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| {{Navigation verstecken | | {{DISPLAYTITLE:Reading: Chapter 1}} |
| |{{Lernpfad Inhalt}}
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| __NOTOC__
| | ddd |
| [[Datei:Zylinder.jpg|rechts|150px]]
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| =='''Hinweise'''==
| | __KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__ |
| | | __NICHT_INDEXIEREN__ |
| Es gibt gerade (senkrechte) und schiefe Zylinder:
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| <br><br>
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| [[Datei:Zylinder_gerade_schief.jpg|300px]]
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| <br><br>
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| Wir betrachten hier zunächst nur gerade Zylinder. Du wirst allerdings im Laufe der Unterrichtsreihe sehen, dass Mantel- und Oberflächeninhalt, sowie das Volumen eines schiefen Zylinders genauso berechnet werden, wie bei einem geraden Zylinder. ''(siehe "Satz von Cavalieri")''
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| <br>
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| =='''Wo gibt es überall Zylinder?'''==
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| {{Box|1=Auf Entdeckung|2=
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| Wo findet man überall zylindrische Formen? Notiere (auf deinem Laufzettel) mindestens 4 verschiedene Gegenstände aus dem Alltag, die die gleiche Form wie ein Zylinder haben können.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| =='''Mantelfläche und Mantelflächeninhalt des Zylinders'''==
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| [[Datei:Rolle.jpg|150px|right]]
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| '''Klopapierrollen''' und '''Küchenrollen''' sind '''offene Zylinder''' (ohne Grund- und Deckfläche), d.h. sie bestehen nur aus dem '''Mantel'''eines Zylinders.<br>
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| {{Box|1=Mantelflächeninhalt|2=
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| Stelle eine Formel für den '''Mantelflächeninhalt''' <math>M_{z}</math> eines Zylinders auf. Gehe dazu schrittweise vor:
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| a) Stelle dir zunächst vor, du schneidest die Mantelfläche des Zylinders (von oben nach unten) auf und biegst diese zu einer ebenen Fläche. Welche ebene Figur erhältst du dadurch? Überprüfe deine Überlegung mit Hilfe der Klopapierrolle.
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| b) Der Mantelflächeninhalt ist gleich dem Flächeninhalt der Figur aus a). Stelle nun die Formel zur Berechnung des Mantelflächeninhalts eines Zylinders auf!
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Zur Lösung musst du den Buchstabensalat unten sortieren!
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| <div class="schuettel-quiz">
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| Die Mantelfläche des Zylinders ist ein '''Rechteck'''. Die Breite des Rechtecks entspricht der '''Höhe''' <math>h_{z}</math> des Zylinders. Die Länge des Rechtecks entspricht dem '''Umfang''' der Zylindergrundfläche ('''Kreisumfang'''). Der Mantelflächeninhalt <math>M_{z}</math> ist also das '''Produkt''' aus '''Umfang''' und '''Höhe''' des Zylinders. Nun musst du dies nur noch in die Formelschreibweise übersetzen und die entsprechende Formel für den Zylinderumfang einsetzen.
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| </div>
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| =='''Oberfläche und Oberflächeninhalt des Zylinders'''==
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| {{Box|1=Oberfläche und Körpernetz |2=
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| a) Notiere, aus welchen Flächen sich die'''Oberfläche''' eines Zylinders zusammensetzt.
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| b) Zeichne das Körpernetz [[Inhalt_und_Drumherum/Rund_um_den_Zylinder/Was_war_das_nochmal?|(Was war das nochmal?)]] eines Zylinders mit Radius <math>r_{z}=1cm</math> und Höhe <math>h_{z}=3cm</math>. Beschriftung nicht vergessen!
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| {{Lösung versteckt|1=Die Länge des Rechtecks ist gleich dem Umfang des Grundflächenkreises, also <u>nicht beliebig lang</u> zeichnen!
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| |2=Hinweis einblenden|3=Hinweis ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1=
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| [[Datei:Körpernetz_Zylinder_Beschriftung.jpg|center|300px]]
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| Maße: <math>r_{z}=1cm</math>, <math>h_{z}=3cm</math> und <math>U_{z}=2\pi \cdot 1cm\approx 6,28cm</math>.
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Oberflächeninhalt des Zylinders|2=
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| Stelle eine Formel für den '''Oberflächeninhalt''' <math>O_{z}</math> des Zylinders auf. Das Körpernetz des Zylinders hilft dir dabei!
