Benutzer:Susanne Niederberger: Unterschied zwischen den Versionen

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Lehramt Studentin an der Universität Salzburg
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{{Lernpfad|Der folgende Lernpfad wurde als fachdidaktisches Projekt im Rahmen einer Lehrveranstaltung an der Universität Salzburg erstellt und soll einen experimentellen Zugang zur Binomialverteilung vermitteln, deren Formeln hier von den SchülerInnen selbstständig erarbeitet wird.
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Die SchülerInnen sollten zur Bearbeitung des Lernpfades bereits Bernoulli-Experimente kennen und mit Hilfe von Baumdiagrammen Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Ereignissen berechnen können. Außerdem sollten sie den Binomialkoeffizienten bereits kennen.}}
  
Erstellen eines Lernpfades für einen Didaktik Kurs
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{{Testen|Erledige die Aufgabe des Lernpfads der Reihenfolge nach!}}
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{{Protokollieren|Notiere über den gesamten Lernpfad hinweg deine Vorgehensweisen und Ergebnisse!}}
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=Einführung der Binomialverteilung=
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===Bernoulli-Experiment===
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{{Testen}}
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'''Wiederhole mit Hilfe des folgenden Quiz die wichtigsten Eigenschaften eines Bernoulli-Experiments!'''
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<div class="multiplechoice-quiz">
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Wie viele Versuchsausgänge hat ein Bernoulli-Experiment?
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(!mindestens 2)  (genau 2) (!höchstens 2)
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Wie werden die Ausgänge eines Bernoulli-Experiments üblicherweise genannt?
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(!Ja und Nein) (!Niete und Nichttreffer) (Niete und Treffer) (!Wahr und Falsch) (Treffer und Niete)
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Was ist die Wahrscheinlichkeit ''q'' dafür, dass das Experiment keinen Treffer erzielt, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit ''p'' ist?
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(!<math>q=p-1</math>) (<math>q=1-p</math>) (!<math>q=-p</math>)
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Die Trefferwahrscheinlichkeit ''p'' ist...
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(konstant) (!variabel) (!zufällig)
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Die einzelnen Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments sind...
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(!abhängig) (unabhängig)
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====Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagrammen berechnen====
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In folgendem Applet wird das Werfen von 5 Dartpfeilen als Baumdiagramm dargestellt.
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<iframe scrolling="no" title="Formel von Bernoulli" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wyKA5FTs/width/1359/height/812/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="800px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
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{{ZUM-Wiki-Kasten|Löse die folgenden Aufgaben mit Hilfe des Baudiagramms, aber '''ohne''' die Funktion "Wahrscheinlichkeit k Treffer"!}}
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{{begründen|Lege zuerst einen Wert für p fest, um bei den Aufgaben konkrete Ergebnisse zu bekommen!}}
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:{{Lösung versteckt|1=
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für die Beispiel-Lösungen wird p=0,8 festgelegt.
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{{Zeit|30 Min}}
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{{Aufgaben|1|Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe keinmal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!}}
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:{{Lösung versteckt|1=
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<math>p=0,8</math> ;
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<math>P(</math>0 Treffer<math>)=0,2*0,2*0,2*0,2*0,2=0,00032</math>
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{{Aufgaben|2|Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe genau einmal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!}}
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:{{Lösung versteckt|1=
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<math>p=0,8</math> ;
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<math>P(</math>1 Treffer<math>)=0,8*0,2*0,2*0,2*0,2 + 0,2*0,8*0,2*0,2*0,2 + 0,2*0,2*0,8*0,2*0,2 + 0,2*0,2*0,2*0,8*0,2 + 0,2*0,2*0,2*0,2*0,8</math>
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<math> =5*0,8*0,2^4=0,0064</math>
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{{Aufgaben|3|Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe genau zweimal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!}}
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:{{Lösung versteckt|1=
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<math>p=0,8</math> ;
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<math>P(</math>2 Treffer<math>)=0,8*0,8*0,2*0,2*0,2 + 0,8*0,2*0,8*0,2*0,2 + 0,8*0,2*0,2*0,8*0,2 + 0,8*0,2*0,2*0,2*0,8+ 0,2*0,8*0,8*0,2*0,2 </math>
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<math> +0,2*0,8*0,2*0,8*0,2+0,2*0,8*0,2*0,2*0,8+0,2*0,2*0,8*0,8*0,2+ 0,2*0,2*0,8*0,2*0,8+ 0,2*0,2*0,2*0,8*0,8</math>
