Ganzrationale Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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* abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen
* abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen
* Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x-Achse, Verschiebung auf der y-Achse,  Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse)
* Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x-Achse, Verschiebung auf der y-Achse,  Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse)
* Sinus, Kosinus und Tangens im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken, d. h. für Winkel zwischen 0° und 90°
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Nach Bearbeitung dieses Pfades:  
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* kennst du wichtige Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen.
* kennst du wichtige Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen.
* weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
* weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
* weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse stauchen sowie an der x-Achse spiegeln kannst.
* weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse stauchen sowie an der x-Achse spiegeln kannst.
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<br>
<br>
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== Definition der ganzratial funktionen ==
== Definition der ganzrationalen Funktionen ==
Eine kleine Aufgabe zum Einstieg: <br>
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=Du hast ein quadratisches Stück Karton mit der Seitenlänge 16 cm und möchtest eine Kiste (ohne Deckel) basteln. Dazu schneidest du an jeder Ecke des Kartons ein Quadrat der Seitenlänge x aus, so dass du die übriggebliebenen Seiten nur noch hochzuklappen brauchst - die Höhe der Kiste ist demzufolge definiert als x. Stelle eine Funktion für das Volumen auf (in Abhängigkeit von der Höhe x), das heißt, bestimme V(x). Fertige zuvor eine Skizze an.}}
{{Lösung versteckt|1=<math>V(x) = (16 - 2x)^2x = 4x^3 + 52x^2 + 256x</math>}}
<br>


Die Funktion, die du gerade aufgestellt hast, ist eine sogenannte '''ganzrationale Funktion''' - sie setzt sich zusammen aus den einzelnen Summanden <math>4x^3</math>, <math>52x^2</math> und <math>256x</math>, den Potenzfunktionen. Der höchste Exponent gibt den '''Grad der Funktion''' an, d. h. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Vorfaktoren der einzelnen Summanden werden entsprechend den zugehörigen Exponenten von x mit <math>a_3 - a_1</math> bezeichnet (<math>a_3 = 4, a_2 = 52, a_1 = 256</math>) - sie heißen '''Koeffizienten'''.
<br>


Nun in allgemeiner Form:
{{Definition|1=Ein Term der Form <math>a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 mit n \in N; a_0, a_1, a_2, ..., a_{n - 1}, a_n \in R und a_n \neq 0</math> heißt '''Polynom'''. Die Zahlen <math>a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_{n - 1}, a_n</math> nennt man '''Koeffizienten''' des Polynoms. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient <math>a_n</math> nicht Null ist.<br>
Eine Funktion f, deren Funktionswert f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt '''ganzrationale Funktion'''. <br>
Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationale Funktion. Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, also R.}}
<br>
<br>


== Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen ==
Nicht erschrecken, die Definition sieht viel komplizierter aus als das Ganze in Wirklichkeit ist. Hier nochmal langsam am Beispiel:  
 
 
 
Wie bereits gesagt, zwei Beispiele für diese Art der Potenzfunktionen sind dir auf jeden Fall bekannt: <math>f(x) = x^1 = x</math> und <math>f(x)= x^2</math>. Mit diesen Funktionen hast du dich schon ausführlich beschäftigt. Diese Kenntnisse sollen nun erweitert werden auf andere Exponenten - einerseits auf größere positive (d. h. Funktionen wie <math>x^3</math>, <math>x^4</math>, <math>x^5</math> etc.) und andererseits auch auf negative (d. h. Funktionen wie <math>x^{-1}</math>, <math>x^{-2}</math> etc.).
<br>
<br>
<quiz>
{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 0.5x^4 + 3x^3 + 7x^2 - 1.3x - 18</math>.
| type="{}" }
1) Der { Grad } der Polynoms ist { 4 }, da 4 der höchste vorkommende Exponent ist. <br>
2) Die { Koeffizienten } lauten wie folgt: <math>a_4</math> = { 0.5 }, <math>a_3</math> = { 3 }, <math>a_2</math> = { 7 }, <math>a_1</math> = { -1.3 }, <math>a_0</math> = { -18 }. Der Index des jeweiligen a entspricht immer den { Exponenten } des zugehörigen x. Achte auf die { Vorzeichen }! Laut Definition kommen für die Koeffizienten alle { reellen } Zahlen in Frage, wundere dich also nicht, wenn in der Funktion z. B. eine Wurzel auftaucht.<br>
3) Da für x alle möglichen Zahlen eingesetzt werden können, ist also hier entsprechend der Definition D = { R }.
</quiz>


