | |
| bzw.:
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| : <math> (a-b):c = a:c - b:c \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\} </math>
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| :: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)
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| ===Beispiel===
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| <math> (a+6):8 = \frac{a}{8} + \frac{6}{8} = \frac{a}{8} + \frac{3}{4} </math>
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| Dividiere selbst:
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| * <math> (z-0,5):2 </math>
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| * <math> (m-c):c </math>
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| * <math> (2,8-0,3):a </math>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| * <math> (z-0,5):2 = \frac{z}{2} - \frac{0,5}{2} = \frac{z}{2}- 0,25 </math>
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| * <math> (m-c):c = \frac{m}{c} - \frac{c}{c} = \frac{m}{c} - 1 </math>
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| * <math> (2,8-0,3):a = (2,5):a = 2,5:a </math>
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| }}
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| ==Ausmultiplizieren und Ausklammern==
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| {{Box|1=Aufgabe|2=
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| Du hast vorhin ein Quadrat berechnet, dessen Seitenlänge a um e erweitert wurde und dessen andere Seitenlänge zu s erweitert wurde.
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| Berechne jetzt den Flächeninhalt für das Rechteck, wenn sich s aus a und f zusammensetzt. (siehe Skizze)
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| [[Bild:erweitertes quadrat ausklammern.jpg]]
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| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Wie oben:
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| <math> A_F = ( a+e ) \cdot s </math>
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| für <math> s = a+f </math> einsetzen:
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| <math> A_F = ( a+e ) \cdot ( a + f ) </math>
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| }}
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| Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du eine Summe mit einem Faktor multiplizieren (bzw. dividieren).
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| Überlege, wie der neue Term für den Flächeninhalt <math> A_F = (a+e) \cdot (a+f) </math> ausmultipliziert werden kann.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math> A_F = (a+e) \cdot (a+f)
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| := a(a+f)+e(a+f) =
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| := (a^2+af)+(ae+ef)
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| := a^2+af+ae+ef </math>
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| ===Erklärung===
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| Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein <u>Produkt in eine Summe</u>.
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| : <math> (a+b) \cdot (c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd </math>
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| : <math> (a-b) \cdot (c+d) = a(c+d) - b(c+d) = (ac+ad) - (bc+bd) = ac + ad - bc - bd </math>
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| : <math> (a+b) \cdot (c-d) = a(c-d) + b(c-d) = (ac-ad) + (bc-bd) = ac - ad + bc - bd </math>
| |
| : <math> (a-b) \cdot (c-d) = a(c-d) - b(c-d) = (ac-ac) - (bc-bd) = ac - ad - bc + bd </math>
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| <u>Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!</u>
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| ===Beispiel===
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| <math> (x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5) = (x^2+5x) + (2x+10) = x^2 +5x +2x +10 = x^2+7x+10 </math>
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| Berechne selbst:
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| * <math> (y+7)(3+y) </math>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| * <math> (y+7)(3+y) = y(3+y) + 7(3+y) = (3y+y^2) + (21+7y) </math>
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| :<math>= 3y+y^2 + 21 +7y = y^2 +10y+21 </math>}}
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| * <math> (a-5)(1+a+2) </math>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| * <math> (a-5)(1+a+2) = a(1+a+2) - 5(1+a+2) = (a+a^2+2a) - (5+5a+10) </math>
| |
| :<math> = a+a^2+2a-5-5a-10 = a^2+a+2a-5a-5-10 = a^2-2a-15 </math>}}
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| * <math> (m+n+o)(m-n-o) </math>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| * <math> (m+n+o)(m-n-o) = m(m-n-o) + n(m-n-o) + o(m-n-o) </math>
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| :<math> = (m^2-mn-mo) + (mn-n^2-no) + (mo-no-o^2) </math>
| |
| :<math> = m^2-mn-mo+mn-n^2-no+mo-no-o^2 = m^2-n^2-2no-o^2 </math>}}
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| {{Box|1=Aufgabe|2=
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| Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.
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| <math> 21x+14y+7 </math>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math> 21x+14y+7 = 7(3x+2y+1) </math>
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| ===Erklärung===
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| Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere '''gemeinsame''' Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern.
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| Dieser Rechenschritt verwandelt eine <u>Summe in ein Produkt</u>.
