Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/3.Station und Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/4.Station: Unterschied zwischen den Seiten

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==4. Station: Zusammenfassung==
[[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung|1. Station: Ähnlichkeitsabbildung]] - [[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen|Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung]] - [[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/2.Station|2. Station: Streckungsfaktor]] - [[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/2.Station Fortsetzung|Fortsetzung der 2. Station: Streckungsfaktor]] - [[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/3.Station|3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors]] - [[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/4.Station|4. Station: Zusammenfassung]] - [[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/5.Station|5. Station: Übung]] - [[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/6.Station|6. Station: Wissenswertes]]
:Hier siehst du alles, was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst.
:Schreibe dir diese Zusammenfassung in dein Heft.
<div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung'''<br>
Wenn eine Vergrößerung von einem Zentrum ausgeht, dann spricht man von einer '''zentrischen Streckung'''. <br>
Sie wird festgelegt durch Angabe eines '''Streckungszentrums Z''' und eines '''Streckungsfaktors k'''. (Kurz: )<br>
Der '''Urpunkt P''', der '''Bildpunkt P'''' und das Streckungszentrum Z liegen auf einer Geraden. <br>
Es gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> <br>
Bei |k|>1 liegt eine Vergrößerung, bei 0<|k|<1 eine Verkleinerung vor. <br>
Wenn k=1 ist liegt die Identität vor, bei k= -1 eine Spiegelung. <br>
Für k>0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf der gleichen Seite von Z. <br>
Für k<0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten von Z. <br>
</div>
</div>
<br>
<br>
==3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors==
Wie du in der 2. Station schon herausgefunden hast, ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke.<br>
Geometrisch bedeutet dies für einen beliebigen Punkt P: <math> \overline{ZP'} = \mid k\mid  \cdot \overline{ZP}</math><br>
Daraus folgt: <math>\mid k\mid  = {\overline{ZP'}\over\overline{ZP}}</math><br>
<br>
Ob dies auch zur Berechnung von Strecken, die nicht durch den Punkt Z verlaufen, gilt, kannst du durch Umformung herausfinden. <br>
Ziehe dafür den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:<br>
<div style="border: 2px solid #0000ff; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{|
|[[Bild:Porzelt_Streckenlänge.jpg]]||
<div class="lueckentext-quiz">
<span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> und <span style="text-decoration: overline;">ZQ'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZQ</span><br>
<span style="text-decoration: overline;">PQ</span> = <span style="text-decoration: overline;">ZQ</span> - <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> und <span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = <span style="text-decoration: overline;">ZQ'</span> - <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span><br>
<math>\Rightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = '''|k|''' ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZQ</span> - |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>'''<br>
<math>\Rightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ ('''<span style="text-decoration: overline;">ZQ</span>''' - '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>''')<br>
<math>\Rightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">PQ</span>'''
</div>
|}
</div>
<br>
[[Bild:Porzelt_lobenderPanto3.jpg]]
<br>
<div align="left">[[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/4.Station|<math>\Rightarrow</math> Weiter zur 4. Station: Zusammenfassung]]</div>
<br>
<div align="left">[[Lernpfade/Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/2.Station Fortsetzung|<math>\Leftarrow</math> Zurück zur Fortsetzung der 2. Station: Streckungsfaktor]]</div>

Version vom 3. Juli 2009, 19:30 Uhr

4. Station: Zusammenfassung

Hier siehst du alles, was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst.
Schreibe dir diese Zusammenfassung in dein Heft.

Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung
Wenn eine Vergrößerung von einem Zentrum ausgeht, dann spricht man von einer zentrischen Streckung.
Sie wird festgelegt durch Angabe eines Streckungszentrums Z und eines Streckungsfaktors k. (Kurz: )
Der Urpunkt P, der Bildpunkt P' und das Streckungszentrum Z liegen auf einer Geraden.
Es gilt: ZP' = |k| ∙ ZP
Bei |k|>1 liegt eine Vergrößerung, bei 0<|k|<1 eine Verkleinerung vor.
Wenn k=1 ist liegt die Identität vor, bei k= -1 eine Spiegelung.
Für k>0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf der gleichen Seite von Z.
Für k<0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten von Z.


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