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<math> =10*0,8^2*0,2^3=0,0512</math>
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}}
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{{Aufgaben|4|Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe genau dreimal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!}}
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:{{Lösung versteckt|1=
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<math>p=0,8</math> ;
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Lösungsweg analog zu Aufgabe 3, p und q vertauscht.
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<math>P(</math>3 Treffer<math>)=10*0,8^3*0,2^2=0,2048</math>
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{{differenzieren|Wenn du besonders schnell bist, kannst du auch noch die folgende Aufgabe bearbeiten}}
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{{Aufgaben|5|Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe genau viermal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!}}
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:{{Lösung versteckt|1=
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<math>p=0,8</math> ;
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Lösungsweg analog zu Aufgabe 2, p und q vertauscht.
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<math>P(</math> Treffer<math>)=5*0,8^4*0,2=0,4096</math>
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===Allgemeine Formel der Binomialverteilung===
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{{Kommunizieren|Bildet nun 4er Gruppen und tauscht euch über eure Ergebnisse der gelösten Aufgaben aus!}}
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{{Untersuchen|Versucht aus den konkreten Beispielen eine allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit von k Treffern bei n Versuchen zu konstruieren!}}
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{{Protokollieren|Notiert dabei eure Vorgehensweise!}}
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{{Zeit|20 Min}}
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{{Begründen|Wenn ihr Hilfe braucht, schaut auf folgende Hinweisseite}}
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[[/Hilfestellungen/]]
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{{Kommunizieren|Nach der Gruppenphase präsentiert ihr als Gruppe eure Vorgehensweise und eure Ergebnisse, damit wir die verschiedenen Ansätze im Plenum besprechen können!}}
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===Zur Wiederholung===
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'''Hier nochmal eine Erklärung, wie man vom Baumdiagramm zur Formel der Binomialverteilung kommt:'''
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===Anwendungen der Binomialverteilung===
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====Finde die passende Formel zu den Aufgabenstellungen!====
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====Berechne die Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Binomialverteilung====
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{{Zeit|30 Min}}
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{{Aufgaben|2.1|Ein Glücksrad hat 3 gleich große Sektoren mit den Symbolen Kreis, Kreuz und Stern. Es wird viermal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal Stern auftritt?}}
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<math>p=\frac{1}{3}</math> ;
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<math>P(</math>dreimal Stern<math>)=\binom{4}{3}*(\frac{1}{3})^3*\frac{2}{3}=\frac{8}{81}\approx 0,0988</math>
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{{Aufgaben|2.2|Ein Würfel wird 60 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 10 mal eine 6 kommt?}}
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:{{Lösung versteckt|1=
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<math>p=\frac{1}{6}</math> ;
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<math>P(X=10)=\binom{60}{10}*(\frac{1}{6})^10*(\frac{5}{6})^50\approx 0,137</math>
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}}
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{{Differenzieren|Eine etwas schwierigere Aufgabe}}
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{{Aufgaben|2.3|Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens beträgt 0,49, die für die Geburt eines Jungen 0,51. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit vier Kindern höchstens zwei Mädchen sind?}}
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:{{Lösung versteckt|1=
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<math>p=0,49</math> ;
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<math>P(</math>höchstens zwei Mädchen<math>)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\binom{4}{0}*0,51^4+\binom{4}{1}*0,49*0,51^3+\binom{4}{2}*0,49^2*0,51^2\approx 0,7023</math>
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}}
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{{Differenzieren|Kannst du auch diese knifflige Aufgabe noch lösen?}}
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{{Aufgaben|2.4|Von einer großen Ladung Orangen sind 20% verdorben. Es werden 5 Stück entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Orangen verdorben sind?}}
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:{{Lösung versteckt|1=
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<math>p=0,2</math> ;
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<math>P(</math>mindestens zwei verdorben<math>)= 1-P(X=0)-P(X=1)=1-\binom{5}{0}*0,8^5-\binom{5}{1}*0,2*0,8^4=\frac{821}{3125}= 0,26272</math>
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}}

