Lineare Funktionen/Station 1 und Textaufgaben/Altersrätsel: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Karl Kirst
(Lernpfad Textaufgaben; Darstellung überarbeitet)
 
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==Station 1: Proportionale Funktionen==
{{Lernpfad Textaufgaben}}


{|
== Einführung ==


|align = "left" width="200"|[[Datei:Gymnastics-151826 1280.png|150px|Strichmännchen]]
Altersrätsel haben schon eine lange Tradition. Schon bei den alten Griechen im 3. Jahrhundert nach Christus kann man sie finden. Beim Lösen von Altersrätseln ist es wichtig darauf zu achten, dass du zwischen den einzelnen Zeitpunkten unterscheidest. Oft wird das Alter der Personen nämlich von verschiedenen Zeitpunkten aus betrachtet.
|align = "left" |Das Thema der linearen Funktionen ist eng verwandt mit einem Thema, das du bereits kennst:<br>
'''Direkt proportionale Funktionen''' sind nämlich ganz '''spezielle lineare Funktionen'''. <br>
In dieser Station kannst du dein Wissen über direkt proportionale Zuordnungen bzw. Funktionen auffrischen und vertiefen, um eine gute Grundlage zum Verständnis der weiteren Stationen zu legen.<br />
|}


{{Mathematik|<popup name="Anschauungsbeispiel">
[[Datei:KatharinaP_Kapitel3_Anschauungsbsp.png]]</popup>}}<br />


<div style="background-color:#efefef;;padding:7px;">
Schreibe nun den Merktext in dein Übungsheft!<br />
<big>Im Bergwerk</big>
[[File:Silberloch.JPG|290px|right|Silberloch]]
In tief gelegene Bergwerke dringt im Betrieb laufend Grundwasser ein.
Daher benutzt man große Pumpen, um das Grundwasser wieder aus
dem Berkwerk zu befördern und damit den Bergleuten ein Arbeiten im
Trockenen zu ermöglichen.


In der Regel treten pro Stunde etwa 120m³ Grundwasser ein, die ständig abgepumpt werden müssen.
{{Merke|1=<br />
Schritt für Schritt<br />
1. Lies den Text aufmerksam durch und unterstreiche die wichtigen Informationen.<br />
2. Trage die Übersetzungen in eine Tabelle ein. Bezeichne das Alter der jüngeren Person mit x.<br />
3. Stelle die Beziehungsgleichung auf und löse sie.<br />
4. Überprüfe das Ergebnis am Text.<br />
5. Formuliere einen Antwortsatz.}}<br />


Plötzlich fallen die Pumpen aus! Die Kumpel werden sichtlich nervös, denn der Aufzug ist langsam und kann immer nur wenige Leute nach oben in Sicherheit bringen. Und jeder weiß, sobald 850m<sup>3</sup> Wasser ins Bergwerk eindringen, fällt der Strom und damit der Aufzug aus. Doch ihr seid kühle Mathematiker und könnt herausfinden, wie lange für die Evakuierung noch Zeit bleibt.


Um auch sicherzugehen, dass ihr euch nicht verrechnet, wärmt ihr euch zunächst mit ein paar einfachern Aufgaben auf. Es geht ja schließlich um das Leben der Bergleute!
== Anfänger==
</div>


{{Übung|Löse die folgenden Textaufgaben in deinem Übungsheft. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten!}}<br />


