Ganzrationale Funktionen

Herzlich willkommen zum Lernpfad zu ganzrationalen Funktionen!

In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem 'verschoben' werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den ganzrationalen Funktionen auseinandersetzen.

Kompetenzen

Du kennst bereits:

verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...)
abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen
Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x-Achse, Verschiebung auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse)
Sinus, Kosinus und Tangens im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken, d. h. für Winkel zwischen 0° und 90°

Nach Bearbeitung dieses Pfades:

weißt du, was ganzrationale Funktionen sind.
kennst du wichtige Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen.
weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse stauchen sowie an der x-Achse spiegeln kannst.

Und nun ....

Viel Spaß beim Bearbeiten!!

Infos vor Beginn

Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.
Mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:

Mache spätestens nach jeder Stunde einen Eintrag ins Lerntagebuch und reflektiere über deine Arbeit in der Unterrichtseinheit.

Allgemeine Hinweise:

Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.
...

Definition der ganzrationalen Funktionen

Eine kleine Aufgabe zum Einstieg:
Vorlage:Arbeiten

V(x) = (16 - 2x)^2x = 4x^3 + 52x^2 + 256x

Die Funktion, die du gerade aufgestellt hast, ist eine sogenannte ganzrationale Funktion - sie setzt sich zusammen aus den einzelnen Summanden Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 4x^3, 52x^2 und 256x^} , den Potenzfunktionen. Der höchste Exponent gibt den Grad der Funktion an, d. h. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Vorfaktoren der einzelnen Summanden werden entsprechend den zugehörigen Exponenten von x mit $a_3 - a_1$ bezeichnet ( $a_3 = 4, a_2 = 52, a_1 = 256$ ) - sie heißen Koeffizienten.

Nun in allgemeiner Form:

Definition

Ein Term der Form $a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 mit n \in N; a_0, a_1, a_2, ..., a_{n - 1}, a_n \in R und a_n \neq 0$ heißt Polynom. Die Zahlen $a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_{n - 1}, a_n$ nennt man Koeffizienten des Polynoms. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient $a_n$ nicht Null ist.
Eine Funktion f, deren Funktionswert f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt ganzrationale Funktion.

Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationale Funktion. Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, also R.

Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Wie bereits gesagt, zwei Beispiele für diese Art der Potenzfunktionen sind dir auf jeden Fall bekannt: $f(x) = x^1 = x$ und $f(x)= x^2$ . Mit diesen Funktionen hast du dich schon ausführlich beschäftigt. Diese Kenntnisse sollen nun erweitert werden auf andere Exponenten - einerseits auf größere positive (d. h. Funktionen wie $x^3$ , $x^4$ , $x^5$ etc.) und andererseits auch auf negative (d. h. Funktionen wie $x^{-1}$ , $x^{-2}$ etc.).

Potenzen mit ganzzahligen positiven Exponenten

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Mit dem folgenden Link kannst du deine Erkenntnisse überprüfen bzw. ergänzen:Potenzfunktionen mit positiven Exponenten

Noch eine kleine begriffliche Ergänzung:

Merke

Eine Funktion der Form $f(x) = x^n$ mit $n\in N$ heißt Potenzfunktion vom Grad n. (Wundere dich nicht über das n im Exponenten: Da der Exponent in diesem Fall aus der Menge der natürlichen Zahlen stammt, wird er eben mit n bezeichnet.)

Die Graphen zu diesen Funktionen mit n > 1 heißen Parabeln n-ter Ordnung - der Graph zu einer quadratischen Funktion heißt also korrekt Parabel zweiter Ordnung.

Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten

Eventuell hast du dich bereits in der Klasse 9 mit Potenzfunktionen mit negativen Exponenten beschäftigt und weißt bereits einiges darüber - dann kannst du diesen Abschnitt bestimmt schnell durcharbeiten. Ansonsten nimm dir einfach etwas mehr Zeit ....

Zuerst einmal:

Merke

Für Potenzfunktionen mit negativen Exponenten gibt es zwei verschiedene Schreibweisen, die dir vermutlich schon bekannt sind - aber Wiederholung kann ja schließlich nie schaden:
Es gilt: $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$ .

Die Graphen zu diesen Funktionen nennt man Hyperbeln.

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Beispiel

Ein konkretes Beispiel: $f(x) = x^{-3}$ . Vorlage:Arbeiten
Nun zur graphischen Darstellung: Hyperbeln sehen etwas anders aus als die Graphen, die du bisher im Unterricht kennen gelernt hast.
Datei:.jpg
Wie du bei der Bestimmung der Definitionsmenge (hoffentlich) herausgefunden hast, sind die Funktionen
1) für x = 0 nicht definiert, d. h. der Graph weist an dieser Stelle eine Lücke auf. Rund um den Nullpunkt nähert sich der Graph immer mehr der y-Achse an, aber er erreicht ihn nie - für negative x-Werte logischerweise von links.
2) für f(x) = 0 ebenfalls nicht definiert, da es keinen Nenner x gibt, für den ein Bruch mit Zähler 1 Null werden kann. Der Graph nähert sich dementsprechend sowohl "von oben" als auch "von unten" der x-Achse an.