Aktuelle Version vom 10. April 2019, 10:34 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Der folgende Lernpfad wurde als fachdidaktisches Projekt im Rahmen einer Lehrveranstaltung an der Universität Salzburg erstellt und soll einen experimentellen Zugang zur Binomialverteilung vermitteln, deren Formeln hier von den SchülerInnen selbstständig erarbeitet wird. Die SchülerInnen sollten zur Bearbeitung des Lernpfades bereits Bernoulli-Experimente kennen und mit Hilfe von Baumdiagrammen Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Ereignissen berechnen können. Außerdem sollten sie den Binomialkoeffizienten bereits kennen.

Nuvola apps korganizer.png Erledige die Aufgabe des Lernpfads der Reihenfolge nach! 

Nuvola apps kwrite.png Notiere über den gesamten Lernpfad hinweg deine Vorgehensweisen und Ergebnisse! 


Inhaltsverzeichnis

Einführung der Binomialverteilung

Bernoulli-Experiment

Nuvola apps korganizer.png Teste Dein Wissen! 

Wiederhole mit Hilfe des folgenden Quiz die wichtigsten Eigenschaften eines Bernoulli-Experiments!

Wie viele Versuchsausgänge hat ein Bernoulli-Experiment? (!mindestens 2) (genau 2) (!höchstens 2)

Wie werden die Ausgänge eines Bernoulli-Experiments üblicherweise genannt? (!Ja und Nein) (!Niete und Nichttreffer) (Niete und Treffer) (!Wahr und Falsch) (Treffer und Niete)

Was ist die Wahrscheinlichkeit q dafür, dass das Experiment keinen Treffer erzielt, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit p ist? (!q=p-1) (q=1-p) (!q=-p)

Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist... (konstant) (!variabel) (!zufällig)

Die einzelnen Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments sind... (!abhängig) (unabhängig)



Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagrammen berechnen

In folgendem Applet wird das Werfen von 5 Dartpfeilen als Baumdiagramm dargestellt.


Löse die folgenden Aufgaben mit Hilfe des Baudiagramms, aber ohne die Funktion "Wahrscheinlichkeit k Treffer"!


Nuvola apps ktip.pngLege zuerst einen Wert für p fest, um bei den Aufgaben konkrete Ergebnisse zu bekommen! 

für die Beispiel-Lösungen wird p=0,8 festgelegt.

Nuvola apps ktimer.png 30 Min 

Stift.gif   Aufgabe 1

Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe keinmal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!

p=0,8 ;

P(0 Treffer)=0,2*0,2*0,2*0,2*0,2=0,00032
Stift.gif   Aufgabe 2

Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe genau einmal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!

p=0,8 ;

P(1 Treffer)=0,8*0,2*0,2*0,2*0,2 + 0,2*0,8*0,2*0,2*0,2 + 0,2*0,2*0,8*0,2*0,2 + 0,2*0,2*0,2*0,8*0,2 + 0,2*0,2*0,2*0,2*0,8

 =5*0,8*0,2^4=0,0064
Stift.gif   Aufgabe 3

Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe genau zweimal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!

p=0,8 ;

P(2 Treffer)=0,8*0,8*0,2*0,2*0,2 + 0,8*0,2*0,8*0,2*0,2 + 0,8*0,2*0,2*0,8*0,2 + 0,8*0,2*0,2*0,2*0,8+ 0,2*0,8*0,8*0,2*0,2

 +0,2*0,8*0,2*0,8*0,2+0,2*0,8*0,2*0,2*0,8+0,2*0,2*0,8*0,8*0,2+ 0,2*0,2*0,8*0,2*0,8+ 0,2*0,2*0,2*0,8*0,8

 =10*0,8^2*0,2^3=0,0512
Stift.gif   Aufgabe 4

Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe genau dreimal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!

p=0,8 ; Lösungsweg analog zu Aufgabe 3, p und q vertauscht.