{{Box|1=Aufgabe 1a|2=
<div class="multiplechoice-quiz">
*Wie viel Wasser dringt in einer halben Stunde in das Bergwerk ein? Begründe dein Ergebnis!
Jakob und Alexander sind zusammen 28 Jahre als. Norbert ist um 4 Jahre älter als Jakob. <br />Wie alt sind die beiden? (!11) (12) (16) (!17) (!10) (!18)
*Gib eine Zuordnungsvorschrift an, die die Situation beschreibt.
</div>
{{Lösung versteckt|1=Aufgrund der '''direkten Proportionalität''' gilt:<br/><br/>1h  <math>\widehat{=}</math>  120m<sup>3</sup><br/><br/>0,5h  <math>\widehat{=}</math>  60m<sup>3</sup><br/><br/>'''Zuordnungsvorschrift:''' f: Zeit t (in h) -->  Wassermenge w (in m<sup>3</sup>}}
&nbsp;<br />
|3=Arbeitsmethode}}
<div class="multiplechoice-quiz">
{{Box|1=Aufgabe 1b|2=
Sabine, Katrin und Paul sind Geschwister und zusammen 48 Jahre alt. Paul ist doppelt so alt wie Katrin und Sabine ist um 4 Jahre älter als Katrin. <br />Wie alt sind die Geschwister? (!13) (22) (!16) (!21) (15) (!14) (11)
*Berechne in einer Wertetabelle die eingedrungene Wassermenge nach 1,2,5 und 6 Stunden.
*Bestimme die''' Proportionalitätskonstante m.'''
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Wertetabelle Bergwerk.jpg|400px|Wertetabelle]]
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verstecken}}
</div>
</div>
<div class="width-1-2">
&nbsp;<br />
{{Lösung versteckt|1=
<div class="multiplechoice-quiz">
{|class="wikitable"
Die Zwillinge Simon und Klara und ihre Eltern sind jetzt zusammen 100 Jahre alt. Als die Zwillinge geboren wurden, waren ihr Vater 27 Jahre und ihre Mutter 25 Jahre alt. <br />Wie alt sind die Zwillinge jetzt? (!14) (!10) (!13) (12) (!11)
|Zeit in h
|0
|1
|2
|4
|5
|6
|-
|Wasser in m<sup>3</sup>
| 0
|120
|240
|480
|600
|720
|}
Die Proportionalitätskonstante ist m = 120 m<sup><sup>3</sup></sup>/h.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verstecken}}
</div>
</div>
</div>
&nbsp;<br />
*''Heißt die Proportionalitätskonstante nicht c?''
<div class="multiplechoice-quiz">
{{Lösung versteckt|1=
Der Vater ist viermal so alt wie der Sohn. Der Altersunterschied beträgt 27 Jahre. <br />Wie alt sind der Vater und der Sohn? (!8) (!38) (36) (9) (!37) (!10)
<small>Wir nennen die Proportionalitätskonstante ab jetzt ''m''. Das hat den Hingergrund, dass der Augenmerk in Zukunft weniger bei der Quotientengleichheit liegt, sondern auf einem weiteren Gesichtspunkt, die durch die Proportionalitätskonstante bestimmt wird.</small>
|2=Erklärung anzeigen|3=Erklärung verstecken}}
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Aufgabe 1c|2=
*<u> Nutze den Wert m,</u> um die eingedrungene Wassermenge nach 4h, 5,5h und 1,63h zu berechnen.
*Gib eine '''Funktionsgleichung''' bzw. einen '''Funktionsterm''' an, wie man mit der ''Proportionalitätskonstante m'' die Wassermenge zu jeder ''Zeit t'' berechnen kann.
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|1=
Wassermenge zur Zeit t:  <math>w=f(t) = ... </math>
|2=Tipp |3=Tipp verstecken}}</div>
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|1=
allgemeine Funktionsgleichung: <math>w = m\cdot t</math>  oder  <math>f(t)=m\cdot t </math>
 
f(4h) = 120 m<sup>3</sup> /h * 4h = 480 m<sup>3</sup>
 
f(5,5h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 5,5h = 660m<sup>3</sup>
 
f(1,63h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 1,63h = 195,6 m<sup>3</sup>
 
}}</div>
</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
&nbsp;<br />&nbsp;


{{Box|1=Merke|2=
== Fortgeschrittene==
Bei '''direkt proportionalen''' Zuordnungen <math>f: x \mapsto y </math>    &nbsp; gilt    &nbsp; <math>\frac{y}{x}=m</math>  &nbsp;mit '''konstantem'''  &nbsp;<math>m</math> &nbsp;''(Proportionalitätskonstante).'' <br>
Direkt proportionale Zuordnungen können also durch die Funktionsgleichung '''<math>\color{blue}y=m\cdot x</math>''' bzw. <math>\color{blue}f(x)=m\cdot x</math> beschrieben werden.<br>Man nennt sie deshalb auch <span style = "color:blue">proportionale Funktionen</span>.
|3=Merksatz}}