==== Potenzen mit ganzzahligen positiven Exponenten ====
Mit den folgenden Übungen kannst du überprüfen, ob du alles verstanden hast: <br>
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=Betrachte die Funktionen <math>f_1(x) = x^2</math>, <math>f_2(x) = x^3</math> und <math>f_3(x) = x^4</math> und <math>f_4(x) = x^5</math>.
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=Bestimme Grad und Koeffizienten der folgenden ganzrationalen Funktionen in deinem Lerntagebuch: <br>
* Zeichne die zugehörigen Graphen in dein Lerntagebuch und stelle Vermutungen an über den Zusammenhang von Exponent und Graph. Welche Fälle lassen sich unterscheiden?
1) <math>f(x) = \frac{1}{2}x^7 - 3x^5 + \sqrt{2}x^3 - x + 13</math> <br>
* Wie sehen vermutlich die Graphen zu <math>f_5(x) = x^6</math> und <math>f_6(x) = x^7</math> aus? Skizziere sie in deinem Lerntagebuch.
2) <math>g(x) = 7</math> <br>
* Welche Eigenschaften kennzeichnen die verschiedenen Gruppen von Graphen ansonsten (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Verhalten für sehr große bzw. sehr kleine x)?}}  
3) <math>h(x) = \frac{x}{2}</math> <br> 
4) <math>i(x) = 0,12345x^6 - 9,87654x </math> <br> 
5) <math>j(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x</math>}}
<br>
<br>
Mit dem folgenden Link kannst du deine Erkenntnisse überprüfen bzw. ergänzen:[http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Potenzfunktionen mit positiven Exponenten]
{{Lösung versteckt|1) Grad: 7, Koeffizienten: <math>a_7 = \frac{1}{2}, a_5 = -3, a_3 = \sqrt{2}, a_1 = -1, a_0 = 13</math>  <br>
2) Grad: 0, Koeffizienten: <\math>a_0 = 13</math>
3) Grad: 1, Koeffizienten: <\math>a_1 = \frac{x}{2}</math>
4) Grad: 6, Koeffizienten: <\math>a_6 = 0,12345, a_1 = 9,87654</math>
5) Grad: 4, Koeffizienten: <math>a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = -1, a_1 = -1</math>
}}
<br>
<br>


Noch eine kleine begriffliche Ergänzung:
Entscheide: Handelt es sich um eine ganzrationale Funktion? Begründe in deinem Lerntagebuch. <br>
{{Merke|1=Eine Funktion der Form <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n\in N</math> heißt Potenzfunktion vom Grad n. (Wundere dich nicht über das n im Exponenten: Da der Exponent in diesem Fall aus der Menge der natürlichen Zahlen stammt, wird er eben mit n bezeichnet.) <br>  
<quiz display="simple">
Die Graphen zu diesen Funktionen mit n > 1 heißen Parabeln n-ter Ordnung - der Graph zu einer quadratischen Funktion heißt also korrekt '''Parabel zweiter Ordnung'''.}}
<br>


==== Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten ====
{ <math>f(x) = \frac{x}{\sqrt{3}}</math> } 
Eventuell hast du dich bereits in der Klasse 9 mit Potenzfunktionen mit negativen Exponenten beschäftigt und weißt bereits einiges darüber - dann kannst du diesen Abschnitt bestimmt schnell durcharbeiten. Ansonsten nimm dir einfach etwas mehr Zeit ....
<br>


Zuerst einmal:
+ ja  
{{Merke|1=Für Potenzfunktionen mit negativen Exponenten gibt es zwei verschiedene Schreibweisen, die dir vermutlich schon bekannt sind - aber Wiederholung kann ja schließlich nie schaden: <br>
- nein
Es gilt: <math>x^{-a} = \frac{1}{x^a}</math>. <br>
Die Graphen zu diesen Funktionen nennt man '''Hyperbeln'''.
}}
<br>


