Lineare Funktionen/Station 1 und Flächeninhalt des Rechtecks: Unterschied zwischen den Seiten

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==Station 1: Proportionale Funktionen==
= Flächeninhalt von geometischen Figuren =


{|
Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren. Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen.
Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt, aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen. Ihr habt dafür 3 Minuten Zeit.


|align = "left" width="200"|[[Datei:Gymnastics-151826 1280.png|150px|Strichmännchen]]
|align = "left" |Das Thema der linearen Funktionen ist eng verwandt mit einem Thema, das du bereits kennst:<br>
'''Direkt proportionale Funktionen''' sind nämlich ganz '''spezielle lineare Funktionen'''. <br>
In dieser Station kannst du dein Wissen über direkt proportionale Zuordnungen bzw. Funktionen auffrischen und vertiefen, um eine gute Grundlage zum Verständnis der weiteren Stationen zu legen.<br />
|}


== 1. Rechteck ==


<div style="background-color:#efefef;;padding:7px;">
[[Bild:Rechteck01.png]]
<big>Im Bergwerk</big>
[[File:Silberloch.JPG|290px|right|Silberloch]]
In tief gelegene Bergwerke dringt im Betrieb laufend Grundwasser ein.
Daher benutzt man große Pumpen, um das Grundwasser wieder aus
dem Berkwerk zu befördern und damit den Bergleuten ein Arbeiten im
Trockenen zu ermöglichen.


In der Regel treten pro Stunde etwa 120m³ Grundwasser ein, die ständig abgepumpt werden müssen.


Plötzlich fallen die Pumpen aus! Die Kumpel werden sichtlich nervös, denn der Aufzug ist langsam und kann immer nur wenige Leute nach oben in Sicherheit bringen. Und jeder weiß, sobald 850m<sup>3</sup> Wasser ins Bergwerk eindringen, fällt der Strom und damit der Aufzug aus. Doch ihr seid kühle Mathematiker und könnt herausfinden, wie lange für die Evakuierung noch Zeit bleibt.
== 2. Rechteck ==


Um auch sicherzugehen, dass ihr euch nicht verrechnet, wärmt ihr euch zunächst mit ein paar einfachern Aufgaben auf. Es geht ja schließlich um das Leben der Bergleute!
[[Bild:Rechteck02.png]]
</div>




{{Box|1=Aufgabe 1|2=
== 3. Rechteck ==
a) Wie viel Wasser dringt in einer halben Stunde in das Bergwerk ein? Begründe dein Ergebnis! Gib eine Zuordnungsvorschrift an, die die Situation beschreibt.
{{Lösung versteckt|1=
Aufgrund der '''direkten Proportionalität''' gilt:


1h  <math>\widehat{=}</math>  120m<sup>3</sup>
[[Bild:Rechteck03.png]]
 
0,5h  <math>\widehat{=}</math>  60m<sup>3</sup>
 
'''Zuordnungsvorschrift:''' f: Zeit t (in h)  -->  Wassermenge w (in m<sup>3</sup>
}}
 
b) Berechne in einer Wertetabelle die eingedrungene Wassermenge nach 1,2,5 und 6 Stunden. Bestimme die''' Proportionalitätskonstante m.'''
 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Wertetabelle Bergwerk.jpg|400px|Wertetabelle]]
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verstecken}}
</div>
<div class="width-1-3">
{{Lösung versteckt|1=
{|class="wikitable"
|Zeit in h
|0
|1
|2
|4
|5
|6
|-
|Wasser in m<sup>3</sup>
| 0
|120
|240
|480
|600
|720
Die Proportionalitätskonstante ist m = 120 m<sup><sup>3</sup></sup>/h
|}}
</div>
<div class="width-1-3">
Heißt die Proportionalitätskonstante nicht c?
 
{{Lösung versteckt|1="Erklärung">PS: Wir nennen die Proportionalitätskonstante ab jetzt <math>m</math>. Das hat den Hingergrund, dass der Augenmerk in Zukunft weniger bei der Quotientengleichheit liegt, sondern auf einem weiteren Gesichtspunkt, die durch die Proportionalitätskonstante bestimmt wird.
}}
</div>
</div>
 
'''c)''' <u> Nutze den Wert m,</u> um die eingedrungene Wassermenge nach 4h, 5,5h und 1,63h zu berechnen.<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Gib eine '''Funktionsgleichung''' bzw. einen '''Funktionsterm''' an,<br> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;wie man mit der ''Proportionalitätskonstante m'' die Wassermenge zu jeder ''Zeit t'' berechnen kann.
 
 
 
{{Lösung versteckt|1=
Wassermenge zur Zeit t:  <math>w=f(t) = ... </math>
|2=Tipp |3=Tipp verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
allgemeine Funktionsgleichung: <math>w = m\cdot t</math>  oder  <math>f(t)=m\cdot t </math>
 
 
f(4h) = 120 m<sup>3</sup> /h * 4h = 480 m<sup>3</sup>
 
f(5,5h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 5,5h = 660m<sup>3</sup>
 
f(1,63h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 1,63h = 195,6 m<sup>3</sup>
 
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Merke|1= Bei '''direkt proportionalen''' Zuordnungen <math>f: x \mapsto y </math>    &nbsp; gilt    &nbsp; <math>\frac{y}{x}=m</math>  &nbsp;mit '''konstantem'''  &nbsp;<math>m</math> &nbsp;''(Proportionalitätskonstante).'' <br>
Direkt proportionale Zuordnungen können also durch die Funktionsgleichung '''<math>\color{blue}y=m\cdot x</math>''' bzw. <math>\color{blue}f(x)=m\cdot x</math> beschrieben werden.<br>Man nennt sie deshalb auch <span style = "color:blue">proportionale Funktionen</span>.
}}
<br>
 
