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| [[Datei:Parablen im echten Leben.jpg|zentriert|rahmenlos|500x500px|]]
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| | {{DISPLAYTITLE:Digitale Bildbearbeitung mit ibisPaint}} |
| | --> |
| | {{Box|Steckbrief| |
| | '''Klasse:''' 8 |
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| | '''Unterrichtsfach:''' Kunst |
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| =Quadratische Funktionen - was ist das?=
| | '''Thema:''' Kunstgeschichte |
| {{Box|Lernpfad "Quadratische Funktionen - was ist das?"|Bisher hast du bereits gelernt, was Funktionen sind und dabei besonders die '''Linearen Funktionen''' unter die Lupe genommen. In diesem [[Lernpfad]] geht es nun darum Eigenschaften einer weiteren Art von Funktionen zu entdecken. Du hast hier die Möglichkeit, dir selbstständig Wissen über '''Quadratische Funktionen''' anzueignen.
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| | '''Fachliche Kompetenzziele:''' Kenntnisse im Bereich der Epochen (Impressionismus, Expressionismus, Kubismus, Pop Art) |
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| Zunächst erfährst du, wie der Lernpfad aufgebaut ist, was dich im Laufe der nächsten Stunden erwarten wird und welche Zeichen dir auf den folgenden Seiten begegnen werden und was sie bedeuten.|Lernpfad
| | '''Medienbezogene Kompetenzziele:''' Umgang mit dem Programm ibisPaint |
| }}
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| ==Übersicht==
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| '''<big>Was dich im Laufe dieses Lernpfades erwarten wird:</big>''' | |
| <br />
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| #Quadratische Funktionen im Alltag
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| #Quadratische Funktionen kennenlernen
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| #Die Parameter a und c
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| #Nullstellen Quadratischer Funktionen
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| #Anwendung Quadratischer Funktionen<br />
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| ==Bevor es losgeht:==
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| Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades starten kannst, erfährst du hier noch einige Informationen, die dabei Helfen die Übersicht zu bewahren. Außerdem erfährst du welche Lernziele du durch den Lernpfad erreichen wirst.
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| <u><big>Infos für die Bearbeitung</big></u>
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| Damit du dich in dem Lernpfad leicht zurechtfindest, sind auf dieser Seite einige Informationen zusammengestellt.
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| Oben auf dem Bildschirm im Inhaltsverzeichnis siehst du eine Aufzählung der Kapitel, die du durchlaufen wirst. Du kannst durch einfaches Anklicken zwischen den Kapiteln hin- und herspringen.
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| '''Im Lernpfad triffst du auf folgende Bausteine:'''<br />{{Box|Merke|Wichtige Erkenntnisse werden in Merkkästchen zusammengefasst.|Merksatz
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| }}{{Box|Aufgabe|Hier sollst du aktiv werden und selbstständig Neues entdecken.
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| Neben klassischen Aufgaben, die du in deinem Heft mit Papier und Stift bearbeiten sollst, können Aufgaben auch in Form interaktiver Applets auftreten. Von Kreuzworträtseln über GeoGebra-Applets und Zuordnungsaufgaben wird dir hier eine große Spannbreite begegnen. Genauere Erklärungen stehen bei der jeweiligen Aufgabe.|Arbeitsmethode
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| }}{{Box|Übung|Neue Erkenntnisse bleiben nicht von selbst im Kopf haften. Durch diese Markierungen werden Übungsaufgaben gekennzeichnet, welche dir dabei helfen sollen, die neu gelernten Inhalte selbst anzuwenden.|Üben
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| }}Bei einigen Aufgaben stehen dir außerdem '''Hilfen und Tipps''' zur Verfügung, wenn du nicht weiter kommst. Versuche immer zuerst die Lösung alleine herauszufinden, dann kannst du dir die Tipps anschauen. Diese bekommst du durch das Anklicken von:{{Lösung versteckt|Hier werden dir dann Tipps zu den Aufgaben angezeigt.|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}Wenn du eine Aufgabe gelöst hast, bekommst du sofort eine '''Rückmeldung''', ob dein Ergebnis richtig ist oder nicht. Dies geschieht entweder durch einen entsprechenden Lösungs-Button innerhalb interaktiver Applets oder durch Anklicken von:{{Lösung versteckt|Hier werden dir dann Lösungen und Erklärungen angezeigt.}}<div style="background-color:#efefef;;padding:7px;">
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| ===Lernziele===
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| <div class="grid"><div class="width-1-2">
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| '''Das wirst du lernen:'''
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| | |
| *Quadratische Funktionen in Wertetabellen, als Graphen und in Termen darstellen und erkennen
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| *Auswirkungen der Parameter a und c in einem quadratischen Funktionsterm auf den zugehörigen Graphen erkennen und beschreiben
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| *Graphen quadratischer Funktionen als Parabeln identifizieren und interpretieren
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| *Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen
| |
| *Quadratische Funktionsterme interpretieren und mit ihnen rechnen
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| </div></div></div>'''<big>Ein letzter Hinweis bevor es losgeht!</big>'''[[Datei:Hourglass-1221382.svg|links|rahmenlos|80x80px]]Du kannst dir die Zeit bei der Bearbeitung der einzelnen Kapitel des Lernpfades selber einteilen. Das heißt einerseits, dass du alle neuen Entdeckungen und Übungen in deinem Tempo durchlaufen kannst, andererseits musst du aber auch selbstständig darauf achten, nicht unnötig zu trödeln und voranzukommen.
