Kategorie:Berufsausbildung und Alles rund um Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Seiten

Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den ${\displaystyle x}$-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen ${\displaystyle y}$-Wert

Die Punkte ${\displaystyle A, C}$ und ${\displaystyle E}$ liegen auf dem Graphen, die Punkte ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle D}$ nicht.

Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.

Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen.

Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter ${\displaystyle a}$ an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst".

Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht:

Betrachtet man die Funktionsgleichung ${\displaystyle j(x)=a\cdot (x-d)^2+e }$, so steht ${\displaystyle d}$ für die Verschiebung in ${\displaystyle x}$-Richtung. Ist das Vorzeichen vor dem ${\displaystyle d}$ dabei negativ, so verschiebt man den Graphen nach rechts und wenn es positiv ist nach links. Das ${\displaystyle e}$ steht für die Verschiebung in ${\displaystyle y}$-Richtung nach oben, falls ${\displaystyle e}$ positiv ist und nach unten wenn es negativ ist.

Betrachtet man die Funktionsgleichung ${\displaystyle j(x)=a\cdot (x-d)^2+e }$, so beschreibt ${\displaystyle a}$ die Streckung (falls ${\displaystyle a>1}$) oder die Stauchung (falls ${\displaystyle a<1}$). Man geht vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um ${\displaystyle a}$ Einheiten nach oben (falls ${\displaystyle a}$ negativ ist nach unten).

Falls ${\displaystyle a<1}$ ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel ${\displaystyle x^2}$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also ${\displaystyle 3}$ einzusetzen. Somit erhält man ${\displaystyle 3^2=9}$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren ${\displaystyle 9*\frac{2}{3}=6}$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts (${\displaystyle 3}$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (${\displaystyle 6}$), oder nach unten falls ${\displaystyle a}$ negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für ${\displaystyle a}$. Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

Beispiele sind:

${\displaystyle f(x)=(x-3)^2+2}$ hat ihren Scheitelpunkt bei ${\displaystyle (3| 2)}$

${\displaystyle g(x)=(x+0)^2-4}$ hat ihren Scheitelpunkt bei ${\displaystyle (0| -4)}$

Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise. Du kannst dir auch nochmal das GeoGebra-Applet (oben) anschauen und die Schieberegler bewegen um zu sehen wie sich der Graph und die Funktionsgleichung verändert.

Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung ${\displaystyle g(x)=a\cdot(x-d)^2+e}$. Für den Scheitelpunkt gilt: ${\displaystyle S=(d|e)}$. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter ${\displaystyle a}$ bestimmen. Achte beim Einsetzen von ${\displaystyle d}$ in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.

Um den Parameter ${\displaystyle a}$ zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt ${\displaystyle (x|y)}$ aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach ${\displaystyle a}$ auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.

Möglichkeit 2: Alternativ kannst du den Parameter ${\displaystyle a}$ auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht ${\displaystyle a}$ der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.

Falls ${\displaystyle a<1}$ ist kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel ${\displaystyle x^2}$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also ${\displaystyle 3}$ einzusetzen. Somit erhält man ${\displaystyle 3^2=9}$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren ${\displaystyle 9\cdot\frac{2}{3}=6}$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts (${\displaystyle 3}$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (${\displaystyle 6}$), oder nach unten falls ${\displaystyle a}$ negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für ${\displaystyle a}$. Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung ${\displaystyle g(x)=a\cdot(x-d)^2+e}$. Überlege dir, was die einzelnen Parameter beschreiben (schaue evtl. Aufgabe 1 nochmal an).

Für den Scheitelpunkt gilt: ${\displaystyle S=(d|e)}$. Wenn du also den Scheitelpunkt in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter ${\displaystyle a}$ bestimmen. Achte beim Einsetzen von ${\displaystyle d}$ in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.