 
{{Aufgabe|'''d)''' Nutze die Funktionsgleichung, um die Wassermenge zu den Zeitpunkten 0h, 3h, 1,5h und 8h zu berechnen.<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Trage diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, um den Graphen der Funktion zu zeichnen.<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Ist es sinnvoll, die Punkte zu verbinden? Begründe!}}
 
Verwende folgende '''Vorgaben:'''
 
:x-Achse:  1cm  <math>\widehat{=} </math> 2h
 
:y-Achse:  1cm<math> \widehat{=}</math>  200m<sup>3</sup> 
 
<popup name="Lösung">
mit  <math>f(t)=m\cdot t</math> und m=120m<sup>3</sup>/h folgt:
 
 
*f(0h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 0h = 0 m<sup>3</sup>
 
*f(1,5h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 1,5h = 180 m<sup>3</sup>
 
*f(3h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 3h = 360 m<sup>3</sup>
 
*f(8h) = 120 m<sup>3</sup>/h * 8h = 960 m<sup>3</sup>
 
[[Datei:Steigungen Bergwerk A1 großeSchrift.png|260px|Steigung]]
 
Ja, es macht Sinn, die Punkte zu verbinden, da zu jeder Zeit zwischen den gegebenen ebenfalls eine beistimmte Wassermege eingetreten ist.
 
</popup>
 
 
 
[[Datei:Communist-154578 1280.png|111px|right|Flagge]]
<big>'''Genug aufgewärmt, die Kumpel wollen endlich wissen, wie lange sie noch Zeit haben!!'''</big>
 
{{Aufgabe|Ermittle mithilfe deines gezeichneten Funktionsgraphen ''graphisch'', wann 850m<sup>3</sup> Wasser ins Bergwerk eingedrungen sind und es kein Entrinnen mehr für die Bergleute gibt.}}
 
<popup name="Lösung">
[[Datei:Steigungen Bergwerk Stromausfall.png|300px|right|Stromausfall_Zeitpunkt]]
 
Nach ca. 7,1 Stunden muss spätestens der letzte Bergmann den Stollen verlassen haben, da dann der Aufzug ausfällt.
</popup>
 
 
<big>Ah, kein Stress,das ist ja noch genug Zeit. Bis du an der Reihe bist kannst du in aller Ruhe noch eine kleine Aufgabe lösen... </big>
 
{{Aufgabe|1=
Nach einem regnerischen Herbstmonat dringen pro Stunde sogar '''240m<sup>3</sup>''' in das Bergwerk ein, in trockenen Sommermontaten hingegen nur '''50m<sup>3</sup>.'''
 
*Gib für die beiden Fälle eine Funktionsgleichung an, die die Situation richtig beschreibt.
 
 
<popup name="Lösung">
* Herbst: <math>f(t)=240 \frac{m^3}{h}\cdot t</math>
 
* Sommer: <math>f(t)=50 \frac{m^3}{h}\cdot t</math>
</popup>
 
 
* Zeichne die Graphen zu den beiden Funktiongleichungen in dein Koordinatensystem aus Aufgabe 2.
 
<popup name="Tipp">
* Um die Graphen zu zeichnen musst du mithilfe der Funktionsgleichung zunächst Wertepaare berechnen (z.B. in einer Wertetabelle)
* Überlege: Wie viele Wertepaare/Punkte benötigst du, um den Graphen zeichnen zu können?
</popup>
 
* Beschreibe, was dir auffällt, wenn du die Graphen miteinander vergleichst.
* Erkläre in einem Satz, wie sich die Unterschiede erklären lassen!
 
<popup name="Lösung">
[[Datei:Geraden 03.png|400px|right|Geraden zum Bergwerk]]
* Alle drei Graphen sind Ursprungsgeraden
* Die Geraden verlaufen unterschiedlich steil
 
Je größer die Zuflussmenge pro Zeit ist, also je größer die Proportionalitätskonstante ist, desto steiler verläuft die Gerade des zugehörigen Graphen.
</popup>
 
}} <!--- Ende Aufgabe --->
 
[[Datei:Relax-151841 1280.png|150px|Enspannen]]
 
 
{{Merke|''Allgemein:''
 
Die Funktion <math>f:x \mapsto m\cdot x</math> mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x</math> beschreibt die '''direkte Proportionalität''' der beiden Variablen x und y.<br>
Der Graph dieser Funktion <math>f(x)=m\cdot x</math> ist eine '''Gerade durch den Ursprung''' des KS; dabei ist '''m''' die '''Steigung''' dieser Geraden.
}}
 
'''Super, du hast die erste Station geschafft! Überprüfe in der Übungsstation doch gleich, ob du alles verstanden hast!'''
 
[[Datei:binoculars-1015267_1920.jpg|right|150px]]
 
[[/Übung|<big>'''...hier geht es weiter'''</big>]]
 
{{clear}}
 
{{Lernpfad Lineare Funktionen}}

Version vom 10. Dezember 2008, 18:53 Uhr

Flächeninhalt von geometischen Figuren

Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren. Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen. Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt, aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen. Ihr habt dafür 3 Minuten Zeit.


1. Rechteck

Rechteck01.png


2. Rechteck

Rechteck02.png


3. Rechteck

Rechteck03.png