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| '''<big>Nun kann es losgehen!</big>'''
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| =Quadratische Funktionen im Alltag=
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| {{Box|Was sind quadratische Funktionen und wie schauen sie aus?|Um uns quadratische Funktionen leichter vorstellen zu können betrachten wir zunächst einige Beispiele, wo quadratische Funktionen im realen Leben vorkommen.
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| So kannst du im Alltag oder auf einem Städtetrip immer wieder bogenförmige Bauwerke und Brücken entdecken. Ich bin mir sicher, dass so derartige Bauwerke auch in deiner Stadt finden kannst.
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| | |
| Auch in der Natur kommen solche Bögen immer wieder vor, so zum Beispiel bei Bergmassiven.
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| Hier sind einige Beispiele von quadratischen Funktionen, wie sie im im echten Leben auftreten.|Kurzinfo
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| }}<gallery widths="250" heights="200" style="text-align:center">
| |
| Datei:Bögen.JPG
| |
| Datei:Brücke Parabel Gelb.jpg
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| Datei:Fountain-819594 640.jpg
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| Datei:Golden-gate-bridge-388917 640.jpg
| |
| Datei:Planten un Blomen.JPG
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| Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg
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| </gallery>Aber nicht nur bei Bauwerken oder in der Natur kommen quadratische Funktionen häufig vor. Auch bei vielen Sportarten, sind wir unbewusst mit quadratischen Funktionen konfrontiert.
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| Ob beim Basketball- oder Fußball spielen ist es möglich vergleichbare Bögen zu entdecken. Achte einmal darauf, wie ein abgeworfener oder abgeschossener Ball durch die Luft fliegt.
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| <br />
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| [[Datei:Basketball wurf parabel.gif|zentriert|rahmenlos|500x500px|Basketball]]
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| {{Box|Merke|Die Bögen auf den Fotos haben alle eine Gemeinsamkeit. Ihre Form kann man mithilfe von '''Parabeln''' modellieren und sie können als quadratische Funktionen dargestellt werden.|Merksatz
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| }}
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| {{Box|Aufgabe für den Nachmittag|Bei dieser Aufgabe sollst du nun selbst eine Quadratische Funktion in deiner Umgebung finden.
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| a) Suche dazu parabelförmige Bögen in deiner Umgebung. Du kannst bei dir Zuhause suchen oder auch im Park oder in der Stadt suchen. Fotografiere mindestens eine Parabel und notiere dir, wo du sie entdeckt hast und wie sie aussieht (z. B. breit, schmal, nach oben oder nach unten geöffnet).
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| | |
| b) Bring dein Foto in der nächsten Stunde mit und vergleiche sie mit einem Partner. Berichte deinem Partner von deinen Entdeckungen. Sammelt die Orte, Bilder und Beschreibungen in euren Schulübungsheftern.|Arbeitsmethode
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| }}<br />
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| =Quadratische Funktionen kennenlernen=
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| Nachdem wir nun eine bessere Vorstellung darüber haben, wie quadratische Funktionen aussehen können und wo sie auch im Alltag vorkommen, betrachten wir nun die zunächst die einfachste quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung <math>f(x) = x^2</math>.<br />
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| {{Box|Aufgabe 1|'''Für diese Aufgabe benötigst du dein Schulübungsheft.'''
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| a) Übernimm die Werte aus der dargestellten Wertetabelle in dein Heft und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.
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| | |
| b) Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| <br />
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| {| class="wikitable"
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| |+
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| !x
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| !y = f(x)
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| |-
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| | -3
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| |9
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| |-
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| | -2
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| |4
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| |-
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| |1
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| |1
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| |-
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| |0
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| |0
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| |-
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| |1
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| |-
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| |2
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| |-
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| |3
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| |
| |}
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| {{Lösung versteckt|
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| {{2Spalten
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| Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie du eine Wertetabelle erstellst oder Hilfe beim Einzeichnen in das Koordinatensystem benötigst, kannst du dir dieses Video bis Minute 4 anschauen:
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| {{#ev:youtube|B4FaFq65l30|460|center}}
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| }}
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| |Hilfe anzeigen|Schließen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Lösung: [[Datei:Normalparabel geogebra.png|rahmenlos|mittig|300px|]]|2=Lösung anzeigen|3=Schließen}}Den Graph dieser quadratischen Funktion nennt man '''Normalparabel'''.
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| | |
| Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle <math>S = (0|0)</math>. Dieser Punkt wird '''Scheitelpunkt''' genannt.
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| | |
| Die Parabel der Form <math>f(x) = x^2</math> hat noch zweit weitere besondere Eigenschaften:
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| | |
| *Die Parabel ist nach oben geöffnet.
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| *Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse.
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| | |
| Wenn du dir die Bilder vom Beginn des Lernpfades noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln alle anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (f(x) = x<sup>2</sup>) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.