Um den Parameter ${\displaystyle a}$ zu bestimmen musst du den Punkt ${\displaystyle P}$ in die Funktionsgleichung einsetzen und nach ${\displaystyle a}$ auflösen.

${\displaystyle g(x)=a\cdot(x-d)^2+e}$

Setze ${\displaystyle S(2|1)}$ ein: ${\displaystyle g(x)=a\cdot(x-2)^2+1}$

Setze ${\displaystyle P(3|5)}$ ein: ${\displaystyle 5=a\cdot(3-2)^2+1 \leftrightarrow 5=a\cdot 1^2+1 \leftrightarrow 5=a\cdot 1+1 \leftrightarrow 4=a}$

Somit ergibt sich: ${\displaystyle g(x)=4\cdot(x-2)^2+1}$

${\displaystyle g(x)=a\cdot(x-d)^2+e}$

Setze ${\displaystyle S(-\frac{1}{3}|-2)}$ ein: ${\displaystyle g(x)=a\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2}$

Setze ${\displaystyle P(-3|0)}$ ein: ${\displaystyle 0=a\cdot(-3+\frac{1}{3})^2-2 \leftrightarrow 0=a\cdot (-\frac{8}{3})^2-2 \leftrightarrow 0=a\cdot \frac{64}{9}-2 \leftrightarrow 2=\frac{64}{9}\cdot a \leftrightarrow \frac{9}{32}= a}$

Somit ergibt sich: ${\displaystyle g(x)=\frac{9}{32}\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2}$

${\displaystyle g(x)=a\cdot(x-d)^2+e}$

Setze ${\displaystyle S(3|2)}$ ein: ${\displaystyle g(x)=a\cdot(x-3)^2+2}$

Setze ${\displaystyle P(0|-\frac{5}{6})}$ ein: ${\displaystyle -\frac{5}{6}=a\cdot(0-3)^2+2 \leftrightarrow -\frac{5}{6}=a\cdot (-3)^2+2 \leftrightarrow -\frac{5}{6}=a\cdot 9+2 \leftrightarrow -\frac{17}{6}=9\cdot a \leftrightarrow -\frac{17}{54}=a}$

Somit ergibt sich: ${\displaystyle g(x)=-\frac{17}{54}\cdot(x-3)^2+2}$

Da die Funktion eine negative Steigung besitzt, erreicht der Stein seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.

Der Scheitelpunkt der Funktion ist ${\displaystyle S=(3|\frac{5}{2})}$. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also nach ${\displaystyle 3}$ Metern.

Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form ${\displaystyle g(x)=a\cdot(x-d)^2+e}$. Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter ${\displaystyle a,d}$ und ${\displaystyle e}$ der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.

Zeichne zunächst den Scheitelpunkt ${\displaystyle S=(d|e)}$ ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen hilft dir der Parameter ${\displaystyle a}$. Da ${\displaystyle a=-\frac{1}{10}<1}$ ist, ist dies etwas schwieriger. Hierfür kann man die Normalparabel ${\displaystyle x^2}$ betrachten.

Der Scheitelpunkt liegt bei ${\displaystyle S=(3|\frac{5}{2})}$. Für ${\displaystyle a=-\frac{1}{10}}$ ist es sinnvoll den Nenner, also ${\displaystyle 10}$ in ${\displaystyle x^2}$ einzusetzen. Somit erhält man ${\displaystyle 10^2=100}$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren ${\displaystyle 100\cdot(-\frac{1}{10})=-10}$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts (${\displaystyle 10}$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach unten (${\displaystyle 10}$), da die Zahl negativ war. Da somit die Zeichnung recht groß wird, kann man sich auch überlegen eine niedrigere Zahl in ${\displaystyle x^2}$ einzusetzen. Dies sollte am besten ein Teiler vom Nenner sein, z.B. ${\displaystyle 5}$. Das Vorgehen ist identisch: ${\displaystyle 5^2=25 \rightarrow 25\cdot (-\frac{1}{10})=-2,5}$.

Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf die Wasseroberfläche endet. Auf der ${\displaystyle x}$-Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der ${\displaystyle y}$-Achse die Höhe des Steins in Meter.

Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 9. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen.

Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion ${\displaystyle g(x)}$ bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.

${\displaystyle \begin{array}{rlll} && g(x) &&=&& 0 \\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-3)^2-25 &\mid +25 \\ &\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-3)^2 &\mid \sqrt{} \\ \end{array} }$

${\displaystyle \begin{array}{rlll} &\Rightarrow&(x_1-3) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-3)=5\\ \end{array} }$

Also folgt ${\displaystyle x_1=-2}$ und ${\displaystyle x_2=8}$. Damit haben wir zwei Nullstellen.

Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite ${\displaystyle 8 m}$.

Die zum Lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.

Die binomischen Formeln lauten:

${\displaystyle (a+b)^2=a^2+2 \cdot ab+b^2}$

${\displaystyle (a-b)^2=a^2-2 \cdot ab+b^2}$

${\displaystyle (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2}$

Die Normalenform hat die Funktionsgleichung ${\displaystyle g(x)=a\cdot x^2+ b\cdot x+c}$. Überlege dir wie du die Punkte in diese Funktion einfügen kannst.

Setze die Punkte jeweils einzeln in die Funktionsgleichung ein (den ersten Wert für das ${\displaystyle x}$ und den zweiten Wert für das ${\displaystyle y}$). Du hast nun drei verschiedene Gleichungen. Überlege dir wie du dieses lineare Gleichungssystem lösen kannst (evtl. hast du hier bereits einen Wert für ${\displaystyle c}$ den du in die anderen Gleichungen einsetzten kannst).

Du musst nun die Gleichungen so von einander subtrahieren oder addieren, sodass eine der Variablen dabei wegfallen. Dafür musst du zuerst dafür sorgen, sodass die Vorfaktoren dieser Variablen in beiden Gleichungen identisch sind. Hast du nun nur noch eine Variable in der entstandenen Gleichung kannst du nach dieser Variablen auflösen. Hast du noch zwei Variablen musst du erneut eine der Gleichungen mit einer anderen verrechnen um eine weitere Gleichung mit den beiden Variablen zu erhalten. Diese beiden musst du abermals so verrechnen, dass eine der beiden Variablen wegfällt.

Die ausgerechnete Variable kannst du nun in eine der Gleichungen einsetzen wo noch eine weitere Variable vorkommt. Jetzt kannst du erneut umstellen und die zweite Variable berechnen. Wiederhole das Verfahren, falls du ${\displaystyle c}$ noch berechnen musst.

${\displaystyle g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c}$

Setze ${\displaystyle P(3|2)}$ ein: ${\displaystyle 2=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=a\cdot 9+b\cdot 3+c}$

Setze ${\displaystyle Q(-1|0)}$ ein: ${\displaystyle 0=a\cdot(-1)^2+b\cdot (-1) +c=a-b+c}$

Setze ${\displaystyle R(0|7)}$ ein: ${\displaystyle 7=a\cdot0^2+b\cdot 0 +c=c}$

Setze den erhaltenen Wert für ${\displaystyle c}$ in die ersten beiden Gleichungen ein:

1. ${\displaystyle 2=a\cdot 9+b\cdot 3+7 \leftrightarrow -5=a\cdot 9+b\cdot 3}$
2. ${\displaystyle 0=a-b+7 \leftrightarrow -7=a-b}$

Bringe den Vorfaktor von ${\displaystyle b}$ der beiden Gleichungen auf den selben Wert, z.B. ${\displaystyle 3}$, indem du die zweite Gleichung mit ${\displaystyle 3}$ multiplizierst:

${\displaystyle -7\cdot 3=a\cdot 3-b\cdot 3 \leftrightarrow -21=3\cdot a-3\cdot b}$

