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Aufstellen und Interpretieren von Termen

Aufstellen von Termen

Aufgabenstellung:

Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir einen Term, mit dem du den Flächeninhalt ausrechnen kannst.		Datei:Einstiegsaufg termaufstellen2.jpg

<popup name="Lösung">

A(a;b)= 8•a•b+6•a•a = 8ab+6a2

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Setze nun für a=1cm und b=4cm ein

<popup name="Lösung"> A(1;4)= 8•1cm•4cm+6•(1cm)² = 32cm²+6•1cm² = 32cm²+6cm² = 38 cm² </popup>

Erklärung:
Um Sachverhalte oder Probleme möglichst kurz zu beschreiben erstellt man einen Term. Dabei solltest du so vorgehen:

Rezept

Untersuche den Sachverhalt bzw. das Problem und suche nach einer Gesetzmäßigkeit Führe eine (oder mehrere) Variable(n) ein Stelle den Term auf und überlege dir die zugehörige Definitionsmenge

Beispiel:

Gehe nach dem "Rezept" vor und stelle einen Term auf, um den Flächeninhalt der Figur zu errechnen.		Datei:Bsptermaufstellen.jpg

<popup name="Lösung">

1. Untersuchung des Sachverhalts und Suche nach Gesetzmäßigkeit: Es ist eine Figur gegeben, deren Flächeninhalt unbekannt ist. Die Seitenlängen der Figur sind festgelegt. Betrachtet man die Figur, stellt man fest, dass sie aus mehreren kleinen Rechtecken besteht. Der Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks ist A_R = 2•1. Die Figur besteht aus sechs solchen Rechtecken, also ist der Gesamtflächeninhalt A_F= 6•2•1
2. Variablen einführen: Wähle für 2=i und für 1=j
3. Term aufstellen und Definitionsmenge überlegen: Der Term lautet: 6•i•j

Für die Definitionsmenge gilt: Es ist jede Zahl aus $Q$ einsetzbar ohne Verstoß gegen die Rechenregeln, bei der Berechnung eines Flächeninhalts ist es jedoch sinnvoll, nur positive Zahlen einzusetzen. Also $D$=$Q$⁺

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Interpretieren von Termen

Aufgabenstellung:
Herr Flimmer ist Besitzer eines Kinos. Er verkauft pro Woche 500 Karten, eine Karte kostet bei ihm 8€. Sein Freund hat für ihn eine Umfrage gemacht, ob eine Senkung des Eintrittspreises seine Einnahmen erhöhen könnte. Sein Ergebnis:

Aus den Umfragebögen hat er diese Formel zur Berechnung der Einnahmen erstellt: E(x) = 8 - x ( 500 + 200 x ) Überlege, welche Bedeutung das x hat und bei welchem Preis er die meisten Einnahmen hat. Wie viele Karten verkauft er dann? <popup name="Lösung"> x steht hier für die Veränderung des Preises [8-x] Die Formel bedeutet, dass um jeden Euro, den Herr Flimmer die Kinokarte senkt, ihn 200 Gäste mehr besuchen werden. Die größten Einnahmen kann man aus dem Diagramm ablesen: Bei einem Preis von 7 € (Veränderung des Preises um 1 Einheit). Die Einnahmen sind hier 4900€. Wenn er die Karten für 7€ verkauft, ändert er seinen ursprünglichen Preis um 1, das heißt er verkauft zu den 500 Karten zusätzlich noch 200, also insgesamt 700 Karten </popup>

Erklärung:

Wenn du einen Term interpretieren oder Aussagen über ihn machen sollst, musst du erst überlegen, welche Bedeutung die Variablen haben. Zum Beispiel beschreibt a•b den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn a und b die Seitenlängen sind.

Beispiel:
Beim Internetprovider "Netzfetz" hat man pro Monat 10 Surfstunden frei. Danach kostet jede angefangene Stunde 2€. Ein anderer Provider, "2&3", bietet 20 freie Surfstunden und verlangt danach für jede angefangene Stunde 4€.

• Stelle für beide Provider einen Term T(x) auf, der die Kosten der Internetnutzung in Abhängigkeit der gesurften Zeit x angibt.

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Für Netzfetz: T₁ (x) = (x-10)•2

Für 2&3 : T₂ (x) = (x-20)•4

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• Erstelle eine Tabelle, die die Kosten der beiden Anbieter gegenüberstellt (für 20std, 25std, 30std, 35std und 40std). Tom und Julia kennen beide Angebote. Tom surft ungefähr 35 Stunden im Monat, Julia nur 25. Welchen Anbieter würdest du Tom empfehlen und welchen sollte Julia wählen?

