Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen und Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Seiten

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< Quadratische Funktionen erkunden(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Elena Jedtke
K (Seitenzahl)
 
Main>Carsten
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{{Quadratische Funktionen erkunden}}
{{Quadratische Funktionen erkunden}}
<big>'''Achtung Baustelle! An diesem Teil des Lernpfads wird derzeit gearbeitet.'''</big>


'''
<!-- 0. Beschreibung/Zieltransparenz usw. -->


=='''Quadratische Funktionen''' – was genau bedeutet das überhaupt? ==
'''Herzlich Willkommen zum Lernpfad "Quadratische Funktionen erkunden - die Scheitelpunktform"!''' <br />
 
Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein [https://vierecke.wordpress.com/quadrat/information/ Quadrat] ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.
Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu quadratischen Funktionen führt.
 
Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen [http://www.mathematik-wissen.de/flaecheninhalt_quadrat.htm Flächeninhalt]:
::: [[Datei:Quadrat mit 1.jpg|rahmenlos|80px|Fläche 1]]
 
:::A = 1 cm ⋅ 1 cm = 1<sup>2</sup> cm<sup>2</sup>= 1 cm<sup>2</sup>
 
Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2&nbsp;cm, 3&nbsp;cm und 4&nbsp;cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:
:::{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
!  style="width:7em"|Seitenlänge !!  style="width:7em"|Fläche
 
|-
|style="text-align:center"|1 cm ||style="text-align:center"| 1 cm<sup>2</sup>
 
|-
|style="text-align:center"|2 cm || style="text-align:center"|4 cm<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|3 cm || style="text-align:center"|9 cm<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|4 cm || style="text-align:center"|16 cm<sup>2</sup>
|}
 
Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Den Flächeninhalt kannst du als '''Funktion von x''' ansehen und '''f(x) = x<sup>2</sup>''' oder '''y = x<sup>2</sup>''' schreiben. [[Datei:Quadrat mit x.jpg|rahmenlos|80px|Fläche x^2]]
:::{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
!style="width:7em"|  x !! style="width:7em"|y = x<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"| 1
|-
|style="text-align:center"|2 ||style="text-align:center"| 4
|-
|style="text-align:center"|3 ||style="text-align:center"| 9
|-
|style="text-align:center"|4 || style="text-align:center"|16
|}
 
==Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?==
 
{{Aufgaben|1|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 4)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
'''a)''' Ergänze die Tabelle um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.
 
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.}}
 
:::{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
!style="width:7em"|  x !!  style="width:7em"|y = x<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"| 1
|-
|style="text-align:center"|2 ||style="text-align:center"| 4
|-
|style="text-align:center"|3 ||style="text-align:center"| 9
|-
|style="text-align:center"|4 || style="text-align:center"|16
|}
 
Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.
<popup name="Lösungen von Lucio, Merle und Fabian">
 
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian mit ihren Lsg.jpg|rahmenlos|1500px|Lösungen]]</popup>
 
 
 
{| {{Bausteindesign6}}
|Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?
|}
 
 


{{Aufgaben|2|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 5) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
In diesem Kapitel des Lernpfads wirst du die sog. Scheitelpunktform quadratischer Funktionen kennenlernen. Du kannst selbstständig mithilfe der vorliegenden Applets reale Flugkurven, Gebäude oder Phänomene aus der Natur modellieren, in einem Zuordnungsquiz selbst überprüfen, ob du alles verstanden hast. Bei einigen Aufgaben und Übungen benötigst du das Arbeitsblatt. Viel Erfolg!<br />


Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?
<!-- hier Einführung SPF ??? -->
<!-- 2. Erste einfache Anwendung der SPF + Motivation-->


{{Aufgaben|1|'''Für diese Aufgabe benötigst du dein Forscherheft''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.
'''a)''' Finde mithilfe der Schiebregler im Applet den passenden Funktionsterm für drei Bilder. Wenn du noch weiter üben möchtest, kannst du auch mehr Funktionsterme suchen.  


'''b)''' Kontrolliere die Terme mithilfe der Lösungsvorschläge und beantworte anschließend die Reflexionsfragen in deinem Forscherheft.}}


[[Datei:Lucio, Merle und Fabian Diskussion.jpg|rahmenlos|750px|Diskussion]]
<!-- Basketball, Snowboard, Kugelstoßen (zB mathewerkstatt), Angry Birds, Brücke, Gebäude, Monstertruck -->
<popup name="Hilfe">Bei Lucios Aussage könnte es helfen einen kleinen Ausschnitt des Graphen zu betrachten und dort noch mehr Zwischenwerte auszurechnen und einzuzeichnen.


Fabians ergänzte Werte könnt ihr zum Beispiel auf mathematische Richtigkeit überprüfen und darauf, wie sie zu dem Sachzusammenhang „Quadrat“ passen.</popup>
<!-- 3. vorziehen? Stattdessen hier ein Beispiel zur Vorbereitung auf 4.Aufgabe 2??? -->
<popup name="Lösung">Bei einem Funktionsgraphen werden die einzelnen Punkte immer mit einer durchgängigen Linie verbunden. Lucios Graph sieht den anderen zwar sehr ähnlich, passt jedoch nicht ganz genau, wenn man sich noch weitere Zwischenwerte anschaut.
Merles Lösung ist richtig. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig, dass die Abstände auf den Achsen genau 1 betragen. Wichtig ist, dass die Abstände auf einer Achse alle gleich groß sind.
Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Bei quadratischen Funktionen können sowohl negative als auch positive Werte für x eingesetzt werden. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.</popup>}}