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Der Oberflächeninhalt berechnet sich durch: <math>O_{z}=</math>'''2'''<math>\cdot </math>'''<math>G_{z}</math>'''+'''<math>M_{z}</math>'''. Die '''Grundfläche''' ist ein '''Kreis''', die '''Mantelfläche''' ein Rechteck. Die Formel für die '''Flächeninhalte''' der einzelnen Teile der Oberfläche kennst du bereits und kannst sie einsetzen.<br>
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| </div>
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| =='''Das Volumen des Zylinders'''==
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| {{Box|1=Volumen|2=
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| Überlege, wie man die Volumenformel des Zylinders von der Volumenformel eines bereits bekannten Körpers ableiten könnte. Stelle die Formel für das '''Zylindervolumen''' auf.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Bei einem Zylinder sind, ebenso wie bei einem '''Prisma''', Grund- und Deckfläche '''parallel''' und '''kongruent''' (deckungsgleich) zueinander. Das '''Volumen''' eines Prismas berechnet sich durch '''<math>V=G\cdot h</math>'''. Die '''Grundfläche''' eines Prismas kann auch ein '''beliebiges''' '''n-Eck''' sein.
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| </div>
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1=
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| "Lösung: Volumenformel des Zylinders"
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| [[Datei:Annäherung_Zylinder_durch_Prisma.jpg|110px|right]]
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| Ein Zylinder hat als Grundfläche einen Kreis, der durch n-Ecke beliebig genau angenähert werden kann. Daher kann man auch den Zylinder durch ein n-seitiges Prisma annähern (s. Abbildung). <br>
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| Somit gilt auch für das Zylindervolumen <math>V_{z}=G_{z}\cdot h_{z}</math>.<br>
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| Diese Formel kann nun noch präziser formuliert werden.
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| ==Zusammenfassung==
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| <u>'''Bemerkung zur Schreibweise:'''</u>
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| Bei Aufgaben, bei denen es nur um Berechnungen am Zylinder geht, benötigt man den Index "Zylinder" oder "Z" (s. Formeln unten) nicht. Allerdings ist ein solcher Index sehr hilfreich bei Aufgaben, bei denen z.B. ein Zylinder und ein Quader berechnet werden sollen. Um die einzelnen Größen (z.B. Höhe h) unterscheiden zu können, fügt man einfach einen entsprechenden Index hinzu (z.B. <math>h_{Q}</math> oder <math>h_{Quader}</math> und <math>h_{z}</math> oder <math>h_{Zylinder}</math>). So behält man den Überblick darüber, was nun berechnet oder eingesetzt werden soll.
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| {{Box|1=Merke|2=
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| <br>
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| Ein Zylinder mit dem Radius <math>r_{z}</math> , der Grundfläche <math>G_{z}</math> und der Höhe <math>h_{z}</math> hat das <u>'''Volumen''' <math>V_{z}</math> </u>:
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| <br>
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| <math>V_{z}=G_{z}\cdot h_{z}=\pi r_{z}^{2}\cdot h_{z}</math>
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| <br><br>
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| Der <u>'''Mantelflächeninhalt''' <math>M_{z}</math> </u> des Zylinders berechnet sich durch:
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| <br>
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| <math>M_{z}=U_{z}\cdot h_{z}=2\pi r_{z}\cdot h_{z}</math>
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| <br><br>
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| Für den <u>'''Oberflächeninhalt''' <math>O_{z}</math></u> des Zylinders gilt:
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| <br>
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| <math>O_{z}=2G_{z}+M_{z}</math><br><br>
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| <math>\Rightarrow O_{z}=2\pi r_{z}^{2}+2\pi r_{z}\cdot h_{z}=2\pi r_{z}\cdot (r_{z}+h_{z})</math>
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| |3=Merksatz}}
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| =='''Übungsaufgaben'''==
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 1|2=
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| Eine Litfaßsäule ist 2,5m hoch und hat eine Werbefläche von 7,5m². Wie groß ist ihr Grundflächeninhalt?
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Eine Litfaßsäule hat die Form eines Zylinders. Die Werbefläche der Säule entspricht der Mantelfläche des Zylinders. <br>
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| <u>geg.:</u> M=7,5m²; h=2,5m
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| <br>
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| <u>ges.:</u> G
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| <br>
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| <u>Lösung:</u> <math>M=2\pi r\cdot h</math>
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| <br>
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| <math>\Rightarrow r=\frac{M} {2\pi h} =\frac{7,5m^{2} } {2\pi \cdot 2,5m}=\frac{7,5} {5\pi } m=\frac{1,5} {\pi } m \approx 0,48m</math>
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| <br>
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| <math>G=\pi r^{2} =\pi \frac{(1,5m)^{2} } {\pi ^{2} }= \frac{2,25} {\pi } m^{2} \approx 0,72m ^{2}</math>
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| <br>
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| Achtung! Nicht mit dem gerundeten Wert für den Radius weiterrechnen, sondern den genauen Wert verwenden!
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| <br>
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| <u>Antwort:</u> Der Grundflächeninhalt der Litfaßsäule ist ca. 0,72m².