{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=Bevor du dir gleich ein konkretes Beispiel und den zur Funktion gehörenden Graph anschauen sollst, bestimme die allgemeine Definitionsmenge und die Wertemenge von Funktionen der Form <math>f(x) = x^{-a} = \frac{1}{x^a}</math>. Gibt es x- und y-Werte, für die die Funktion nicht definiert ist? <br>
{ <math>g(x) = 1</math>}
Wenn du allein nicht weiterkommst, nutze das folgende Beispiel als Tipp.}}
<br>


==== Beispiel ====
+ ja
Ein konkretes Beispiel: <math>f(x) = x^{-3}</math>.
- nein
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=Forme die Funktion in die Bruchschreibweise um und gib Definitions- und Wertemenge an.}}
<br>
Nun zur graphischen Darstellung: Hyperbeln sehen etwas anders aus als die Graphen, die du bisher im Unterricht kennen gelernt hast.
<br>
[[Bild:    .jpg]]
<br>
Wie du bei der Bestimmung der Definitionsmenge (hoffentlich) herausgefunden hast, sind die Funktionen <br>
1) für x = 0 nicht definiert, d. h. der Graph weist an dieser Stelle eine Lücke auf. Rund um den Nullpunkt nähert sich der Graph immer mehr der y-Achse an, aber er erreicht ihn nie - für negative x-Werte logischerweise von links. <br>
2) für f(x) = 0 ebenfalls nicht definiert, da es keinen Nenner x gibt, für den ein Bruch mit Zähler 1 Null werden kann. Der Graph nähert sich dementsprechend sowohl "von oben" als auch "von unten" der x-Achse an.   
<br>


{{Merke|Die Geraden, denen sich Hyperbeln immer weiter annähern (hier also die x- und die y-Achse) haben einen speziellen Namen: Sie heißen '''Asymptoten'''. Bei der Asymptote einer Funktion handelt es sich aber nicht unbedingt um eine der beiden Achsen. Verschiebst du den Graphen im Koordinatensystem, verschiebt sich dementsprechend auch die Asymptote.  <br>
{ <math>h(x) = \frac {\sqrt{3}}{x}</math> }
Im weiteren Verlauf der Oberstufe wirst du noch weitere Funktionen kennenlernen, die Asymptoten besitzen, deshalb solltest du dir diesen Begriff gut merken.}}
<br>


Im nächsten Schritt sollst du weitere Eigenschaften neben der Definitions- und Wertemenge untersuchen - hier hast du bereits festgestellt, dass Potenzfunktionen mit negativen (ganzzahligen) Exponenten sich in diesem Punkt von den positiven Exponenten unterscheiden. Aber was ist mit den anderen Eigenschaften?
- ja
<br>
+ nein
{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Untersuche für verschiedene negative Exponenten die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten. <br>
* Was kannst du mithilfe des Applets über die Symmetrie sowie das Verhalten der Funktionen für sehr große und sehr kleine x herausfinden?
* Lassen sich wie bei den positiven Exponenten Gruppen bilden, die jeweils die gleichen Eigenschaften haben?
<br>
<ggb height="" width="" showMenuBar="" showResetIcon="" filename=" .ggb" />
}}
<br>
{{versteckt|Wie du wahrscheinlich festgestellt hast, lassen sich die ganzzahligen Potenzfunktionen (positive und negative Exponenten) in zwei Gruppen aufteilen:
{{Definition|Eine Funktion f heißt '''gerade Funktion''', wenn für alle x der Definitionsmenge gilt: '''f(x) = f(-x)'''. Das ist logischerweise genau dann der Fall, wenn der Exponent der Funktion gerade ist. Graphisch gesehen sind alle geraden Funktionen achsensymmetrisch zur y-Achse, so wie du es bereits von den quadratischen Funktionen kennst. <br>
Eine Funktion f heißt '''ungerade Funktion''', wenn für alle x der Definitionsmenge gilt: '''f(-x) = -f(x)'''. Das ist genau dann der Fall, wenn der Exponent der Funktion ungerade ist. Graphisch gesehen sind alle ungeraden Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung.}}
}}
<br>