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| | |
| <br /><gallery mode="packed-hover">
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| Datei:Fountain-819594 640.jpg
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| Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg
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| Datei:Planten un Blomen.JPG
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| Datei:Brücke Parabel Gelb.jpg
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| </gallery>Die Normalparabel kann also '''gestreckt''', '''gestaucht''' oder auch '''gespiegelt''' werden, wodurch sie eine andere Form annimmt.
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| | |
| Um herauszufinden, wie genau sich die bereits kennengelernte Normalparabel der Form <math>f(x) = x^2</math> verändern kann bist nun du wieder an der Reihe!
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| <br />
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| | |
| =Die Parameter a und c=
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| {{Box
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| |1=Aufgabe 2
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| |2='''Für diese Aufgabe benötigst du dein Schulübungsheft.
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| | |
| Wie verändert sich der Graph, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=2x^2</math>, (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math> und (3) <math>y=-x^2</math> ?
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| | |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen könnten (ohne diese zu zeichnen!).
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| {{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| | |
| '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet.|3=Arbeitsmethode}}
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| | |
| | |
| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> die du bereits kennengelernt hast grün eingezeichnet. Du kannst mit dem Schieberegler verschiedene Werte für "<math>a=</math>" eingeben. Dadurch wird der rote Graph <math>g(x)=a \cdot x^2</math> verändert.
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| | |
| '''Klicke auf folgenden Link um zum Geogebra Applet zu gelangen:'''
| |
| | |
| https://www.geogebra.org/m/fwjxkegk
| |
| [[Datei:F(x)=2x^2.png|mini|zentriert]]
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|
| |
| {{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| | |
| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''schmaler''', da die quadrierten x-Werte (<math>x^2</math>) durch den Vorfaktor 2 immer verdoppelt werden. Der zugehörige y-Wert wird dadurch größer.
| |
| | |
| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''breiter''', da die quadrierten x-Werte (<math>x^2</math>) durch den Vorfaktor 1/2 immer halbiert werden. Der zugehörige y-Wert wird dadurch kleiner.
| |
| | |
| 3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''"umgedreht"''', da die quadrierten x-Werte (<math>x^2</math>) durch den Vorfaktor -1 immer negative Werte annehmen. Der y-Wert ist also immer negativ.}}
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| | |
| | |
| {{Box
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| |Aufgabe 3
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| |In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
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| | |
| {{LearningApp|app=pysv88tea18|height=400px}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=Schau nochmal in deine Lösung zu Aufgabe 1. Du kannst auch erneut verschiedene Werte für a in dem Applet dort eingeben und die Auswirkungen auf den Graphen betrachten.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|Wenn a kleiner Null ist (<math>a<0</math>), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
| |
| | |
| Wenn a größer Null ist (<math>a>0</math>), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
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| | |
| Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (<math>-1<a<1</math>), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.
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| | |
| Wenn a kleiner als minus Eins (<math>a<-1</math>) oder größer als Eins ist (<math>a>1</math>), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.}}
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| | |
| Nachdem du den Lückentext mit den Lösungen verglichen hast, schreibe ihn als Merktext in dein Schulübungsheft!|Arbeitsmethode
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| }}<br />
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| {{Box
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| |Merke
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| |Multipliziert man <math>f(x)=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''.
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| Für <math>f(x)=ax^2</math> (mit a ≠ 0) gilt demnach:
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| | |
| '''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
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| | |
| '''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
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| | |
| Der Parameter a gibt somit an, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und wie steil oder flach sie verläuft!|Merksatz
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| }}
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| | |
| {{Box
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| |1=Aufgabe 4
| |
| |2=Ordne den abgebildeten Funktionsgraphen A bis B die zugehörige Funktionsgleichung 1 bis 4 zu. Achte dabei auf den Parameter a.
| |
| | |
| | |
| | |
| <gallery widths="200" heights="200" style="text-align:center">
| |
| Datei:-0.5x^2.png|A
| |
| Datei:2x^2.png|B
| |
| Datei:-2x^2.png|C
| |
| Datei:4x^2.png|D
| |
| </gallery>
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| | |
| [[Datei:ImageABCD.png|links]]
| |
| [[Datei:Funktionsgleichungen.png|rechts]]|3=Arbeitsmethode}}
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| | |
| | |
| {{Box
| |
| |Aufgabe 5
| |
| |'''Knobelaufgabe'''
| |
| | |
| Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
| |
| {{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
| |
| |Arbeitsmethode
| |
| }}
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| | |
| Nun hast du bereits herausgefunden, wie sich eine Quadratische Funktion der Form <math>f(x) = x^2</math> durch Multiplikation mit dem Parameter '''a''' verändern lässt.