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| }}
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| |3=Üben}}
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 2|2=
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| Bei einem Zylinder mit Radius r, Höhe h, Grundfläche G, Volumen V, Mantelflächeninhalt M und Oberflächeninhalt O sind zwei der sechs Größen gegeben. Berechne die fehlenden vier Größen und runde auf zwei Nachkommastellen.<br>
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| '''Wichtiger Hinweis:''' Rechne mit den <u>genauen</u> Werten weiter. Verwende dazu zunächst <u>nur</u> die Formelschreibweise, stelle die Formelgleichung entsprechend um und vereinfache (wenn möglich). Setze erst danach die entsprechenden Zahlen ein und berechne. <br>
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| ''(Das Umformen von Gleichungen mit Variablen soll dadurch trainiert werden. Bei manchen Aufgaben werden beispielsweise gar keine Längen oder Größen wie Volumen und Radius angegegeben und du musst die entsprechende Formel anhand der Variablen aufstellen und zusammenfassen.)''
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| :{{{!}} class="wikitable"
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| ! !!'''r''' !!'''h''' !!'''G''' !!'''V''' !!'''M''' !!'''O'''
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| {{!}}-
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| {{!}} a) {{!}}{{!}} 5,2 cm {{!}}{{!}} <span style="color:white"> ? ? ? ? </span> {{!}}{{!}} <span style="color:white"> ? ? ? ? </span> {{!}}{{!}} 0,098 dm³ {{!}}{{!}} {{!}}{{!}} <span style="color:white"> ? ? ? ? </span>
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| {{!}}-
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| {{!}} b) {{!}}{{!}} {{!}}{{!}} {{!}}{{!}} {{!}}{{!}} 64 dm³ {{!}}{{!}} 0,72 m² {{!}}{{!}}
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| {{!}}}
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| Einheiten: '''a)''' in cm (bzw. cm², cm³); ''' b)''' in dm (bzw. dm², dm³)
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| {{pdf|Lösung_Berechnungen_rund_um_Zylinder.pdf|Lösungen zu Aufgabe 7}}
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| |3=Üben}}
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| {{Box|1=Aufgabe 3|2=
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| <u>'''Hausaufgabe für die nächste Stunde'''</u>
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| Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf Seite 20 folgende Aufgaben:
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| * Nr.5: Gib das Ergebnis in Zentimeter an! <br>
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| * Nr.6: Die Volumen- und Oberflächenberechnung einer der abgebildeten Körper haben wir bereits im Unterricht besprochen. Berechne nun '''zwei''' der restlichen Körper. <br>
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| Setze auch hier wieder die Zahlen erst ganz am Ende ein, <u>nachdem</u> du die Formel entsprechend umgeformt und weitgehend vereinfacht hast (s. vorherige Aufgabe)!
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| ''(Du findest unten für alle Körper aus Nr.6 die Lösungen! Du kannst die restlichen Aufgaben somit als Übung für die Klassenarbeit oder die anstehende HÜ nutzen!)''
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| Lösung zu S.20 Nr.5: {{Lösung versteckt|1=
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| <u>geg.:</u>
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| <br><math>h_{z}=15m</math> (benötigt man hier gar nicht!)
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| <br> <math>d_{z}=1,8m</math> <math>\Rightarrow r_{z}=0,9m=9dm</math>
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| <br><math>V_{Wasser}=1000l=1000dm^{3}</math>
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| <br><br>
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| <u>ges.:</u> <math>h_{Wasser}</math>
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| <br><br>
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| <u>Lösung:</u> <br>
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| <math>V_{Wasser}=\pi r_{z}^{2}\cdot h_{Wasser}</math> <br>
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| <math>\Rightarrow \frac {V_{Wasser} } {\pi r_{z}^{2} } =h_{Wasser}</math> <br>
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| <math>\Rightarrow h_{Wasser}=\frac {1000dm^{3} } {\pi \cdot 81dm^{2} } \approx 3,93dm = 39,3cm</math>
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| <br>
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| <u>Antwort:</u> Das Wasser steht ca. 39,3cm hoch.
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| {{pdf|Lösungen_S.20Nr.6.pdf|Lösungen zu S.20 Nr.6}}
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| |3=Üben}}
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| =='''Abschlusstest: Multiple-Choice-Quiz'''==
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| 1. Der Durchmesser eines Kreises ist…
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| (!der Radius) (der doppelte Radius) (!die Verbindung zweier Kreispunkte) (! der halbe Radius)
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| 2. Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus…
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| (!zwei beliebigen Kreisen) (!Dreieck) (Rechteck) (!Raute) (zwei kongruenten Kreisen)
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| 3. Was stellt der Kreis bei einem Zylinder dar?
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| (Deckfläche) (!Mantelfläche) (!Oberfläche) (Grundfläche) (!Grundflächeninhalt)
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| 4. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet:
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| (<math>V=\pi r^{2} \cdot h</math>) (!<math>V=2\pi r\cdot h</math>) (<math>V=\frac{1}{4}\pi d^{2} \cdot h</math>) (<math>V=G\cdot h</math>)
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| </div>
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| {{Fortsetzung|weiter=Der Satz von Cavalieri|weiterlink=../Der_Satz_von_Cavalieri}}
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| [[Kategorie:Mathematik]]
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| [[Kategorie:Interaktive Übung]]
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| [[Kategorie:R-Quiz]]
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