{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=Wähle ein Beispiel für eine gerade und eine ungerade Funktion aus, zeichne den zugehörigen Graphen in dein Lerntagebuch (zeichne die Asymptoten bunt ein) und erläutere jeweils die Eigenschaften der Funktion.}}
{ 4) <math>i(x) = \frac {1}{x + 1} </math> } 
<br>


Hier eine kleine Übung zum [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_mathe_online.html Erkennen von Graphen] - alles verstanden?
- ja
<br>
+ nein 


---------
{ <math>j(x) = x^2</math> } 
<br>
Bevor wir nun übergehen zu den Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten, kannst du mit der folgenden Übung noch einmal überprüfen, ob du soweit alles verstanden hast und die Funktionen richtig zuordnen kannst: [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Übung zum Erkennen von Potenzfunktionen]. Klicke die Box mit "Applet: Graphen erkennen 2" an.
<br>


{{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT=Stelle zum Abschluss der Bearbeitung von ganzzahligen Exponenten stichwortartig die verschiedenen Funktionsarten mit ihren Eigenschaften zusammen skizziere jeweils einen Graphen. Zum Abschluss des Kapitels "Wichtige Eigenschaften von Potenzfunktionen" sollst du eine tabellarische Gesamtübersicht erstellen, mit dieser Aufgabe leistet du also schon etwas Vorarbeit für später.}}
+ ja
<br>
- nein


=== Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten = Wurzelfunktionen ===
</quiz>
In diesem Abschnitt geht es um Funktionen, deren Exponent aus einem Bruch besteht, die Funktion hat also die Form <math>f(x) = x^{\frac{m}{n}}</math>, beispielsweise <math>f(x) = x^{-\frac{7}{2}}</math> oder <math>f(x) = x^{\frac{3}{4}}</math>. Im Prinzip kennst du diese Funktionen auch bereits, denn Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten stellen lediglich eine andere Schreibweise für Wurzelfunktionen dar.
<br>
<br>
{{Definition|1=Man definiert für reelle Zahlen <math>x\ge 0</math> und <math>m, n \in N</math>: <math>x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m</math>. <br>
<math>\sqrt[n]{x^m}</math> heißt n-te Wurzel aus <math>x^m</math>. <br>
Beispiele: <math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}</math>, <math>x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}</math>, ...}}


{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=Was vermutest du, wie sich ein negativer rationaler Exponent auswirken würden? Erläutere an einem Beispiel und formuliere einen Merksatz bzw. eine Defintion wie oben.}}
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=Nun weißt du genau, was eine ganzrationale Funktion ist. Übernimm die Definition in dein Lerntagebuch (sofern noch nicht geschehen) und erläutere sie an einem selbstgewählten Beispiel für eine Funktion dritten Grades. Zeichne auch den zugehörigen Graphen in dein Lerntagebuch - stelle dazu eine geeignete Wertetabelle auf.}}
{{Lösung versteckt|{{Definition|Für reelle x > 0 und <math>m, n \in N</math> gilt: <math>f(x) = x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}} = (\frac{1}{\sqrt[n]{x}})^m</math>}}
}}
<br>
{{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT=Begründe in deinem Lerntagebuch, warum Potenzen mit rationalen Exponenten nur für positive x-Werte definiert sind.}}
<br>


Nun sollst du die Eigenschaften der Wurzelfunktionen untersuchen, d. h. Definitions- und Wertemenge, Asymptoten, Symmetrie, Verhalten für sehr große und sehr kleine x:
== Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen ==
{{Arbeiten|NUMMER=7|ARBEIT=Lassen sich die Eigenschaften der ganzzahligen  Exponenten übertragen? Stelle Vermutungen bzgl. der Eigenschaften von Wurzelfunktionen auf. Überprüfe sie mit den beiden folgenden Dateien. <br>
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=Ordne die Funktionsgleichungen den jeweiligen Bildern zu. Begründe in deinem Lerntagebuch.
<ggb height="" width="" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="  .ggb" />
  Zuordnung
<ggb height="" width="" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="  .ggb" />
}}
}}
<br>
<br>