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| | |
| Die Quadratische Funktion kann zudem durch den Parameter c verändert werden. Inwiefern der Parameter c die Normalparabel <math>f(x) = x^2</math> verändert, wirst du durch die nächste Aufgabe selbst herausfinden.
| |
| <br />
| |
| <br />{{Box
| |
| |1=Aufgabe 6
| |
| |2='''Für diese Aufgabe benötigst du dein Schulübungsheft.
| |
| | |
| Wie verändert sich der Graph, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
| |
| ::(1) <math>y=x^2+3</math>, (2) <math>y=x^2-2</math> ?
| |
| | |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen könnten.
| |
| Skizziere die Funktionsgraphen dazu in ein passendes Kooridinatensystem.
| |
| {{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| | |
| '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet.|3=Arbeitsmethode}}In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> die du bereits kennengelernt hast grün eingezeichnet. Du kannst mit dem Schieberegler verschiedene Werte für "<math>c =</math>" eingeben. Dadurch wird der rote Graph <math>g(x)=x^2 + c</math> verändert.
| |
| | |
| '''Klicke auf folgenden Link um zum Geogebra Applet zu gelangen:'''
| |
| | |
| https://www.geogebra.org/m/dzeed7zm
| |
| <br />
| |
| [[Datei:Veränderung durch den Parameter c.png|mini|zentriert]]
| |
| <br />
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| {{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| | |
| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach oben verschoben''', da die x-Werte ''nach dem quadrieren'' mit 3 addiert werden.
| |
| | |
| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach unten verschoben''', da die x-Werte ''nach dem quadrieren'' mit 2 subtrahiert werden.}}
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| | |
| {{Box|Merke|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl c von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+c</math> gilt:
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| | |
| '''c > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
| |
| | |
| '''c < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
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| | |
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| | |
| Der Parameter c verschiebt die Parabel demnach entlang der y-Achse und gibt somit den Schnittpunkt mit der y-Achse an.|Merksatz
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| }}
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| {{Box|Aufgabe 7|'''Welchen Wert hat der Parameter c?''' Trage deine Lösung wie in dem '''Beispiel''' ein:
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| | |
| ::[[Datei:Beispiel Parameter c.PNG|rahmenlos|150px|Beispiel]]
| |
| {{LearningApp|app=p8zh59fa317|width=100%|height=700px}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=Der Paramter <math>c</math> gibt den y-Achsenabschnitt an. Du kannst ihn an dem Punkt <math>P(0|c)</math> ablesen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}|Arbeitsmethode
| |
| }}
| |
| | |
| Nun versuchen wir die Auswirkungen der beiden Parameter '''a''' und '''c''' zu verbinden.
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| | |
| {{Box
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| |1=Aufgabe 8
| |
| |2='''Für diese Aufgabe benötigst du dein Schulübungsheft.
| |
| | |
| Zeichne folgende quadratische Funktionen in geeignete Koordinatensysteme.
| |
| ::(1) <math>y=2x^2-4</math>, (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2+2</math> und (3) <math>y=-3x^2+5</math> ?
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=Denke für die Konstruktion an die Wertetabelle.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}|3=Arbeitsmethode}}<br />
| |
| {{Lösung versteckt| Die Funktionsgraphen sollten wiefolgt aussehen:
| |
| <gallery widths="200" heights="200" style="text-align:center">
| |
| Datei:2x^2-4.png|Lösung (1)
| |
| Datei:0.5x^2+2.png|Lösung (2)
| |
| Datei:-3x^2+5.png|Lösung (3)
| |
| </gallery>
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| {{Box|Merke|Jede quadratische Funktion der Form <math>f(x)=ax^2+c</math> ist '''symmetrisch zur y-Achse'''.
| |
| | |
| Der Scheitelpunkt hat demnach die Koordinate '''<nowiki>S = (0|c)</nowiki>'''
| |
| |Merksatz
| |
| }}
| |
| | |
| Wir haben die '''Parameter a und c''' genauer untersucht, und herausgefunden wie sie die Quadratische Funktion <math>f(x)=ax^2+c</math>verändern. Um zur allgemeinen Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>zu gelangen, fehlt uns noch der Parameter b. Welchen Einfluss dieser auf den Graphen einer quadratischen Funktion hat, kannst du erneut in folgender Geogebra Datei selbst erkunden.
| |
| | |
| '''Klicke auf folgenden Link um zum Geogebra Applet zu gelangen:'''
| |
| | |
| https://www.geogebra.org/m/svmwzgzg
| |
| [[Datei:Image abc.png|mini|zentriert|Quadratische Funktion der Form: <math>f(x) = 0.5x^2-4x+3</math>]]
| |
| | |
| | |
| {{Box|Merke|Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratische Funktion der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>. Diese Form heißt '''Normalform.'''
| |
| | |
| |Merksatz
| |
| }}<br />{{Box
| |
| |1=Aufgabe 9
| |
| |2=Ordne den Funktionsgleichungen jeweils die zugehörige Bedingung aus A bis D zu.
| |
| | |
| [[Datei:Parameter 1.png|rahmenlos|500px|zentriert]]
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Lösung parameter 1.png|rahmenlos|500px|zentriert]]}}<br />{{Box
| |
| |1=Aufgabe 10
| |
| |2=Ordne den Funktionsgleichungen jeweils die zugehörige Bedingung aus A bis D zu.
| |
| | |
| [[Datei:Parameter abc.png|rahmenlos|600px|zentriert]]
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=Ursprung bedeutet durch den Punkt (0{{!}}0).|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| <br />
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=Ordinatenachse ist die y-Achse.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| <br />
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Lösung parameter abc.png|rahmenlos|600px|zentriert]]}}Wir haben zu Beginn dieses Lernpfads bereits den Begriff des '''Scheitelpunktes''' kennengelernt. Wir können nun nicht nur von der Normalparabel, sondern von jeder beliebigen quadratischen Funktion <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> den Scheitelpunkt bestimmen.