{{Merke|1= Funktionen, die mithilfe der Funktionsgleichung f(x)=a*(x-d)²+e (mit a=0) beschrieben werden können, heißen quadratische Funktionen. Diese Darstellungsform nennt man im Gegensatz zur Normalform [https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden/Die_Normalform] Scheitelpunktform, da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt S (d/e) ablesen lässt.}}


==Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:==
<!-- 4. Darstellungswechsel-Zuordnung basierend auf Fehlertypen -->


Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.
{{Aufgaben|2|'''Für diese Aufgabe benötigst du dein Forscherheft''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


'''a)''' Ordne die passenden Terme und Funktionsgraphen einander zu.}}<br />


{{Aufgaben|3|
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=phjm1pcxt16" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>


'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
'''b)''' Fehler-Analyse & Reflexion


Notiere die folgenden Merksätze in deine Merkliste.}}


<!-- 5. PA, Quiz, Sport-->


{{Merke|
{{Aufgaben|3|'''Für diese Aufgabe benötigst du dein Forscherheft und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
* Der Term


::<math>y = x^2</math> &nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp; <math>f(x)=x^2</math>
'''a)''' Überlege dir - ohne deinem Partner es zu verraten - eine Sportart, bei der die Flugkurve eines Balls (oder eines ähnlichen Sportutensils) durch eine Parabel näherungsweise modelliert werden kann. Zur Visualisierung kannst du das untenstehende GeoGebra-Applet nutzen.


:beschreibt die einfachste quadratische Funktion.  
Tipp: Notiere zunächst wichtige Punkte, wie z.B. den Abschlagspunkt oder den höchsten Punkt der Flugkurve.
* Den Graphen dieser quadratischen Funktion nennt man '''Normalparabel'''.
::[[Datei:Normalparabel grün.png|rahmenlos|mittig|300px|Normalparabel]]
* Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle <math>S(0|0)</math>. Dieser Punkt wird '''Scheitelpunkt''' genannt.}}


'''b)''' Tausche mit deinem Partner... Validierung des Modells...(mithilfe vorgegebener Kriterien?). Zur Visualisierung kannst du erneut das untenstehende GeoGebra-Applet nutzen.}}


[[Datei:Parameter.ggb|miniatur|Mithilfe]]


[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|rechts|link=Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform]]
Hier erscheint ein GeoGebra-Applet, bei dem 1. die drei Parameter via Schiebregler variiert werden können und 2. eine Zoomfunktion o.ä., damit die sichtbaren Achsen verändert werden können.




<!-- 6. Gesamt-Reflexion mit Zielscheibe (im Forscherhfet) <br /> -->


Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
'''
--[[Benutzer:Carsten|Carsten]] ([[Benutzer Diskussion:Carsten|Diskussion]]) 15:24, 5. Nov. 2016 (CET)

Version vom 9. November 2016, 11:31 Uhr

gRIFIKBERSCHREIBUNG)

Quadratische Funktionen erkunden

< Mathematik-digital

Achtung Baustelle! An diesem Teil des Lernpfads wird derzeit gearbeitet.

Herzlich Willkommen zum Lernpfad "Quadratische Funktionen erkunden - die Scheitelpunktform"!

In diesem Kapitel des Lernpfads wirst du die sog. Scheitelpunktform quadratischer Funktionen kennenlernen. Du kannst selbstständig mithilfe der vorliegenden Applets reale Flugkurven, Gebäude oder Phänomene aus der Natur modellieren, in einem Zuordnungsquiz selbst überprüfen, ob du alles verstanden hast. Bei einigen Aufgaben und Übungen benötigst du das Arbeitsblatt. Viel Erfolg!


Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du dein Forscherheft Notizblock mit Bleistift.

a) Finde mithilfe der Schiebregler im Applet den passenden Funktionsterm für drei Bilder. Wenn du noch weiter üben möchtest, kannst du auch mehr Funktionsterme suchen.

b) Kontrolliere die Terme mithilfe der Lösungsvorschläge und beantworte anschließend die Reflexionsfragen in deinem Forscherheft.



Merke
Funktionen, die mithilfe der Funktionsgleichung f(x)=a*(x-d)²+e (mit a=0) beschrieben werden können, heißen quadratische Funktionen. Diese Darstellungsform nennt man im Gegensatz zur Normalform [1] Scheitelpunktform, da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt S (d/e) ablesen lässt.



Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du dein Forscherheft Notizblock mit Bleistift.

a) Ordne die passenden Terme und Funktionsgraphen einander zu.


b) Fehler-Analyse & Reflexion



Aufgabe 3

Für diese Aufgabe benötigst du dein Forscherheft und einen Partner Notizblock mit Bleistift.

a) Überlege dir - ohne deinem Partner es zu verraten - eine Sportart, bei der die Flugkurve eines Balls (oder eines ähnlichen Sportutensils) durch eine Parabel näherungsweise modelliert werden kann. Zur Visualisierung kannst du das untenstehende GeoGebra-Applet nutzen.

Tipp: Notiere zunächst wichtige Punkte, wie z.B. den Abschlagspunkt oder den höchsten Punkt der Flugkurve.

b) Tausche mit deinem Partner... Validierung des Modells...(mithilfe vorgegebener Kriterien?). Zur Visualisierung kannst du erneut das untenstehende GeoGebra-Applet nutzen.


Datei:Parameter.ggb
Mithilfe

Hier erscheint ein GeoGebra-Applet, bei dem 1. die drei Parameter via Schiebregler variiert werden können und 2. eine Zoomfunktion o.ä., damit die sichtbaren Achsen verändert werden können.


--Carsten (Diskussion) 15:24, 5. Nov. 2016 (CET)

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