Nun noch eine kleine [http://tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/wurzelfunktionsgraphen/index.html Übung zu Wurzelfunktionen].
Im Folgenden sollst du die gerade geordneten Funktionen noch einmal genauer untersuchen hinsichtlich möglicher Symmetrien sowie ihrem Verhalten für sehr große und sehr kleine x (Verhalten im Unendlichen):  
<br>


===Zusammenfassung===
=== Symmetrie ===
{{Arbeiten|NUMMER=7|ARBEIT=Stelle zusammenfassend eine tabellarische Übersicht auf, die die Eigenschaften aller möglichen Potenzfunktionen der Form <math>f(x) = x^a</math> (also die sogenannte Grundfunktion) gegenüberstellt. Nutze dazu die Tabelle, die du als Arbeitsblatt im Unterricht bekommst.}}
{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Bei welcher der Funktionen kannst du eine Symmetrie erkennen (Punktsymmetrie zum Ursprung oder Achsensymmetrie zur y-Achse)? Gruppiere die Funktionen bzw. die Funktionsgleichungen entsprechend in drei Gruppen (Punktsymmetrie, Achsensymmetrie, keine Symmetrie). Formuliere einen Merksatz, woran man eine mögliche Symmetrie an der Funktionsgleichung erkennen kann.}}
<br>
<br>


== Transformationen ==
{{versteckt|Untersuche speziell die Exponenten. Was fällt dir bei punktsymmetrischen Funktionen an den Exponenten auf, was bei achsensymmetrischen?}}
Bislang hast du dich lediglich mit den sogenannten "Grundfunktionen" der Potenzfunktionen beschäftigt. Nun sollst du dich näher mit möglichen Transformationen, d. h. Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen sowie Spiegelungen von Potenzfunktionen beschäftigen. <br>
Um die Anzahl der jeweils zu untersuchenden Funktionen überschaubar zu halten, werden auch an dieser Stelle die verschiedenen Arten von Exponenten getrennt betrachtet. <br>
<br>


=== Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten ===
{{Lösung versteckt|
Erinnere dich zurück an die quadratischen Funktionen: Dort hast du mit der Normalparabel als "Grundfunktion" gearbeitet und inzwischen weißt du, wie diese Grundfunktion transformiert werden kann. Es handelt sich hierbei - wie du weißt - bereits um ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit einem positiven ganzzahligen Exponenten. Bevor du dich mit anderen Exponenten beschäftigst, wiederhole kurz dein Wissen für den Fall a = 2:
{{Merke|Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft genau dann
<br>
* achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält.
{{Arbeiten|NUMMER=8|ARBEIT=Beantworte folgende Fragen in deinem Lerntagebuch. Versuche erst, die Fragen aus dem Kopf zu beantworten - wenn du Hilfe brauchst, nutze die versteckte Datei unten. Ansonsten kannst du mit ihrer Hilfe deine Ergebnisse überprüfen.<br>
* punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(x) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.}}
1) Wie erreichst du eine Streckung bzw. Stauchung von <math>f(x) = x^2</math>? Betrachte alle verschiedenen möglichen Fälle.
}}  
<br>
2) Wie kannst du diese Funktion nun in y-Achsenrichtung (d. h. also nach oben oder unten) verschieben?
<br>
3) Wie musst du die Funktionsgleichung verändern, wenn du zusätzlich noch eine Verschiebung in x-Achsenrichtung vornehmen willst?
<br>
4) Letzte Frage: Nachdem du nun eine zusammenfassende Funktionsgleichung aufgestellt hast, wie kannst du diese an der x-Achse spiegeln?
<br>
{{versteckt|Datei}}
}}
<br>
-----------
<br>
<br>
Nun sollst du versuchen, diese Informationen auch auf größere Exponenten zu übertragen: <br>