Merke

Die Geraden, denen sich Hyperbeln immer weiter annähern (hier also die x- und die y-Achse) haben einen speziellen Namen: Sie heißen Asymptoten. Bei der Asymptote einer Funktion handelt es sich aber nicht unbedingt um eine der beiden Achsen. Verschiebst du den Graphen im Koordinatensystem, verschiebt sich dementsprechend auch die Asymptote.

Im weiteren Verlauf der Oberstufe wirst du noch weitere Funktionen kennenlernen, die Asymptoten besitzen, deshalb solltest du dir diesen Begriff gut merken.

Im nächsten Schritt sollst du weitere Eigenschaften neben der Definitions- und Wertemenge untersuchen - hier hast du bereits festgestellt, dass Potenzfunktionen mit negativen (ganzzahligen) Exponenten sich in diesem Punkt von den positiven Exponenten unterscheiden. Aber was ist mit den anderen Eigenschaften?
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Vorlage:Versteckt

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Hier eine kleine Übung zum Erkennen von Graphen - alles verstanden?

Bevor wir nun übergehen zu den Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten, kannst du mit der folgenden Übung noch einmal überprüfen, ob du soweit alles verstanden hast und die Funktionen richtig zuordnen kannst: Übung zum Erkennen von Potenzfunktionen. Klicke die Box mit "Applet: Graphen erkennen 2" an.

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Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten = Wurzelfunktionen

In diesem Abschnitt geht es um Funktionen, deren Exponent aus einem Bruch besteht, die Funktion hat also die Form $f(x) = x^{\frac{m}{n}}$ , beispielsweise $f(x) = x^{-\frac{7}{2}}$ oder $f(x) = x^{\frac{3}{4}}$ . Im Prinzip kennst du diese Funktionen auch bereits, denn Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten stellen lediglich eine andere Schreibweise für Wurzelfunktionen dar.

Definition

Man definiert für reelle Zahlen $x\ge 0$ und $m, n \in N$ : $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$ .
$\sqrt[n]{x^m}$ heißt n-te Wurzel aus $x^m$ .

Beispiele:

x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}

,

x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}

, ...

Vorlage:Arbeiten

Definition

Für reelle x > 0 und

m, n \in N

gilt:

f(x) = x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}} = (\frac{1}{\sqrt[n]{x}})^m

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Nun sollst du die Eigenschaften der Wurzelfunktionen untersuchen, d. h. Definitions- und Wertemenge, Asymptoten, Symmetrie, Verhalten für sehr große und sehr kleine x: Vorlage:Arbeiten

Nun noch eine kleine Übung zu Wurzelfunktionen.

Zusammenfassung

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Transformationen

Bislang hast du dich lediglich mit den sogenannten "Grundfunktionen" der Potenzfunktionen beschäftigt. Nun sollst du dich näher mit möglichen Transformationen, d. h. Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen sowie Spiegelungen von Potenzfunktionen beschäftigen.
Um die Anzahl der jeweils zu untersuchenden Funktionen überschaubar zu halten, werden auch an dieser Stelle die verschiedenen Arten von Exponenten getrennt betrachtet.

Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten

Erinnere dich zurück an die quadratischen Funktionen: Dort hast du mit der Normalparabel als "Grundfunktion" gearbeitet und inzwischen weißt du, wie diese Grundfunktion transformiert werden kann. Es handelt sich hierbei - wie du weißt - bereits um ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit einem positiven ganzzahligen Exponenten. Bevor du dich mit anderen Exponenten beschäftigst, wiederhole kurz dein Wissen für den Fall a = 2:
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Nun sollst du versuchen, diese Informationen auch auf größere Exponenten zu übertragen:

Vorlage:Arbeiten

Eine solche allgemeine Gleichung lautet:

f(x) = a(x - d)^3 + e

. Eine Spiegelung kannst du erreichen durch

f(x) = -[a(x - d)^3 + e]

.

Die einzige Transformationsart, die bislang noch nicht betrachtet wurde, ist die Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse:
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Nun weißt du, wie Potenzfunktionen 2. und 3. Grades im Koordinatensystem bewegt werden können. Sind diese Erkenntnisse übertragbar auf alle positiven Exponenten?
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Übungen

???

Zusatzaufgabe

{{Kasten_blau|Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbei

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