Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.<br /> | |||
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1</math>. | |||
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
=== Graphen kennenlernen === | |||
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Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. | |||
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | |||
#* Definitionsbereich | |||
#* Symmetrie | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br> | |||
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>. | |||
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=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | === Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | ||
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== Potenzen und Wurzeln == | == Potenzen und Wurzeln == | ||
Eine Funktion <math>f</math> mit der Gleichung <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}, n\geq2 | Eine Funktion <math>f</math> mit der Gleichung <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}, n\geq2, x \in</math>IR<sup>+</sup> heißt ''n-te Wurzelfunktion''. | ||
Wegen: <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> gilt: Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac{1}{n}}</math> sind n-te Wurzelfunktionen <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math>. | |||
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt: | Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt: | ||
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Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu: | Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu: | ||
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math> | :<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math> | ||
Die mathematisch richtige Lösung <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden. | Die mathematisch richtige Lösung <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden. | ||
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Auch die Länge der Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu: | Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu: | ||
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} \pm 3^{\frac 1 2}.</math> | :<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} \pm 3^{\frac 1 2}.</math> | ||
Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben. | Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben. | ||
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:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math> | :<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math> | ||
== | == Einfluss von Parametern == | ||
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Im nebenstehenden Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br /> | |||
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen? | |||
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen? | |||
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:{{Lösung versteckt| | |||
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br> | |||
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>. | |||
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}}<br> | |||
|| <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="8_ax1nc_w.ggb" /> | filename="8_ax1nc_w.ggb" /> | ||
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<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--> | <!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--> | ||
== Definitionsbereich der Wurzelfunktionen == | == *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen == | ||
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup> ==== | ==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup> ==== | ||
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Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also: | Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also: | ||
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R} | :<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math> | ||
==== Wurzelfunktion auf ganz IR ==== | ==== Wurzelfunktion auf ganz IR ==== | ||
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:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. | :<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. | ||
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR. | Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR. | ||
Version vom 11. Februar 2009, 13:11 Uhr
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Graphen kennenlernen
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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
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neue Datei datei
Potenzen und Wurzeln
Eine Funktion mit der Gleichung mit IR+ heißt n-te Wurzelfunktion.
Wegen: gilt: Potenzfunktionen mit sind n-te Wurzelfunktionen .
Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:
Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. .
Beispiel: Quadratwurzeln
Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge über den Satz des Pythagoras () zu:
Die mathematisch richtige Lösung ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden.
Auch die Länge der Raumdiagonale im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: ) zu:
Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung angeben.
Beispiel: Kubikwurzel
Das Volumen eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge ergibt sich über:
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen durch ziehen der 3.-Wurzel:
Einfluss von Parametern
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Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
Einschränkung auf IR+
Offenbar ergibt die Wurzelfunktion zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
- mit und
Wurzelfunktion auf ganz IR
Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass
- .
Dann gilt: IDg = IR.