{{Arbeiten|NUMMER=9|ARBEIT=Finde heraus, ob die mathematischen Operationen, die für die Transformationen bei quadratischen Funktionen gelten, auch für a = 3 gelten. Stelle zuerst Vermutungen an, durch welche Veränderungen in der Funktionsgleichung du (ausgehend von der Grundfunktion <math>f(x) = x^a</math>) 
=== Verhalten im Unendlichen / Verlauf des Graphen ===
* eine Streckung bzw. Stauchung der Funktion in Richtung der y-Achse,
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=Wie verhalten sich die verschiedenen Graphen <br>
* eine Verschiebung in Richtung der x-Achse und
* für sehr große x-Werte?
* eine Verschiebung in Richtung der y-Achse sowie
* für sehr kleine x-Werte? <br>
* eine Spiegelung an der x-Achse
Gruppiere die Funktionen begründet entsprechend ihres Verhaltens und formuliere in deinem Lerntagebuch einen Merksatz, woran man das Verhalten der Funktion für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte ablesen kann.}}
hervorrufen kannst. Erläutere deine Vermutungen im Lerntagebuch und überprüfe mit den folgenden Dateien.<br>
<ggb height="" width="" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename=" .ggb" />
<ggb height="" width="" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename=" .ggb" />
}}
<br>


{{Arbeiten|NUMMER=10|ARBEIT=Fasse deine Erkenntnisse zusammen: Kannst du eine allgemeine Funktionsgleichung für Potenzfunktionen 3. Grades aufstellen, an der du alle möglichen Transformationen direkt ablesen kannst? Erläutere an einem Beispiel in deinem Lerntagebuch.}}
{{versteckt|Betrachte die einzelnen Summanden. Wenn du sehr große bzw. sehr kleine x-Werte einsetzt, welcher Summand bestimmt dann das Ergebnis hauptsächlich?}}  
{{Lösung versteckt|1=Eine solche allgemeine Gleichung lautet: <math>f(x) = a(x - d)^3 + e</math>. Eine Spiegelung kannst du erreichen durch <math>f(x) = -[a(x - d)^3 + e]</math>.}}
<br>


Die einzige Transformationsart, die bislang noch nicht betrachtet wurde, ist die Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse:
{{Lösung versteckt|
<br>
{{Merke|1=Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für sehr große x wird von dem Summanden mit der höchsten Potenz von x, d. h. dem Summanden mit dem höchsten Exponenten, bestimmt. Der Graph zur Funktion verhält sich also wie der Graph zur Funktion y = <math>a_nx^n</math>, wobei n der Grad von f ist.}}
{{Arbeiten|NUMMER=11|ARBEIT=Von den quadratischen Funktionen weißt du bereits, dass <math>f(bx) = (bx)^2</math> diese Streckung bzw. Stauchung bewirkt. Welche Besonderheit hatten wir bzgl. dieser Transformationsart festgestellt? Falls du es nicht mehr weißt, hilft dir vielleicht das folgende Applet: Beschreibe die verschiedenen möglichen Fälle für b.<br>
<ggb height="" width="" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="  .ggb" />
<br>
{{Lösung versteckt|1=Eine Streckung in Richtung der y-Achse (a < -1 bzw. a > 1) kann auch ausgedrückt werden durch eine Stauchung in Richtung der x-Achse (b < -1 bzw. b > 1). Entsprechendes gilt umgekehrt. <br>
Beispiel: Der Graph auf dem folgenden Bild kann mithilfe verschiedener Funktionsgleichungen dargestellt werden.
<br>
[[Bild:  .jgp]]
<br>
Einerseits in Form einer Streckung in Richtung der y-Achse: <math>f(x) = 4(x - 2)^2 + 3</math>(Streckfaktor 2)und andererseits durch eine Stauchung in Richtung der x-Achse: <math>g(x) = (2x - 4)^2 + 3(</math>. Wie hängen die beiden Gleichungen zusammen? Leite f(x) aus g(x) her. Erläutere den Zusammenhang zwischen a und b in deinem Lerntagebuch.}}
}}  
}}  
{{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT=Betrachte die folgenden Graphen:<br>
[[Bild:  jpg]]
[[Bild:  .jpg]] <br>
Beschreibe jeweils den Verlauf der 5 bzw. 6 Graphen. Wie beeinflussen die weiteren Summanden den Verlauf des Graphen zu x^3 bzw. x^4, d. h. ändert sich das Gesamtbild?}}
== Transformationen ==
Die ganzrationalen Funktionen, die du in diesem Lernpfad kennen gelernt hast, weisen bestimmte Transformationen auf, d. h. die Funktionsgleichung gibt an, inwiefern der Graph gestreckt oder gestaucht, in Richtung der x- oder y-Achse verschoben oder an der x-Achse gespiegelt ist.
<br>
<br>