{{Aufgabe|Löse die folgenden Textaufgaben in deinem Übungsheft.}}<br />


{{Box|1=Aufgabe 1d|2=
{|width="100%" style="border-style:none"
*Nutze die Funktionsgleichung, um die Wassermenge zu den Zeitpunkten 0h, 3h, 1,5h und 8h zu berechnen.
|Peter wird in 3 Jahren dreimal so alt sein, wie er vor 5 Jahren war.<br /> Wie alt ist Peter? 
*Trage diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, um den Graphen der Funktion zu zeichnen.
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|Peter ist 9 Jahre alt.}}
*Ist es sinnvoll, die Punkte zu verbinden? Begründe!
|-
| colspan="2" | &nbsp;
|-
|Marion ist doppelt so alt wie Juliane. Wäre Marion neun Jahre jünger und Juliane sieben Jahre älter, so wäre ihr Altersunterschied zwei Jahre. Wie als sind die beiden?<br /> Kannst du die Aufgabe auf zwei verschiedene Möglichkeiten lösen?<br />
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|Marion ist 36 Jahre und Juliane ist 18 Jahre alt.}}
|-
| colspan="2" | &nbsp;
|-
|Als der Großvater 42 Jahre alt war, waren der Vater und seine Schwester 14 bzw. 8 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren waren der Vater und seine Schwester zusammen genau so alt wie der Großvater?<br />
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|Nach 20 Jahren sind der Vater und seine Schwester so alt wie der Großvater.}}
|-
| colspan="2" | &nbsp;
|-
|Ein Vater und sein Sohn sind jetzt zusammen 58 Jahre alt. Vor 10 Jahren war der Vater 8,5 mal so alt wie der Sohn. <br />Wie alt sind der Vater und der Sohn?<br />
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|Der Vater ist 44 Jahre alt und der Sohn 14 Jahre.}}
|}
<br />


== Experten ==


Verwende folgende '''Vorgaben:'''
{{Aufgabe|Löse die folgenden Textaufgaben in deinem Übungsheft.}}<br />


:x-Achse: 1cm  <math>\widehat{=} </math> 2h
* Der Vater sagt im Jahr 2011 zu seinem Sohn: „Heute bin ich doppelt so alt wie du. Ich erinnere mich aber, dass ich im Jahr 1993 dreimal so alt war wie du.“ Wie alt sind die beiden im Jahr 2011?<br />
''Lösung:''<br /><div class="lueckentext-quiz">Der Vater ist 2011 '''72 ()''' Jahre und der Sohn ist '''36 ()''' Jahre alt. </div>&nbsp;<br />


:y-Achse:  1cm<math> \widehat{=}</math>  200m<sup>3</sup> 


{{Lösung versteckt|1=
* Ein Greis wurde um sein Alter gefragt und antwortete: „Ich habe ein Sechstel meines Lebens als Kind, ein Neuntel als Jüngling, zwei Drittel als Mann verbracht und jetzt bin ich 4 Jahre Greis.“ Berechne das Alter des Greises!<br />         
mit  <math>f(t)=m\cdot t</math> und m=120m<sup>3</sup>/h folgt:
''Lösung:''<br /><div class="lueckentext-quiz">Der Greis ist '''72 ()''' Jahre alt.</div>&nbsp;<br />




*f(0h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 0h = 0 m<sup>3</sup>
* Wie alt sind die Großmutter G, die Mutter M und die Tochter T? Die Tochter und die Mutter sind zusammen 60 Jahre. Die Tochter und die Großmutter sind zusammen 77 Jahre und die Mutter und die Großmutter sind zusammen 107 Jahre alt.<br />
''Lösung:''<br /><div class="lueckentext-quiz">Das Alter der Großmutter beträgt '''62 ()''', das der Mutter '''45 ()''' und die Tochter ist '''15()''' Jahre alt.</div>&nbsp;<br />


*f(1,5h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 1,5h = 180 m<sup>3</sup>


*f(3h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 3h = 360 m<sup>3</sup>
== Bonus ==
{{Aufgabe|…und manchmal kann nicht einmal eine Gleichung das Rätsel lösen! „Unsere Lehrerin ist 24“, meinte einer von vier Schülern, aber das hielten die anderen drei für reichlich untertrieben. Sie schätzten die Lehrerin auf 27 und 31, einer sogar auf 39 Jahre. Keiner von ihnen hat das richtige Alter erraten. Doch eine Mutmaßung war nur um ein Jahr, eine andere um drei Jahre, eine dritte um sechs Jahre und eine vierte um neun Jahre daneben. Wie alt ist die Lehrerin?}}


*f(8h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 8h = 960 m<sup>3</sup>
{|width="100%" style="border-style:none"
 
|
[[Datei:Steigungen Bergwerk A1 großeSchrift.png|260px|Steigung]]
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|Die Lehrerin ist 30 Jahre alt.}}
 
|}
Ja, es macht Sinn, die Punkte zu verbinden, da zu jeder Zeit zwischen den gegebenen ebenfalls eine beistimmte Wassermege eingetreten ist.
<br />
}}
|3=Arbeitsmethode}}
[[Datei:Communist-154578 1280.png|111px|right|Flagge]]
'''Genug aufgewärmt, die Kumpel wollen endlich wissen, wie lange sie noch Zeit haben!!'''
 
