Main>Florian Bogner |
Main>Florian Bogner |
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| =Wiederholung: an Vorwissen anküpfen= | | == Die „Würfel von Efron“ == |
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| {{Hintergrund_orange|Motivation}} | | {{Kasten Mathematik|Gegeben sind diese vier durch ihre Netze beschriebenen Würfel. |
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| ==Zufallsexperimente==
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| Weißt du noch, was genau ein Zufallsexperiment ist?
| | [[Datei:4bunteWürfel.jpg]] |
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| Versuche dich zu erinnern und schreibe eine gute Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf dein Blatt!
| | :''Würfel nach Bradley Efron'' |
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| Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
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| ''Hier kannst du du deine Überlegungen anhand einer sehr guten Beschreibung überprüfen:''
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| {{versteckt|{{Kasten_grün|;Zufallsexperiment (Henze, 2008, S.3):Ein stochastischer Vorgang heißt {{Hintergrund_gelb|''ideales Zufallsexperiment''}}, wenn folgende Gegebenheiten vorliegen:
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| :* Das Experiment wird unter genau festgelegten Bedingungen, denn sogenannten ''Versuchsbedingungen'', durchgeführt.
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| :* Die Menge der möglichen Ergebnisse (Ausgänge) ist vor der Durchführung des Experiments bekannt.
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| :* Das Experiment kann zumindest prinzipiell beliebig oft unter gleichen Bedingungen wiederholt werden. }}}}
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| | '''Spielregeln:''' Zwei Spieler wählen nacheinander einen Würfel. Danach würfelt jeder einmal. Wer die höhere Punktzahl hat, gewinnt. |
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| {{Aufgaben-M|1|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente:}}
| | '''Äußere dich zu den Gewinnchancen! ''' |
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| (Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)
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| </div>
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| {{Aufgaben-M|2|Du wirfst mit deinem Banknachbar / deiner Banknachbarin eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringt. Welche oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' müsst ihr vor dem Zufallsexperiment festlegen?
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| }}
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| ''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u>
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| oder:
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| Beantworte nun folgende Fragen und klicke anschließend auf Korrektur!
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| <quiz display="simple">
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| { Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente: }
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| + Ziehung der Lottozahlen
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| - Wettervorhersage
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| - Elfmeterschießen im WM-Finale
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| + dreimaliges Werfen eines Würfels
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| - Benotung deiner Klassenarbeit
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| + Werfen einer Münze
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| - physikalisches Experiment
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| </quiz>
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| Das war ja noch einfach! / Hast du alles gewusst?
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| -->
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| ==Ergebnis und Ereignis==
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| an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen
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| *Baumdiagramm (mehrstufig, Vereinfachung)
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| *Zählprinzip (Produktregel)
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| *Begriffe und Schreibweisen (Ereignis, Ergebnis, Ergebnisraum, Gegenereignis)-->
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| Zur mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.
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| In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
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| {{Aufgaben-M|3|Würfelwurf: Ordne den Begriffen die richtigen Schreibweisen zu! <br!> ''(Funktioniert nur, wenn unter Einstellungen PNG als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen eingestellt und HTML ausgeschaltet ist!)''
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| hier evtl. an konkretem Bsp. durchführen. Falsche Vorschläge „falsch“ zuordnen. }}
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| <div class="zuordnungs-quiz">
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| | Ergebnis || <math>\omega_i</math> || <math>6</math>
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| |-
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| | Ereignis || <math>E</math> || <math>\left\{2,4,6\right\}</math>
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| |-
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| | Elementarereignis ||<math>\left\{6\right\}</math> || <math>\left\{\omega\right\}</math>
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| |-
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| | Ergebnismenge || <math>\Omega</math> || <math>\left\{1,2,3,4,5,6\right\}</math>
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| |-
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| | unmögliches Ereignis || <math>\emptyset</math>
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| |}
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| </div>
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| {{Aufgaben-M|4|Gib zu den Begriffen die richtige Schreibweise an!}}
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| *'''unmögliches Ereignis'''<formelapplet width="50" height="50" InputInactiveColor="d0d0b0" solution="ZIP-504b03041400080008000379f03a0000000000000000000000000a000000666f726d656c2e67726f63886630623060b0642862c807c2128658060d0613a0880183264334832198558c2c0a00504b07084bbf4b372400000032000000504b010214001400080008000379f03a4bbf4b3724000000320000000a0000000000000000000000000000000000666f726d656c2e67726f504b05060000000001000100380000005c0000000000" /> <br />
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| <br />
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| ''Lösungshinweis:''
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| {{versteckt|{{Kasten_grün|
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| *;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen Ergebnisse (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
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| *;Ergebnismenge (auch Ergebnisraum oder Grundraum):Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet man mit <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
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| *;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als Ereignis bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiment in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
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| *;Elementarereignis:Eine einelementige Teilmenge <math>\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> ist ein Elementarereignis.
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| *;sicheres Ereignis:Ganz sicher tritt das Ereignis <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math> ein. (Sicherlich ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge von sich selbst.)
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| *;unmögliches Ereignis:Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge <math>\left\{\right\}</math> oder <math>\varnothing</math>. (Auch das ist eine Teilmenge von <math>\Omega</math>.)
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| *;Gegenereignis:Bildet man aus allen Elementen von <math>\Omega</math>, die nicht in <math>E</math> enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das Gegenereignis <math>\overline{E}=\Omega\setminus E</math>.
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| *;Mächtigkeit: Anzahl der Elemente |E|
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| }}
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| }} | | }} |
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| {{Aufgaben-M|5|Gib für die folgenden vier Zufallsexperimente einen geeigneten Ergebnisraum <math> \Omega </math> an und bestimme jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math>: | | {{Aufgaben-M|1|Ist das Spiel fair?}} |
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| (a) Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.
| | Du kannst die „Würfel von Efron“ leicht selbst herstellen, indem du mit Folienstift deine eigenen Spielwürfel beschriftest. Spiele mit einem Freund / einer Freundin und sammle Erfahrungen mit den verschiedenen Würfeln! |
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| (b) Es wird dreimal gewürfelt.
| | {{Aufgaben-M|2|Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der gelbe Würfel gegen den blauen?}} |
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| (c) Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.
| | Hinweis: {{versteckt|Erstelle ein Baumdiagramm. Die erste Stufe ist der gelbe Würfel, der zweite der blaue}} |
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| (d) Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.
| | {{Lösung versteckt| [[Datei:Baumdiagramm]] |
| }}
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| ''Hier findest du eine kleine Hilfe:''
| | Erklärung: 36-Felder-Tafel }} |
| {{versteckt|Der Ergebnisraum ist eine Menge. Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl der Elemente, die in der Menge enthalten sind. Hier ist also die Anzahl der Elementarereignisse gesucht. Der Ergebnisraum sollte fein sein, das heißt möglichst viele Elemente enthalten.
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| }} | |
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| {{Aufgaben-M|6|'''(a)''' Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen? | | {{Aufgaben-M|3|Bestimme die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten!}} |
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| <math>\quad \Omega_1=\emptyset,\qquad \Omega_2=\left\{1\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_5=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
| | Tipp: *Überlege dir alle Möglichkeiten mit zwei Würfeln gegeneinander zu spielen. |
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| '''(b)''' Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
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| }}
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| ---- | | {{Aufgaben-M|4|}} |
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