Beschreibende Statistik/Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen

Für die Anzahl der Klassen gilt die folgende Regel,
wobei $n$ der Stichprobenumfang ist:

$k \approx \sqrt{n}$

Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)

Im Beispiel ist

$n=25$.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

$k \approx \sqrt{25}=5$.

Eine Klasse ist ein Teil der Spannweite $R$ ($R$ für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung $x_{max}$ und der kleinsten Merkmalsausprägung $x_{min}$.

Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)

Im Beispiel ist

$x_{max}=200$ und

$x_{min}=151$ ,

somit gilt für die Spannweite

$R=x_{max}-x_{min}=200-151=49$.

Die Klassenbreite $b$ ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)

Im Beispiel ist die Klassenbreite also $b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10$. |}

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie: Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.

Merke

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Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen. Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören. Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.

Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
$k_i$	$150 < a_i \le 160$	$160 < a_i \le 170$	$170 < a_i \le 180$	$180 < a_i \le 190$	$190 < a_i \le 200$	Summe
$H(k_i)$	3	6	5	4	7	25
$h(k_i)$	12 %	24 %	20 %	16 %	28 %	100 %

Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt. |}

Einführungsbeispiel - Teil 6.1

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.

Größe	Formel	im Beispiel mit	Einsetzen und Berechnen
Klassenanzahl	$k \approx \sqrt{n}$	$n=30$	$k \approx \sqrt{30}$$\approx 5,8\approx 6$
Spannweite	$R=$$x_{max}-x_{min}$	$x_{max}=75$ und $x_{min}=4$	$R=$$75-4=71$
Klassenbreite	$b=\frac{R}{k}$	$R=71$ und $k=6$	$b=\frac{71}{\sqrt{30}}$$\approx 13$

|- |colspan="6" |Jetzt geht es an die Klassenbildung:

Legt man fest, dass die untere Grenze selbst nicht zur Klasse gehört, aber die obere Grenze der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen Startwert für die untere Grenze der ersten Klasse $k_1$ und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert $0$, so erhält man die Klassen $k_i$ mit $i=1;2;3;4;5;6$:

$k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],$

$k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]$

Einführungsbeispiel - Teil 6.2

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:

Klassen			Häufigkeiten
Klasse $k_i$	über ... Jahre	bis zu ... Jahre	$H(k_i)$	$h(k_i)$	$h(k_i)$ in Prozent
$k_1$	$0$	$13$	$5$	$\frac{1}{6}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 16,7%}
$k_2$	$13$	$26$	$11$	$\frac{11}{30}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 36,7%}
$k_3$	$26$	$39$	$4$	$\frac{2}{15}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 13,3%}
$k_4$	$39$	$52$	$4$	$\frac{2}{15}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 13,3%}
$k_5$	$52$	$65$	$3$	$\frac{1}{10}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 10,0%}
$k_6$	$65$	$78$	$3$	$\frac{1}{10}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 10,0%}
Summe			$100$	$1$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%}

Interpretation

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

Ausblick

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.

Klassen			Häufigkeiten
Klasse $k_i$	über ... Jahre	bis zu ... Jahre	$H(k_i)$	$h(k_i)$	$h(k_i)$ in Prozent
$k_1$	$0$	$10$	$2$	$\frac{1}{6}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 6,7%}
$k_2$	$10$	$20$	$10$	$\frac{1}{3}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 33,3%}
$k_3$	$20$	$30$	$4$	$\frac{2}{15}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 13,3%}
$k_4$	$30$	$40$	$5$	$\frac{1}{6}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 16,7%}
$k_5$	$40$	$50$	$2$	$\frac{1}{15}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 6,7%}
$k_6$	$50$	$60$	$3$	$\frac{1}{10}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 10,0%}
$k_7$	$60$	$70$	$3$	$\frac{1}{10}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 10,0%}
$k_8$	$70$	$80$	$1$	$\frac{1}{30}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3,3%}
Summe			$100$	$1$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%}

Aufgabe

Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.

Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite

Lernpfad Beschreibende Statistik

1. Grundbegriffe
   • Grundgesamtheit, Stichprobe und Stichprobenumfang
   • Merkmal und Merkmalsausprägungen
   • Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen
   • Absolute und Relative Häufigkeiten
   • Klassenbildung
2. Graphische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen
   • Säulendiagramm
   • Balkendiagramm
   • Kreisdiagramm
   • Punktwolke
3. Lagemaße
   (arithmetisches Mittel, Modus, Median)
4. Streuungsmaße
   (mittlere absolute Abweichung, mittlere quadratische Abweichung, Standardabweichung)
5. Einsatz des Taschenrechners
   (Bedienung Casio fx-991DE PLUS)