Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben-M|4.1| | {{Aufgaben-M|4.1|Du wirfst '''einen''' „Würfel von Efron“. Gib eine Ergebnismenge für jeden „Würfel von Efron“ so an, dass es sich dabei um ein Laplace-Experiment handelt.}} | ||
''Lösungshinweise:'' {{versteckt| | ''Lösungshinweise:'' {{versteckt|:*Vielleicht hilft dir ein Baumdiagramm weiter? | ||
:*Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel <math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math> für den grünen Würfel. | |||
:*Wichtig ist, dass <math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math> gilt. | |||
:*Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln <math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit). | |||
Beispiel für eine falsche Lösung: <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\}\ .</math> Dies ist zwar auch eine richtige Ergebnismenge. Hier sind die Ergebnisse aber nicht gleichwahrscheinlich! | |||
:*Beispiel für eine falsche Lösung: <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\}\ .</math> Dies ist zwar auch eine richtige Ergebnismenge. Hier sind die Ergebnisse aber nicht gleichwahrscheinlich! | |||
}} | }} | ||
{{Aufgaben-M|4.2|Pia | {{Aufgaben-M|4.2|Pia lässt Anna den Vortritt: Anna sucht sich den violetten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel. Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.}} | ||
[[Datei:AnnaundPia.jpg|right|240px]] | [[Datei:AnnaundPia.jpg|right|240px]] | ||
Lösungshinweise: {{versteckt|* Erstelle | Lösungshinweise: {{versteckt|:* Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm. | ||
* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf. | :* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf. | ||
* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.}} | :* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.}} | ||
{{Lösung versteckt|*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. | {{Lösung versteckt|:*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. | ||
:Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit <math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math> | :Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit <math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math> | ||
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*Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen: | :*Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen: | ||
[[Datei:PiaundAnna.jpg|400px]] | :[[Datei:PiaundAnna.jpg|400px]] | ||
*Betrachte noch folgende 36- | :*Betrachte noch folgende 36-Feldertafel: | ||
[[Datei:36 Felder Tafel rot grün.jpg|links|250px]] | :[[Datei:36 Felder Tafel rot grün.jpg|links|250px]] | ||
:Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet. | :Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet. | ||
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:Zählt man die Felder einfach ab, so folgt: | :Zählt man die Felder einfach ab, so folgt: | ||
:Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den | :Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den violetten Würfel. | ||
:Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein! | :Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein! | ||
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{{Aufgaben-M|4. | {{Aufgaben-M|4.3|Welche weiteren Farbkombinationen gibt es noch, mit den „Würfeln von Efron“ gegeneinander zu spielen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten. | ||
Übertrage die unten stehende Tabelle auf dein Blatt und trage die Werte ein! | |||
Gibt es den „Superwürfel“?}} | |||
:Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt. | :Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt. | ||
:[[Datei:EfronTabelleLeer.jpg]] | |||
:Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen. | :Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen. | ||
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Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau: | Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau: | ||
{{versteckt| | {{versteckt| | ||
:[[Datei:Efrongelbundblau.jpg|rechts|240px]] | :[[Datei:Efrongelbundblau.jpg|rechts|240px]] | ||
:Wählt nun Pia zuerst den | :Wählt nun Pia zuerst den türkisen Würfel, sucht sich danach Anna den gelben aus. | ||
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*Hat Pia schon wieder die besseren Chancen? | *Hat Pia schon wieder die besseren Chancen? | ||
:Wir | :Wir markieren alle Pfade rot, bei denen sie sicher gewinnt: | ||
[[Datei:BaumEfrongelbundblauPiarot.jpg]] | :[[Datei:BaumEfrongelbundblauPiarot.jpg]] | ||
:Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt also <math>\frac{1}{3}\ .</math> | :Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt also <math>\frac{1}{3}\ .</math> | ||
*Betrachten wir nun alle übrigen Pfade, wenn Anna gewinnt: | :*Betrachten wir nun alle übrigen Pfade, wenn Anna gewinnt: | ||
[[Datei:BaumEfrongelbundblauAnnarot.jpg]] | :[[Datei:BaumEfrongelbundblauAnnarot.jpg]] | ||
:Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wen wir die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zusammenzählen: | :Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wen wir die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zusammenzählen: | ||
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:Dies bestätigt uns auch die Rechnung über das Gegenereignis: | :*Dies bestätigt uns auch die Rechnung über das Gegenereignis: | ||
:<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = 1 - p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math> | :<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = 1 - p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math> | ||
*Die 36- | :*Die 36-Feldertafel bestätigt das Ergebnis ebenfalls: | ||
:[[Datei:TafelEfrongelbundblau.jpg]] | :[[Datei:TafelEfrongelbundblau.jpg]] | ||
:Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den | :Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den türkisen Würfel. | ||
}} | }} | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt|:*Es gibt insgesamt <math>4\ \cdot\ 3 = 12</math> verschiedene Spielpaarungen. | ||
:Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen: | |||
Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein! | :[[Datei:EfronGewinntabelle.jpg]] | ||
:*Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{2}{3}</math> gewinnt. | |||
:Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen! | |||
}} | }} | ||
'''Für Interessierte:''' | '''Für Interessierte:''' | ||
{{Aufgaben-M|4. | {{Aufgaben-M|4.4|Hans und Franz wollen bei Pia und Anna mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworfen werden?}} | ||
[[Datei:4bunteWürfel.jpg|rechts|400px]] | |||
Lösungshilfe: {{versteckt|:Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. | |||
:Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}} | |||
{{Lösung versteckt|[[Datei:Baum3.jpg|links]] <br><br> Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.<br> Dann sind die anderen | {{Lösung versteckt|:[[Datei:Baum3.jpg|links]] <br><br> Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.<br> Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende. | ||
Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden. | Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden. | ||
<br><br><br><br> Als nächstes kann der | <br><br><br><br> Als nächstes kann der türkise Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. Der Pfad ist zu Ende. | ||
<br><br><br><br> Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt. | <br><br><br><br> Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt. | ||
<br><br><br><br> Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt der | <br><br><br><br> Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel. | ||
}} | |||
{{Aufgabe|'''Für Interessierte:''' | |||
Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.}} | |||
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{{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Ziegen| <big> → Weiter zum </big><colorize> | {{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Ziegen| <big> → Weiter zum </big><colorize>Ziegenproblem!</colorize>]] [[File:Monty-GoatRevealed.svg|center|75px]]}} |
Version vom 9. September 2009, 20:27 Uhr
Die „Würfel von Efron“
Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
- Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
- Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit
- Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:
- Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
- Betrachte noch folgende 36-Feldertafel:
- Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.
- Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.
- Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:
- Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den violetten Würfel.
- Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein!
- Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.
- Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.
Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau: Vorlage:Versteckt
- Es gibt insgesamt verschiedene Spielpaarungen.
- Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:
- Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von gewinnt.
- Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen!
Für Interessierte:
Vorlage:Aufgaben-M
Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt
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Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.
Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.
Als nächstes kann der türkise Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. Der Pfad ist zu Ende.
Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.
Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.
Für Interessierte:
Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.