| |
| | |
| <br />
| |
| [[Datei:Scheitelpunkt quad fkt.png|mini|zentriert|Scheitelpunkt]]
| |
| | |
| | |
| {{Box
| |
| |1=Aufgabe 11
| |
| |2=Betrachte nun folgende Funktionsgraphen.
| |
| | |
| | |
| <gallery widths="200" heights="200" style="text-align:center">
| |
| Datei:Nullstellen1.png| A
| |
| Datei:Nullstellen2.png| B
| |
| Datei:Nullstellen4.png| C
| |
| </gallery>
| |
| | |
| | |
| 1) Bestimme die Scheitelpunkte der Funktionen.
| |
| | |
| 2) Überlege dir, wann die Funktion einen Hochpunkt, wann einen Tiefpunkt besitzt.
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=Skizziere dir dazu einige Funktionsgraphen und betrachte die Werte des Parameters a.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| <br />
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=1)
| |
| | |
| Scheitelpunkt A = (2{{!}}- 4)
| |
| | |
| Scheitelpunkt B = (2{{!}}1)
| |
| | |
| Scheitelpunkt C = (- 2{{!}}- 2)
| |
| | |
| 2)
| |
| | |
| Ob eine Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt, hängt vom Parameter a ab.
| |
| | |
| Wenn a > 0 ist die Parabel nach oben offen. Dadurch hat die Funktion einen Tiefpunkt als Scheitelpunkt.
| |
| | |
| Wenn a < 0 ist die Parabel nach unten offen. Dadurch hat die Funktion einen Hochpunkt als Scheitelpunkt.}}
| |
| {{Box|Merke|Der '''Scheitelpunkt''' ist abhängig vom Parameter '''a''' entweder ein '''Hoch- oder Tiefpunkt.'''
| |
|
| |
|
| | '''Eingesetzte Tools:''' ibisPaint |
|
| |
|
| |Merksatz
| | '''Technische Voraussetzungen''': iPad |
| }}<br />Den Scheitelpunkt kann man nicht nur vom Funktionsgraphen anlesen. Mann kann ihn auch mit folgender Formel berechnen.
| |
|
| |
|
| <math>S = \Bigl(\frac{-b}{2a}|\frac{-4ac-b^2}{4a}
| | '''Voraussetzungen SuS''': Umgang mit iPad und Stift; Bilder herunterladen, bearbeiten und verfremden können |
| \Biggr)</math>
| | |Merksatz}} |
|
| |
|
| <br />
| | {{Box|Einsatz| |
| | '''Einsatz''': ☐ einmalig ☐ gelegentlich ☒ dauerhaft |
|
| |
|
| =Nullstellen=
| | ☒ im Unterricht ☐ als Hausaufgabe ☐ als optionale Übung/Freiarbeit | Hervorhebung1}} |
| Nachdem wir nun eine genauere Vorstellung von quadratischen Funktionen der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> haben, können wir uns nun dem Rechnen mit quadratischen Funktionen widmen.
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| Wie du möglicherweise bereits aus den bisher betrachteten Parabeln erkennen konntest, gibt es quadratische Funktionen, welche die x Achse keinmal, einmal oder sogar 2 mal schneiden.
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| <br />
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| <gallery widths="200" heights="200" style="text-align:center">
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| Datei:0.5x^2+2.png|0 Nullstellen
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| Datei:-3x^2+5.png|2 Nullstellen
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| Datei:2x^2.png|1 Nullstelle
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| </gallery>
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| Diese Schnittpunkte mit der x-Achse nennt man '''Nullstellen.''' An diesen Nullstellen hat die Funktion den Funktionswert '''y = 0.'''
| | {{Box|'''Kurzbeschreibung Projekt:'''| |
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| Du kannst die Nullstellen also aus den jeweiligen Funktionsgraphen ablesen. So sehen wir, dass die erste Funktion keine Nullstellen besitzt und die dritte Funktion genau eine Nullstelle an der Stelle x = 0 besitzt.
| | In diesem Kunstprojekt geht es um die Bearbeitung, Verfremdung und Anwendung diverser Maltechniken und stilistischer Mittel der einzelnen Epochen mithilfe des Programms ibisPaint. Hierfür erfolgt zunächst eine Einführung in die jeweiligen Epochen, in der die Schüler:innen die Maltechniken und einige Künstler:innen kennenlernen. Ziel ist es, dass die Lernenden in der Lage sind, die Epochen anhand von Beispielen selbst zu identifizieren. Anschließend wird das erlernte Wissen praktisch erprobt, indem die Schüler:innen mithilfe eines Bearbeitungsprogramms Bilder ihrer Wahl bearbeiten und verfremden. Hierfür wurde ein Tutorial erstellt, um die Lernenden in das Programm einzuführen und dessen Einsatz zu erleichtern. Zur Würdigung der Lernprodukte können diese physisch in der Schule ausgestellt werden. |
| | |Unterrichtsidee }} |
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| Anhand der Grafik der zweiten Funktion können wir zwar ablesen, dass diese zwei Nullstellen besitzt. Den genauen Wert können wir durch das Ablesen hier allerdings nicht genau bestimmen.