{{Box|1=Aufgabe 2|2=
Ermittle mithilfe deines gezeichneten Funktionsgraphen ''graphisch'', wann 850m<sup>3</sup> Wasser ins Bergwerk eingedrungen sind und es kein Entrinnen mehr für die Bergleute gibt.
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Steigungen Bergwerk Stromausfall.png|300px|right|Stromausfall_Zeitpunkt]]
Nach ca. 7,1 Stunden muss spätestens der letzte Bergmann den Stollen verlassen haben, da dann der Aufzug ausfällt.
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
'''Ah, kein Stress,das ist ja noch genug Zeit. Bis du an der Reihe bist kannst du in aller Ruhe noch eine kleine Aufgabe lösen...'''


{{Box|1=Aufgabe 3|2=
Nach einem regnerischen Herbstmonat dringen pro Stunde sogar '''240m<sup>3</sup>''' in das Bergwerk ein, in trockenen Sommermontaten hingegen nur '''50m<sup>3</sup>.'''
*Gib für die beiden Fälle eine Funktionsgleichung an, die die Situation richtig beschreibt.
{{Lösung versteckt|1=
* Herbst: <math>f(t)=240 \frac{m^3}{h}\cdot t</math>
* Sommer: <math>f(t)=50 \frac{m^3}{h}\cdot t</math>
}}
*Zeichne die Graphen zu den beiden Funktiongleichungen in dein Koordinatensystem aus Aufgabe 2.
{{Lösung versteckt|1=
*Um die Graphen zu zeichnen musst du mithilfe der Funktionsgleichung zunächst Wertepaare berechnen (z.B. in einer Wertetabelle)
*Überlege: Wie viele Wertepaare/Punkte benötigst du, um den Graphen zeichnen zu können?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
*Beschreibe, was dir auffällt, wenn du die Graphen miteinander vergleichst.
*Erkläre in einem Satz, wie sich die Unterschiede erklären lassen!
[[Datei:Relax-151841 1280.png|150px|right|Enspannen]]
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Geraden 03.png|400px|right|Geraden zum Bergwerk]]
*Alle drei Graphen sind Ursprungsgeraden
*Die Geraden verlaufen unterschiedlich steil
Je größer die Zuflussmenge pro Zeit ist, also je größer die Proportionalitätskonstante ist, desto steiler verläuft die Gerade des zugehörigen Graphen.
}}
|3=Arbeitsmethode}} <!--- Ende Aufgabe --->






{{Box|1=Merke|2=
''Allgemein:''


Die Funktion <math>f:x \mapsto m\cdot x</math> mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x</math> beschreibt die '''direkte Proportionalität''' der beiden Variablen x und y.<br>
zurück zur [[Lernpfad Textaufgaben/Kapitelübersicht|Kapitelübersicht]]
Der Graph dieser Funktion <math>f(x)=m\cdot x</math> ist eine '''Gerade durch den Ursprung''' des KS; dabei ist '''m''' die '''Steigung''' dieser Geraden.
|3=Merksatz}}


weiter zu [[Lernpfad Textaufgaben/Aus der Geometrie|Kapitel 4: aus der Geometrie]]


'''Super, du hast die erste Station geschafft! Überprüfe in der Übungsstation doch gleich, ob du alles verstanden hast!'''


[[Datei:binoculars-1015267_1920.jpg|left|150px]]
[[/Übung|'''...hier geht es weiter''']]


{{clear}}
[[Kategorie:Lernpfad Textaufgaben]]
{{Lernpfad Lineare Funktionen}}

Version vom 2. Dezember 2011, 00:04 Uhr

KatharinaP Agent Tafel.jpg

Textaufgaben

Mathematik-digital.de

Einführung

Altersrätsel haben schon eine lange Tradition. Schon bei den alten Griechen im 3. Jahrhundert nach Christus kann man sie finden. Beim Lösen von Altersrätseln ist es wichtig darauf zu achten, dass du zwischen den einzelnen Zeitpunkten unterscheidest. Oft wird das Alter der Personen nämlich von verschiedenen Zeitpunkten aus betrachtet.

Vorlage:Mathematik

Schreibe nun den Merktext in dein Übungsheft!


Merke


Schritt für Schritt
1. Lies den Text aufmerksam durch und unterstreiche die wichtigen Informationen.
2. Trage die Übersetzungen in eine Tabelle ein. Bezeichne das Alter der jüngeren Person mit x.
3. Stelle die Beziehungsgleichung auf und löse sie.
4. Überprüfe das Ergebnis am Text.