<popup name="Lösung">

Kosten/Surfzeit	20	25	30	35	40
T1 (x) = (x-10)2	20 €	30 €	40 €	50 €	60 €
T2 (x) = (x-20)4	0 €	20 €	40 €	60 €	80 €

Tom surft 35 Stunden: In der Tabelle siehst du die 2 Preise für 35 Stunden Surfzeit. Die Kosten des ersten Terms sind geringer als die des zweiten. Tom sollte, wenn er den günstigeren Anbieter sucht, den Provider Netzfetz wählen. Julia surft 25 Stunden: Die Kosten des Terms T₂ sind kleiner als die des ersten Terms. Also sollte Julia das Angebot von 2&3 wählen. </popup>

• Erstelle mit Hilfe der Tabelle ein Liniendiagramm in deinem Heft.
  

<popup name="Lösung">

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Übungsaufgaben

Aufgabe 1:

Übersetze die Rechenvorschrift in einen Term:

a) Addiere 2 zum Quadrat von x

b) Addiere 6 zum vierfachen der Zahl n

c) Multipliziere die Summe aus b und der Zahl 7 mit 4

d) Multipliziere x mit seiner Gegenzahl

e) Multipliziere den Vorgänger der natürlichen Zahl n mit seinem Nachfolger

<popup name="Lösung"> a) T(x)= x²+2

b) T(n)= 4n+6

c) T(b)= (b+7)4

d) T(x)= x(-x)

e) T(n)= (n-1)(n+1)

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Aufgabe 2:
Gib den Term zu folgendem Gliederungsbaum an und berechne seinen Wert für x=4!

<popup name="Lösung"> Der Gliederungsbaum ergibt, wenn man seinen Abzweigungen von oben nach unten richtig folgt, folgenden Term: T(x)= (x+1):(7-$\frac{x}{2}$)

T(4)= (4+1):(7-$\frac{4}{2}$) = 5:(7-2) = 5:5 = 1

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Aufgabe 3:

Laura hat zu schnell von der Tafel abgeschrieben. Dabei hat sie die Werte der Variablen vergessen, nur die Ergebnisse hat sie noch. Hilf ihr die passenden Werte für die Variablen zu finden, wenn der Term T(n)=n²+2 lautete. Warum gibt es jeweils zwei Möglichkeiten?

a) T(?)= 18

b) T(?)= 38

c) T(?)= 3

d) T(?)= 6

<popup name="Lösung"> Es gibt zwei Möglichkeiten, da ein Glied des Term n² lautet. Eine quadrierte Zahl ist immer positiv. (Bsp.: 3²=9=(-3)² )

a) T(4)= T(-4)= 4²+2= 16+2= 18

b) T(6)= T(-6)= 6²+2= 36+2= 38

c) T(1)= T(-1)= 1²+2= 1+2= 3

d) T(2)= T(-2)= 2²+2= 4+2= 6

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Aufgabe 4:

Gib einen Term an, der den Flächeninhalt der abgebildeten Figur berechnet. Berechne anschließend den Flächeninhalt der Figur, indem du für die Variablen die angegebenen Zahlen einsetzt. A(8cm;2cm) A(10cm;5cm) A(12cm;9cm) A(15cm;13cm) Hinweis: Die Figur ist Achsensymmetrisch		Datei:Drachenviereckaufg4.jpg

<popup name="Lösung"> Das Drachenviereck besteht aus 2 großen (wegen der Achsensymmetrie: gleichgroßen) Dreiecken. Deshalb rechnet man den Flächeninhalt eines Teildreiecks aus und verdoppelt ihn dann. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist allgemein: A_D $\frac{1}{2}$ a•h_a
Nun sind die Daten aus der Zeichnung abzulesen. Die Seite a setzt sich in diesem Fall aus m und n zusammen, die Höhe h_a ist hier g₂ = 2
Der Flächeninhalt für ein Teildreieck ist also: A_D = $\frac{1}{2}$ (m+n)•2 = (m+n)•2•$\frac{1}{2}$ = (m+n)•1 = (m+n)
Um den Flächeninhalt des Drachenvierecks A_DV zu erhalten, muss man den Flächeninhalt des Teildreiecks verdoppeln: A_DV = 2•A_D = 2•(m+n)= 2(m+n)

Hinweis: Es gibt eine weitere Lösung, wenn man das Drachenviereck in 2 andere Dreiecke aufteilt.

Der Flächeninhalt kann auch so bestimmt werden: A_DV= (4•$\frac{n}{2}$ )+(4•$\frac{m}{2}$ )

Das Ergbenis ist gleich.

• A(8cm;2cm)= 2cm(8cm+2cm)=2cm•10cm= 20cm²
• A(10cm;5cm)= 2cm(10cm+5cm)= 2cm•15cm= 30cm²
• A(12cm;9cm)= 2cm(12cm+9cm)= 2cm•21cm= 42cm²
• A(15cm;13cm)= 2cm(15cm+13cm)= 2cm•28cm= 56cm²

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