Nun weißt du, wie Potenzfunktionen 2. und 3. Grades im Koordinatensystem bewegt werden können. Sind diese Erkenntnisse übertragbar auf alle positiven Exponenten? <br>
Mit zwei Arten von ganzrationalen Funktionen hast du dich in den vergangenen Wochen im Unterricht bereits näher beschäftigt. Die ganzrationalen Funktionen ersten und zweiten Grades haben spezielle Namen, linearen Funktionen <math>f(x) = a_1x + a_0</math> und die quadratischen Funktionen <math>g(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0</math>. Die zugehörigen Graphen heißen Geraden bzw. Parabeln.
{{Arbeiten|NUMMER=12|ARBEIT=Untersuche verschiedene weitere (positive) Exponenten.
* Sind deine bisherigen Erkenntnisse übertragbar auf alle positiven Exponenten?
* Macht es einen Unterschied, ob der Exponent gerade oder ungerade ist? <br>
Untersuche diese Frage mithilfe der [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potfkt2/ggbxhochnvar.html Übung zu Potenzfunktionen]
* Gelten deine Erkenntnisse beispielsweise auch für Geraden?
Wähle geeignete Beispiele und probiere mit [http://www.geogebra.org GeoGebra].<br>
Notiere deine Erkenntnisse im Lerntagebuch.
}}
<br>


{{Arbeiten|NUMMER=13|ARBEIT=Bevor du dich mit den anderen möglichen Exponenten beschäftigst, stelle eine Übersicht über die möglichen Transformationsarten für Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven Exponenten auf. Nutze dazu die allgemeine Gleichung <math>f(x) = a(x - d)^n + e(n\in N)</math> und erläutere die verschiedenen Transformationsarten. <br>
Formuliere in einem Satz, wie du eine Spiegelung an der x-Achse erreichen könntest. <br>
Erkläre, wie eine Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse in die Funktionsgleichung eingefügt werden könnte. Begründe anschließend, warum eine Betrachtung dieser Transformationsart bei Potenzfunktionen nicht notwendig ist.}}
<br>


=== Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten ===
{{Arbeiten|NUMMER=14|ARBEIT=Überprüfe, ob deine bisherigen Erkenntnisse auf Funktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten übertragen werden können. Gibt es Unterschiede? Nutze die folgende [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potfkt2/ggbxhochnminusvar.html Übung] als Hilfe.}}
<br>


=== Potenzen mit rationalen Exponenten ===
{{Arbeiten|NUMMER=15|ARBEIT=Überprüfe abschließend, ob deine bisherigen Erkenntnisse auch auf Funktionen mit rationalen Exponenten übertragen werden können. Gibt es Unterschiede? Nutze die folgende [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potfkt2/ggbxhochnratvar.html Übung] als Hilfe.}}
<br>
Gesamtergebnis: {{versteckt|Die von dir erstellte Übersicht ist auf alle Potenzfunktionen übertragbar, du kannst sie also als Gesamtübersicht nutzen.}}
<br>


=== Zusammenfassung ===
{{Arbeiten|NUMMER=16|ARBEIT=Wähle je ein Beispiel für jede Art der Potenzfunktion, die du kennengelernt hast. Erläutere in deinem Lerntagebuch jeweils die verschiedenen Transformationen und zeichne die Funktion.}}
<br>


=== Übungen ===
Im Folgenden sollst du dich genauer mit Verschiebungen, Streckungen / Stauchungen
???
<br>
<br>


== Zusatzaufgabe ==
== Zusatzaufgabe ==
{{Kasten_blau|Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbei
{{Kasten_blau|Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbei

Version vom 8. November 2010, 21:52 Uhr

Nuvola apps edu miscellaneous.png
Herzlich willkommen zum Lernpfad zu ganzrationalen Funktionen!

In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem 'verschoben' werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den ganzrationalen Funktionen auseinandersetzen.