5. Formuliere einen Antwortsatz.



Anfänger

Übung
Löse die folgenden Textaufgaben in deinem Übungsheft. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten!


Jakob und Alexander sind zusammen 28 Jahre als. Norbert ist um 4 Jahre älter als Jakob.
Wie alt sind die beiden? (!11) (12) (16) (!17) (!10) (!18)

 

Sabine, Katrin und Paul sind Geschwister und zusammen 48 Jahre alt. Paul ist doppelt so alt wie Katrin und Sabine ist um 4 Jahre älter als Katrin.
Wie alt sind die Geschwister? (!13) (22) (!16) (!21) (15) (!14) (11)

 

Die Zwillinge Simon und Klara und ihre Eltern sind jetzt zusammen 100 Jahre alt. Als die Zwillinge geboren wurden, waren ihr Vater 27 Jahre und ihre Mutter 25 Jahre alt.
Wie alt sind die Zwillinge jetzt? (!14) (!10) (!13) (12) (!11)

 

Der Vater ist viermal so alt wie der Sohn. Der Altersunterschied beträgt 27 Jahre.
Wie alt sind der Vater und der Sohn? (!8) (!38) (36) (9) (!37) (!10)

 
 

Fortgeschrittene

Aufgabe
Löse die folgenden Textaufgaben in deinem Übungsheft.


Peter wird in 3 Jahren dreimal so alt sein, wie er vor 5 Jahren war.
Wie alt ist Peter?
Peter ist 9 Jahre alt.
 
Marion ist doppelt so alt wie Juliane. Wäre Marion neun Jahre jünger und Juliane sieben Jahre älter, so wäre ihr Altersunterschied zwei Jahre. Wie als sind die beiden?
Kannst du die Aufgabe auf zwei verschiedene Möglichkeiten lösen?
Marion ist 36 Jahre und Juliane ist 18 Jahre alt.
 
Als der Großvater 42 Jahre alt war, waren der Vater und seine Schwester 14 bzw. 8 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren waren der Vater und seine Schwester zusammen genau so alt wie der Großvater?
Nach 20 Jahren sind der Vater und seine Schwester so alt wie der Großvater.
 
Ein Vater und sein Sohn sind jetzt zusammen 58 Jahre alt. Vor 10 Jahren war der Vater 8,5 mal so alt wie der Sohn.
Wie alt sind der Vater und der Sohn?
Der Vater ist 44 Jahre alt und der Sohn 14 Jahre.


Experten

Aufgabe
Löse die folgenden Textaufgaben in deinem Übungsheft.


  • Der Vater sagt im Jahr 2011 zu seinem Sohn: „Heute bin ich doppelt so alt wie du. Ich erinnere mich aber, dass ich im Jahr 1993 dreimal so alt war wie du.“ Wie alt sind die beiden im Jahr 2011?

Lösung:

Der Vater ist 2011 72 () Jahre und der Sohn ist 36 () Jahre alt.

 


  • Ein Greis wurde um sein Alter gefragt und antwortete: „Ich habe ein Sechstel meines Lebens als Kind, ein Neuntel als Jüngling, zwei Drittel als Mann verbracht und jetzt bin ich 4 Jahre Greis.“ Berechne das Alter des Greises!

Lösung:

Der Greis ist 72 () Jahre alt.

 


  • Wie alt sind die Großmutter G, die Mutter M und die Tochter T? Die Tochter und die Mutter sind zusammen 60 Jahre. Die Tochter und die Großmutter sind zusammen 77 Jahre und die Mutter und die Großmutter sind zusammen 107 Jahre alt.

Lösung:

Das Alter der Großmutter beträgt 62 (), das der Mutter 45 () und die Tochter ist 15() Jahre alt.

 


Bonus

Aufgabe
…und manchmal kann nicht einmal eine Gleichung das Rätsel lösen! „Unsere Lehrerin ist 24“, meinte einer von vier Schülern, aber das hielten die anderen drei für reichlich untertrieben. Sie schätzten die Lehrerin auf 27 und 31, einer sogar auf 39 Jahre. Keiner von ihnen hat das richtige Alter erraten. Doch eine Mutmaßung war nur um ein Jahr, eine andere um drei Jahre, eine dritte um sechs Jahre und eine vierte um neun Jahre daneben. Wie alt ist die Lehrerin?
Die Lehrerin ist 30 Jahre alt.




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