| | '''Reflexion: Stärken und Schwächen''' |
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| Daher benötigen wir eine Möglichkeit zur genauen Berechnung von Nullstellen.
| | Das digital gestützte Kunstprojekt kann mit Differenzierungsangeboten angereichert werden, die auf die individuellen Kompetenzen der Lernenden eingehen. Denkbar wäre z. B. der Versuch von Animationen für fortgeschrittene Schüler:innen. Für die Durchführung des Unterrichtsprojektes ist es von Relevanz, dass die Lehrkraft umfangreiches Wissen über das eingesetzte Tool verfügt, um die Schüler:innen bei der Umsetzung ihrer Vorhaben angemessen unterstützen zu können. Dementsprechend wäre es sinnvoll, wenn möglichst das gleiche Endgerät genutzt wird, damit einheitliche Darstellungen hinsichtlich der Bedienung und Anwendung vorliegen. BYOD-Konzepte könnten somit unter Umständen hinderlich sein, wenn die Geräte z. B. nicht mit dem vorgesehenen Tool kompatibel sind. |
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| Zur Berechnung dieser Nullstellen benötigst du '''quadratische Gleichungen.''' Wir setzen den y-Wert dazu 0.
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| <math>0=ax^2+bx+c</math>
| | {{Box|'''Beispiel Lernprodukte:''' |
| | [[Datei:Lernprodukt Kunstprojekt.jpg|mini|Lernprodukte Kunstprojekt]] |
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| Nun können wir mit der bereits bekannten a,b,c Formel die Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen.
| | |Lernpfad}} |
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| [[Datei:Abc formel.png|mini|zentriert|abc - Formel zur Berechnung der Nullstellen]]
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| Ausschlaggebend für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung und damit für die Nullstellen einer quadratischen Funktion ist der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante.
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| *'''2 Nullstellen''': Unter der Wurzel steht eine '''positive''' Zahl.
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| *'''1 Nullstelle''': Unter der Wurzel steht '''0'''.
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| *'''Keine Nullstelle''': Unter der Wurzel steht eine '''negative''' Zahl.
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| <br />{{Box
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| |1=Aufgabe 12
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| |2=Betrachte nun erneut die gleichen Funktionsgraphen aus Aufgabe 9.
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| <gallery widths="200" heights="200" style="text-align:center">
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| Datei:Nullstellen1.png| A
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| Datei:Nullstellen2.png| B
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| Datei:Nullstellen4.png| C
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| </gallery>
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| 1) Bestimme nun die Nullstelle der Funktionen durch Ablesen aus der Grafik.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Lösung versteckt|1=Funktion A besitzt 2 Nullstellen:
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| x1 = 0
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| x2 = 4
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| | |
| Funktion B besitzt 2 Nullstellen:
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| x1 = 1
| |
| x2 = 3
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| Funktion C besitzt keine Nullstelle}}{{Box
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| |1=Aufgabe 13
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| |2=Gegeben ist eine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=-4x^2-3x+1</math>.
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| 1) Ermittle die Nullstellen grafisch und rechnerisch.
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| |3=Arbeitsmethode}}<br />{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nullstellen grafisch.png|rahmenlos|zentriert]]
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| <math>x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}</math>
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| <math>x = \frac{3\pm\sqrt{3^2 -4*-4*1}}{2*-4}</math>
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| | |
| <math>x = \frac{3\pm\sqrt{9 - - 16}}{-8}</math>
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| | |
| <math>x = \frac{3\pm\sqrt{25}}{-8}</math>
| |
| | |
| <math>x = \frac{3\pm5}{-8}</math>
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| | |
| <math>x_1 = -1</math>
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| <math>x_2 = 0.25 </math>}}{{Box
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| |1=Aufgabe 14
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| |2=Gegeben ist eine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=-x^2+2x+3</math>.
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| 1) Die Funktion f ist der Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>.
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| Gib a, b und c an!
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| 2) Erstelle eine Wertetabelle und zeichne den Graphen von f.
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| 3) Ermittle den Scheitelpunkt der Funktion.
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| 4) Lese die Nullstellen aus dem Funktionsgraphen ab.
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| 5) Ermittle die Nullstellen rechnerisch und vergleiche sie mit deinen abgelesenen Werten.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br /> {{Lösung versteckt|1=1)
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| a = - 1
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| b = 2
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| c = 3
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| 2)
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| [[Datei:Wertetabelle lösung.png|rahmenlos|links|Wertetabelle]]
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| [[Datei:fkt.png|rahmenlos|zentriert|Funktionsgrapg]]
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| 3) Scheitelpunkt S = (1{{!}}4)
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| 4) Die Funktion besitzt 2 Nullstellen. x1 = -1 und x2 = 3.
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| 5) Rechnerisch mithilfe der abc Formel:
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| <math>x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}</math>
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| <math>x = \frac{-2\pm\sqrt{2^2 -4*-1*3}}{2*-1}</math>
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| <math>x = \frac{-2\pm\sqrt{4 - - 12}}{-2}</math>
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| | |
| <math>x = \frac{-2\pm\sqrt{16}}{-2}</math>
| |
| | |
| <math>x = \frac{-2\pm4}{-2}</math>
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| <math>x_1 = -1</math>
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| <math>x_2 = 3</math>}}<br />
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| =Anwendung quadratischer Funktionen=
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| {{Box
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| |1=Aufgabe 15
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| |2=Der Graph der Funktion f beschreibt die Flugbahn einer Speerspitze bei einem bestimmten Wurf.