Kompetenzen

Du kennst bereits:

  • verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...)
  • abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen
  • Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x-Achse, Verschiebung auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse)

Nach Bearbeitung dieses Pfades:

  • weißt du, was ganzrationale Funktionen sind.
  • kennst du wichtige Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen.
  • weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
  • weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse stauchen sowie an der x-Achse spiegeln kannst.


  Und nun ....


Viel Spaß beim Bearbeiten!!

Infos vor Beginn

Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.
Mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:



Mache spätestens nach jeder Stunde einen Eintrag ins Lerntagebuch und reflektiere über deine Arbeit in der Unterrichtseinheit.

Allgemeine Hinweise:

  • Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
  • Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.
  • ...



Definition der ganzrationalen Funktionen

Eine kleine Aufgabe zum Einstieg:
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Die Funktion, die du gerade aufgestellt hast, ist eine sogenannte ganzrationale Funktion - sie setzt sich zusammen aus den einzelnen Summanden , und , den Potenzfunktionen. Der höchste Exponent gibt den Grad der Funktion an, d. h. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Vorfaktoren der einzelnen Summanden werden entsprechend den zugehörigen Exponenten von x mit bezeichnet () - sie heißen Koeffizienten.

Nun in allgemeiner Form:

Definition

Ein Term der Form heißt Polynom. Die Zahlen nennt man Koeffizienten des Polynoms. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient nicht Null ist.
Eine Funktion f, deren Funktionswert f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt ganzrationale Funktion.

Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationale Funktion. Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, also R.




Nicht erschrecken, die Definition sieht viel komplizierter aus als das Ganze in Wirklichkeit ist. Hier nochmal langsam am Beispiel:

  

Gegeben ist die Funktion .

1) Der

der Polynoms ist

, da 4 der höchste vorkommende Exponent ist.
2) Die

lauten wie folgt: =

, =

, =

, =

, =

. Der Index des jeweiligen a entspricht immer den

des zugehörigen x. Achte auf die

! Laut Definition kommen für die Koeffizienten alle

Zahlen in Frage, wundere dich also nicht, wenn in der Funktion z. B. eine Wurzel auftaucht.
3) Da für x alle möglichen Zahlen eingesetzt werden können, ist also hier entsprechend der Definition D =

.


Mit den folgenden Übungen kannst du überprüfen, ob du alles verstanden hast:
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{{{1}}}


Entscheide: Handelt es sich um eine ganzrationale Funktion? Begründe in deinem Lerntagebuch.

1

ja
nein

2

ja
nein

3

ja
nein

4 4)

ja
nein

5

ja
nein


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Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

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Im Folgenden sollst du die gerade geordneten Funktionen noch einmal genauer untersuchen hinsichtlich möglicher Symmetrien sowie ihrem Verhalten für sehr große und sehr kleine x (Verhalten im Unendlichen):

Symmetrie

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Merke

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft genau dann

  • achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält.
  • punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(x) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.


Verhalten im Unendlichen / Verlauf des Graphen

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Merke
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für sehr große x wird von dem Summanden mit der höchsten Potenz von x, d. h. dem Summanden mit dem höchsten Exponenten, bestimmt. Der Graph zur Funktion verhält sich also wie der Graph zur Funktion y = , wobei n der Grad von f ist.

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Transformationen

Die ganzrationalen Funktionen, die du in diesem Lernpfad kennen gelernt hast, weisen bestimmte Transformationen auf, d. h. die Funktionsgleichung gibt an, inwiefern der Graph gestreckt oder gestaucht, in Richtung der x- oder y-Achse verschoben oder an der x-Achse gespiegelt ist.

Mit zwei Arten von ganzrationalen Funktionen hast du dich in den vergangenen Wochen im Unterricht bereits näher beschäftigt. Die ganzrationalen Funktionen ersten und zweiten Grades haben spezielle Namen, linearen Funktionen und die quadratischen Funktionen . Die zugehörigen Graphen heißen Geraden bzw. Parabeln.



Im Folgenden sollst du dich genauer mit Verschiebungen, Streckungen / Stauchungen

Zusatzaufgabe

{{Kasten_blau|Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbei

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