Potenzfunktionen - 3. Stufe

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Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form mit als Exponenten haben.

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n IN

Funktionsgraph kennenlernen

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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit , Vorlage:Merksatz

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:


Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge über den Satz des Pythagoras zu:

Die Lösung ist ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.

Auch die Länge der Raumdiagonale im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: ) zu:

Die Lösung ist also angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge ergibt sich über:

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen durch ziehen der 3.-Wurzel:

Einfluss von Parametern

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*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)

Einschränkung auf IR+0

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung:

Wegen

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

mit und

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

.

Dann gilt: IDg = IR.


Maehnrot.jpg Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.

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