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| <math>f(x)=-0.01x^2+0.7x+1.8</math>
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| x ... horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt in m
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| f(x) ... Höhe über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m
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| | |
| [[Datei:Speerwurf.jpg|rahmenlos|500px|zentriert]]
| |
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| 1) Gib an, aus wie vielen m Höhe der Speer abgeschossen wurde.
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| | |
| 2) Berechne die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt, in der die Speerspitze bei diesem Wurf auf dem Boden auftrifft.
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=1) Betrachte dazu den Schnittpunkt mit der y-Achse (Parameter c) |2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| <br />
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=2) Horizontale Entfernung = Nullstelle. |2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| <br /> | | <br /> |
| |3=Arbeitsmethode}}{{Lösung versteckt|1=1) Der Sperr wurde aus einer Höhe von 1.8m abgeworfen.
| | [[Kategorie:Kunst]] |
| f(0) = 1.8m
| | [[Kategorie:Kunst-digital]] |
| | | [[Kategorie:Kunstgeschichte]] |
| Wir erhalten den Wert auch, indem wir x = 0 in die Funktionsgleichung einsetzen.
| | [[Kategorie:Epochen]] |
| <math>f(0)=-0.01*0^2+0.7*0+1.8 = 1.8</math>
| | [[Kategorie:Digitale Medien]] |
| | | [[Kategorie:Unterrichtsidee]] |
| | | [[Kategorie:Sekundarstufe 1]] |
| 2) Horizontale Entfernung = Nullstelle
| | [[Kategorie:Maltechniken]] |
| <math>0=-0.01x^2+0.7x+1.8</math>
| | [[Kategorie:Stilistische Mittel]] |
| | |
| abc Formel:
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| <math>x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}</math>
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| | |
| <math>x = \frac{-0.7\pm\sqrt{0.7^2 -4*-0.01*1.8}}{2*-0.01}</math>
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| | |
| <math>x_1 = -2.5</math>
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| | |
| <math>x_2 = 72.5 </math>
| |
| | |
| Für die Interpretation kommt nur die positive Lösung <math>x_2 </math> in Frage:
| |
| | |
| Der Sperr trifft also nach ca. 72.5 Meter auf dem Boden auf.}}<br />{{Box
| |
| |1=Aufgabe 16
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| |2=Die Wurfbahn eines schräg nach oben geworfen Balles kann mit der Funkion: <math>h(x)=-0.2x^2+x+1.5</math> beschrieben werden.
| |
| x ist die horizontale Entfernung von der Abwurfstelle in Meter
| |
| h(x) ist die Höhe des Balles in Meter über dem waagrechten Boden.
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| | |
| [[Datei:Ball.png|rahmenlos|zentriert]] | |
| | |
| 1) Bestimme und interpretiere h(0).
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| | |
| 2) Berechne in welcher waagrechten Entfernung von der Abwurfstelle der Ball wieder auf den Boden auftritt.
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| | |
| 3) Bestimmt die Maximale Höhe, die der Ball erreicht.
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=1) Abschusshöhe |2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| <br />
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=2) waagrechte Entfernung = Nullstelle. |2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| <br />
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=1) Maximum = Scheitelpunkt |2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| <br />
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| |3=Arbeitsmethode}}{{Lösung versteckt|1=1) h(0) gibt die Höhe nach 0 Metern an. Das bedeutet die Höhe beim Abschuss = Abschusshöhe.
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| Diese entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse. (Parameter c = 1.5)
| |
| Wir erhalten den Wert auch, indem wir x = 0 in die Funktionsgleichung einsetzen.
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| <math>h(0)=-0.2*0^2+0+1.5 = 1.5</math>
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| | |
| | |
| 2) Der Sperr wurde aus einer Höhe von 1.8m abgeworfen.
| |
| f(0) = 1.8m
| |
| 2) Horizontale Entfernung = Nullstelle
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| <math>0=-0.01x^2+0.7x+1.5</math>
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| abc Formel:
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| <math>x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}</math>
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| | |
| <math>x = \frac{-1\pm\sqrt{1^2 -4*-0.2*1.5}}{2*-0.2}</math>
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| | |
| <math>x_1 = -1.2</math>
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| <math>x_2 = 6.2 </math>
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| Für die Interpretation kommt nur die positive Lösung <math>x_2 </math> in Frage:
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| Der Ball trifft also nach ca. 6.2 Meter auf dem Boden auf.
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| | |
| 3) Die maximale Höhe kann durch den Scheitelpunkt ermittelt werden.
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| <math>S = \Bigl(\frac{-b}{2a}|\frac{-4ac-b^2}{4a}
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| \Biggr)</math>
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| | |
| <math>S = \Bigl(\frac{-1}{2*-0.2}|\frac{-4*-0.2*1.5-1^2}{4*-0.2}
| |
| \Biggr)</math>
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| <math>S = (2.5{{!}}2.75)</math>
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| | |
| Für die maximale Höhe interessiert uns hier nur der y-Wert.