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| : <math> a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d + a \cdot e = a \cdot (b+c+d+e) </math>
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| ===Beispiel===
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| <math> 2a-2b = 2(a-b) </math>
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| Berechne selbst:
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| * <math> ax+a </math>
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| * <math> 6z^2 + 21z </math>
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| * <math> 6ab^3 + 9ab^2 - 15ab </math>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| * <math> ax+a = a(x+1) </math>
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| * <math> 6z^2+21z = 3z(2z+7) </math>
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| * <math> 6ab^3+9ab^2-15ab = 3ab(2b^2+3b-5) </math>
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| }}
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| ==Übungsaufgaben==
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| {{Box|1=Aufgabe 1|2=
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| Multipliziere aus und fasse zusammen
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| * <math> (m-n)(5n+m) </math>
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| * <math> (2a-3b)(2a-3b) </math>
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| * <math> (5r+2)(3r+2) </math>
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| | |
| * <math> (m-n)(5n+m) = m(5n+m) - n(5n+m) = (5mn+m^2) - (5n^2+nm) </math>
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| <math> = 5mn+m^2-5n^2-nm = m^2+4mn-5n^2 </math>
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| <br>
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| * <math> (2a-3b)(2a-3b) = 2a(2a-3b) - 3b(2a-3b) = (4a^2-6ab) - (6ab-9b^2) </math>
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| | |
| <math> = 4a^2-6ab-6ab+9b^2 = 4a^2-12ab+9b^2 </math>
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| <br>
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| | |
| * <math> (5r+2)(3r+2) = 5r(3r+2) + 2(3r+2) = (15r^2+10r) + (6r+4) </math>
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| | |
| <math> = 15r^2 +10r+6r+4 = 15r^2+16r+4 </math>
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| | |
| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| | |
| {{Box|1=Aufgabe 2|2=
| |
| | |
| Übertrage die Termmauer in dein Heft und rechne sie aus.
| |
| [[Bild:rechenpyramide.jpg]]
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| [[Bild:rechenpyramide_lösung_2.jpg|center]]
| |
| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| | |
| {{Box|1=Aufgabe 3|2=
| |
| Berechne den Flächeninhalt aus den angegebenen Maßen und vereinfache dann so weit wie möglich.
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| a) [[Bild:Quadratundrechteck.jpg|center]]
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| | |
| b) [[Bild:rechteck_terme.jpg|center]]
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| | |
| a) <math>
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| \begin{array}{lcr}
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| A & = & (3x+y) \cdot (3x+y) \\
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| & = & 3x(3x+y) + y(3x+y)\\
| |
| & = & (9x^2+3xy) + (3xy+y^2) \\
| |
| & = & 9x^2+3xy+3xy+y^2 \\
| |
| &= & 9x^2+6xy+y^2
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| | |
| | |
| b) <math> A = (2a+3b) \cdot (2a-3b) = 2a(2a-3b) + 3b(2a-3b) = (4a^2-6ab) + (6ab-9b^2) </math>
| |
| | |
| <math> = 4a^2-6ab+6ab-9b^2 = 4a^2-9b^2 </math>
| |
| }}
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
| |
| | |
| | |
| {{Box|1=Aufgabe 4|2=
| |
| Finde die Lösungen und ziehe sie mit der Maus in das Lösungsfeld.
| |
| | |
| <div class="lueckentext-quiz">
| |
| {{{!}} class="wikitable center"
| |
| {{!}}-
| |
| ! <math> (x+2) \cdot (x+3) </math> !! <math> (x-3) \cdot (x-1) </math> !! <math> (x-5) \cdot (x+2) </math> !! <math> (x+4) \cdot (x-2) </math> !! <math> (x-1) \cdot(x+1) </math> !! <math> (x+2) \cdot (x+2) </math>
| |
| {{!}}-
| |
| {{!}} <strong> x<sup>2</sup> +5x+6 </strong> {{!}}{{!}} <strong> x<sup>2</sup> -4x+3 </strong> {{!}}{{!}} <strong> x<sup>2</sup>-3x-10 </strong> {{!}}{{!}} <strong> x<sup>2</sup>+2x-8 </strong> {{!}}{{!}} <strong> x<sup>2</sup> -1 </strong> {{!}}{{!}} <strong> x<sup>2</sup>+4x+4 </strong>
| |
| {{!}}}
| |
| </div>
| |
| | |
| |3=Arbeitsmethode}}
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| Super! Den Hauptteil des Lernpfades hast du geschafft!!
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| {{Fortsetzung|weiter=Weiteren Aufgaben zum Üben!|weiterlink=../weitere Aufgaben}}
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| | |
| [[Kategorie:ZUM2Edutags]]
| |
| [[Kategorie:Mathematik]]
| |
| [[Kategorie:Variable]]
| |
| [[Kategorie:Terme]]
| |
| [[Kategorie:Interaktive Übung]]
| |
| [[Kategorie:R-Quiz]] | |