Addiere nun die Gleichungen ${\displaystyle -5=9\cdot a+3\cdot b}$ und ${\displaystyle -21=3\cdot a-3\cdot b}$ und stelle nach ${\displaystyle a}$ um:

${\displaystyle -5+(-21)=(9+3)\cdot a \leftrightarrow -26=12\cdot a \leftrightarrow -\frac{13}{6}=a}$

Setze nun ${\displaystyle a}$ in eine der Gleichungen ein, z.B. in ${\displaystyle -7=a-b}$:

${\displaystyle -7=-\frac{13}{6}-b \leftrightarrow \frac{29}{6}=b}$

Somit ergibt sich: ${\displaystyle g(x)=-\frac{13}{6}\cdot x^2+\frac{29}{6}\cdot x+7}$.

${\displaystyle g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c}$

Setze ${\displaystyle P(4|3)}$ ein: ${\displaystyle 3=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c=a\cdot 16+b\cdot 4+c}$

Setze ${\displaystyle Q(6|14)}$ ein: ${\displaystyle 14=a\cdot 6^2+b\cdot 6 +c=a\cdot 36+b\cdot 6+c}$

Setze ${\displaystyle R(9|-4)}$ ein: ${\displaystyle -4=a\cdot 9^2+b\cdot 9 +c=a\cdot 81+b\cdot 9+c}$

Subtrahiere nun die Gleichungen ${\displaystyle 3=a\cdot 16+b\cdot 4+c}$ und ${\displaystyle 14=a\cdot 36+b\cdot 6+c}$:

${\displaystyle 3-14=(16-36)\cdot a+ (4-6)\cdot b \leftrightarrow -11=-20\cdot a-2\cdot b}$

Subtrahiere nun die Gleichungen ${\displaystyle 14=a\cdot 36+b\cdot 6+c}$ und ${\displaystyle -4=a\cdot 81+b\cdot 9+c}$ :

${\displaystyle 14-(-4)=(36-81)\cdot a+ (6-9)\cdot b \leftrightarrow 18=-45\cdot a-3\cdot b}$

Bringe den Vorfaktor von ${\displaystyle b}$ der beiden erhaltenen Gleichungen auf den selben Wert, z.B. auf ${\displaystyle 6}$, indem du die erste Gleichung mit ${\displaystyle 3}$ und die zweite mit ${\displaystyle 2}$ multiplizierst:

${\displaystyle -11\cdot 3=-20\cdot 3\cdot a-2\cdot 3 \cdot b \leftrightarrow -33=-60\cdot a-6\cdot b}$

${\displaystyle 18\cdot 2=-45\cdot 2\cdot a-3\cdot 2 \cdot b \leftrightarrow 36=-90\cdot a-6\cdot b}$

Subtrahiere nun die Gleichungen ${\displaystyle -33=-60\cdot a-6\cdot b}$ und ${\displaystyle 36=-90\cdot a-6\cdot b}$ und stelle nach ${\displaystyle a}$ um:

${\displaystyle -33-36=(-60-(-90))\cdot a \leftrightarrow -69=30\cdot a \leftrightarrow -2.3=a}$

Setze nun ${\displaystyle a}$ in eine der Gleichungen ohne ${\displaystyle c}$ ein, z.B. in ${\displaystyle -11=-20\cdot a-2\cdot b}$:

${\displaystyle -11=-20\cdot (-2.3)-2\cdot b \leftrightarrow -17.5=b}$

Setze nun ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ in eine der Gleichungen mit ${\displaystyle c}$ ein, z.B. in ${\displaystyle 3=a\cdot 16+b\cdot 4+c}$:

${\displaystyle 3=-2.3\cdot 16+(-17.5)\cdot 4+c \leftrightarrow 109.8=c}$

Somit ergibt sich: ${\displaystyle g(x)=-2.3\cdot x^2-17.5\cdot x+109.8}$.