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| Die maximale Höhe des Balles ist demnach 2.75 Meter.}}{{Box
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| |1=Aufgabe 17
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| |2=Im Computerspiel Angry Birds muss man mithilfe einer Schleuder grüne Schweine treffen. Als Wurfgeschoße stehen verschiedene Vögel zur Verfügung.
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| [[Datei:Angry birds.png|rahmenlos|700px|zentriert]] | |
| | |
| Der Vogel "Red" sitzt auf seiner Schleuder, 0.5m über dem Boden.
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| Das zu treffende Schwein sitzt im Punkt (11{{!}}1.5).
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| Außerdem weiß man, dass "Red" seinen höchste Höhe von 4 m nach 6m erreicht.
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| | |
| '''Hinweis:''' Du benötigst dazu die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion: <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> und Geogebra (CAS).
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| 1) Bestimme die Funktionsgleichung f(x) die "Red"s Flugbahn beschreibt, damit er das Schwein trifft.
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=Ermittle zunächst die Punkte A=(0{{!}}0.5), B=(6{{!}}4), C=(11{{!}}1.5) die auf der Funktion liegen |2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| <br />
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| {{Lösung versteckt|1=Zur Bestimmung der Funktionsgleichung benötigst du ein '''GLEICHUNGSSYSTEM''' |2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| <br />
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| {{Lösung versteckt|1=3 Parameter (a,b,c) bedeuten 3 Gleichungen |2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=Versuche zu jedem der drei ermittelten Punkte eine Gleichung durch einsetzen der x und y Werte in die allgemeine Funktionsgleichung aufzustellen |2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| |3=Arbeitsmethode}}{{Lösung versteckt|1=Die Punkte
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| <math>A=(0|0.5), B=(6|4), C=(11|1.5)</math>
| |
| | |
| können folgenderweise in die allgemeine Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> eingesetzt werden.
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| | |
| <math>0.5=a*0^2+b*0+c</math>
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| | |
| <math>4=a*6^2+b*6+c</math>
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| | |
| <math>1.5=a*11^2+b*11+c</math>
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| | |
| Diese Gleichungen können mit Geogebra im CAS Fenster gelöst werden.
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| | |
| a = -0.1
| |
| b = 1.17
| |
| c = 0.5}}{{Box
| |
| |1=Aufgabe 18
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| |2=Eine einspurige Tordurchfahrt hat die Höhe 5 m und die Bodenbreite 6m. Der Torbogen lässt sich durch eine quadratische Funktion f der Form <math>h(x)=ax^2+c</math> beschreiben, wenn der Ursprung im Fußpunkt der größten Höhe gewählt wird.
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| [[Datei:Torbogen.png|rahmenlos|zentriert]] | |
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| In der EU dürfen Lastwägen höchstens 4 m hoch und höchstens 2,55 breit sein. Kann jeder Lastwagen, der diese Vorschriften erfüllt, die Tordurchfahrt passieren?
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| {{Lösung versteckt|1=Wähle dein Koordinatensystem geeignet, sodass der Scheitelpunkt genau auf der y-Achse liegt
| |
| [[Datei:Tor.png|zentriert|400px]]|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}} | |
| <br />
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| {{Lösung versteckt|1=Die Punkte A=(3{{!}}0) und B=(0{{!}}5) liegen auf der Funktion|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| <br />
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=Erstelle ein Gleichungssystem mit den ermittelten Punkten|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
| |
| <br />
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| |3=Arbeitsmethode}}{{Lösung versteckt|1=Die Punkte
| |
| <math>A=(3|0)</math> und <math>S=(0|5)</math>
| |
| | |
| können folgenderweise in die allgemeine Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2+c</math> eingesetzt werden.
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| <math>0=a*3^2+c</math>
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| <math>5=a*0^2+c</math>
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| | |
| Aus der zweiten Gleichung ergibt sich der Parameter c = 5
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| | |
| Damit kann der Parameter a berechnet werden.
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| <math>0=a*3^2+5</math>
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| | |
| a = - 0.55
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| | |
| Daraus ergibt sich die Funktionsgleichung:
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| <math>f(x)=-0.55x^2+5</math>
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| | |
| Nun wollen wir überprüfen, ob alle Lastwägen, die höchstens 2.55m breit sind durch die Tordurchfahr fahren können.
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| | |
| [[Datei:Laster.png|zentriert|300px]] | |
| | |
| Eine Breite von 2.55m bedeutet, nach links und rechts 1.275m.
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| | |
| Wir berechnen demnach die Höhe der Funktion f an der Stelle x = 1.275
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| | |
| <math>f(1.275)=-0.55*1.275^2+5</math>
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| | |
| <math>f(1.275)=4.1</math>
| |
|
| |
|
| Damit ist der Torbogen an der breitesten Stelle der Lastwägen 4.1 Meter hoch.
| | {{DEFAULTSORT:Digitale Bildbearbeitung mit ibisPaint}} |
| Da die Lastwägen maximal 4 Meter hoch sind, können sie durch den Torbogen durchfahren.}}
| | [[Kategorie:UDIN]] |