P(3 Treffer)=10*0,8^3*0,2^2=0,2048

Nuvola apps kcmdrkonqi.png Wenn du besonders schnell bist, kannst du auch noch die folgende Aufgabe bearbeiten 

Stift.gif   Aufgabe 5

Stelle ein Gleichung dafür auf, dass die Dartscheibe genau viermal getroffen wird und berechne die Wahrscheinlichkeit!

p=0,8 ; Lösungsweg analog zu Aufgabe 2, p und q vertauscht.

P( Treffer)=5*0,8^4*0,2=0,4096


Allgemeine Formel der Binomialverteilung

Nuvola apps ksirc.png Bildet nun 4er Gruppen und tauscht euch über eure Ergebnisse der gelösten Aufgaben aus! 

Nuvola apps xmag.png Versucht aus den konkreten Beispielen eine allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit von k Treffern bei n Versuchen zu konstruieren! 


Nuvola apps kwrite.png Notiert dabei eure Vorgehensweise! 

Nuvola apps ktimer.png 20 Min 


Nuvola apps ktip.pngWenn ihr Hilfe braucht, schaut auf folgende Hinweisseite 

Hilfestellungen


Nuvola apps ksirc.png Nach der Gruppenphase präsentiert ihr als Gruppe eure Vorgehensweise und eure Ergebnisse, damit wir die verschiedenen Ansätze im Plenum besprechen können! 



Zur Wiederholung

Hier nochmal eine Erklärung, wie man vom Baumdiagramm zur Formel der Binomialverteilung kommt:




Anwendungen der Binomialverteilung

Finde die passende Formel zu den Aufgabenstellungen!

Nuvola apps ktimer.png 10 Min 




Berechne die Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Binomialverteilung

Nuvola apps ktimer.png 30 Min 


Stift.gif   Aufgabe 2.1

Ein Glücksrad hat 3 gleich große Sektoren mit den Symbolen Kreis, Kreuz und Stern. Es wird viermal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal Stern auftritt?

p=\frac{1}{3} ;

P(dreimal Stern)=\binom{4}{3}*(\frac{1}{3})^3*\frac{2}{3}=\frac{8}{81}\approx 0,0988
Stift.gif   Aufgabe 2.2

Ein Würfel wird 60 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 10 mal eine 6 kommt?

p=\frac{1}{6} ;

P(X=10)=\binom{60}{10}*(\frac{1}{6})^10*(\frac{5}{6})^50\approx 0,137

Nuvola apps kcmdrkonqi.png Eine etwas schwierigere Aufgabe 

Stift.gif   Aufgabe 2.3

Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens beträgt 0,49, die für die Geburt eines Jungen 0,51. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit vier Kindern höchstens zwei Mädchen sind?

p=0,49 ;

P(höchstens zwei Mädchen)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\binom{4}{0}*0,51^4+\binom{4}{1}*0,49*0,51^3+\binom{4}{2}*0,49^2*0,51^2\approx 0,7023

Nuvola apps kcmdrkonqi.png Kannst du auch diese knifflige Aufgabe noch lösen? 

Stift.gif   Aufgabe 2.4

Von einer großen Ladung Orangen sind 20% verdorben. Es werden 5 Stück entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Orangen verdorben sind?

p=0,2 ;

P(mindestens zwei verdorben)= 1-P(X=0)-P(X=1)=1-\binom{5}{0}*0,8^5-\binom{5}{1}*0,2*0,8^4=\frac{821}{3125}= 0,26272