Potenzfunktionen - 3. Stufe und Trigonometrische Funktionen/Didaktischer Kommentar: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Silvia Joachim
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
*[[Trigonometrische Funktionen 2|Zurück zur Einführung]]
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div>


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=Didaktischer Kommentar: Trigonometrische Funktionen=
==Allgemeines==
===Kurzinformation===
Schulstufe:  10. Jahrgangsstufe in Bayern, 6. Schulstufe in Österreich<br>
Dauer: 4 - 6 Stunden <br>
Lernziel: Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
===Technische Voraussetzungen===


'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.'''
Die GeoGebra-Applets benötigen Java. Dies kann kostenlos von [http://www.java.com/de/ www.java.com] heruntergeladen werden.  


== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
Kenntnisse und Handhabung von GeoGebra erleichtern die Arbeit am Lernpfad. GeoGebra kann kostenlos von http://www.geogebra.org/cms/ www.geogebra.at] herungergeladen werden.


=== Funktionsgraph kennenlernen ===
==Aufbau des Lernpfads==


{| cellspacing="10"
Der Lernpfad besteht aus zwei Stationen und einer Physik-Ecke.
|- style="vertical-align:top;"
* Station 1: Einfluss der Parameter (2-3 Std.)
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
* Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr (1-2 Std.)
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5,6\}</math>.<br />
* Physik-Ecke: Anwendungen in der Physik (1-2 Std.)
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von <math>n</math> in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt <math>0^r = 0</math> und <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001b.ggb" />
|}


=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===
Die GeoGebra-Applets bieten vielfältige Möglichkeiten, mathematische  Zusammenhänge experimentell zu erkunden. So können die SchülerInnen in der ersten Station selbstständig den Einfluss der Variation der Parameter einer allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion auf das Aussehen ihrer Graphen erforschen und erleben. Wie man umgekehrt aus den Graphen die zugehörigen Parameter bestimmt, erfahren die SchülerInnen in der Station zwei. Um das unterschiedliche Lerntempo auszugleichen, bietet am Ende der zweiten Station eine Zusatzaufgabe den schnelleren SchülerInnen die Möglichkeit, die evtl. übrige Zeit sinnvoll zu nutzen. Normalerweise werden die SchülerInnen die Stationen in der vorgegebenen Reihenfolge vollständig bearbeiten. Aber es ist natürlich auch möglich, nur eine der Stationen in den Unterricht einzubauen. In der Physik-Ecke können die SchülerInnen - anhand von Anwendungsbeispielen aus der Physik - die in Station 1 und 2 erworbenen mathematischen Kenntnisse festigen und lernen dabei auch unterschiedliche Variablenbezeichnungen zu identifizieren.


{| cellspacing="10"
==Kompetenzen==
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=  
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001.ggb" />
|}
<!--
neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}-->


== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==
Die SchülerInnen können für diesen Funktionstyp verschiedene Darstellungen angeben. Sie erkennen den Zusammenhang Graph und Formel als verschiedene Darstellungsformen und können zwischen diesen Darstellungen wechseln. 


Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>
Für durch Gleichungen gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen können mit Kenntnis der Parameter Graphen gezeichnet und aus Graphen können die Parameter ermittelt werden. <br>
{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist  (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) <math>{\Bbb D} = {\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).
Die Bedeutung der Parameter für den Funktionsterm und den Graphen können im Kontext gedeutet und richtig interpretiert werden.  


Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen können Werte(paare)ermitteln und im Kontext gedeutet werden.
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>


Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
==Genderaspekte==
}}


Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:
Mit Blick auf die Genderproblematik wurde bei den Stationen 1 und 2 darauf geachtet, dass sie Mädchen und Jungen gleichermaßen ansprechen. Die fächerübergreifende Physik-Ecke dürfte hingegen aber mehr auf die Interessen von Jungen ausgerichtet sein.


==Aufgaben und Lösungen==


=== Beispiel: Quadratwurzeln ===
Zu fast allen Aufgaben sind Lösungen angegeben. Die SchülerInnen haben so die Möglichkeit, ihre Antworten selbst zu kontrollieren. Die Lösungen stehen allerdings nicht unmittelbar nach der jeweiligen Aufgabe, sondern am Ende der zu bearbeitenden Seite. So soll verhindert werden, dass sich die SchülerInnen gleich nach dem Lesen der Aufgabe die Lösung anschauen.


{| border="0" width="100%" cellspacing="0"
==Avatar==
! height="0" |
|
|- valign="top"
|
Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonale <math>B</math> in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
! width="300" | [[Bild:diagonale.png|right|165px]]
|- valign="top"
| Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>C</math> im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = D^2</math>) zu:
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.
| [[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
|}
=== Beispiel: Kubikwurzel ===


Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br />
Um SchülerInnen entgegenzukommen, denen es schwer fällt, die Bedeutung schriftlicher Texte zu verstehen, weil etwa ihre Lesekompetenz nur schwach ausgeprägt ist oder sie an Legastenie oder einer Sehbehinderung leiden, wurden in den Lernpfad Videos eingefügt, mit denen sie sich den Text von einem Avatar „vorlesen“ lassen können. Zu diesem Zweck sollte ihnen allerdings ein Kopfhörer zur Verfügung stehen.
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>


Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:
==Methodische Anleitung für den Unterricht==
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>


== Einfluss von Parametern ==
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diesen Lernpfad in den Lernprozess der SchülerInnen zu integrieren. Er kann zum selbstständigen Erarbeiten des Stoffes in Expertenteams beziehungsweise in Gruppen-, Partner- oder Einzelarbeit eingesetzt werden. Darüber hinaus  kann er auch gut zur Wiederholung des Stoffes im Unterricht oder zu Hause verwendet werden.


<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
===Arbeiten in Expertenteams===
filename="8_ax1nc_w.ggb" />


{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Die Station eins wurde so konzipiert, dass sie das Arbeiten in Expertenteams unterstützt. Für die Station zwei und für die Physik-Ecke empfiehlt sich Gruppenarbeit.  
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br />
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.
}}<br>
}}


<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}-->
Beim Arbeiten in Expertenteams handelt es sich um eine spezielle Form von Gruppenarbeit, wobei sich jede Gruppe zunächst mit einem anderen Aspekt eines bestimmten Themas beschäftigt. Zur Einteilung der Gruppen können die vorgeschlagenen Karten verwendet werden. Sie sollten am besten auf farbiges Papier gedruckt, laminiert und zugeschnitten werden. Alle SchülerInnen erhalten eine Karte. Zunächst werden die SchülerInnen mit demselben Buchstaben auf der Karte zusammen arbeiten. Damit sich nicht gleich zu Beginn der Stunde alle SchülerInnen umsetzen müssen, ist es sinnvoll SchülerInnen, die neben einander sitzen, Karten mit demselben Buchstaben zu geben. Hinweise für die SchülerInnen für das Arbeiten in Expertenteams sind im Lernpfad integriert. Nun untersucht jede Gruppe den Einfluss eines anderen Parameters auf das Aussehen des Graphen. Jeder Schüler dieser Gruppe ist dann Experte für den Einfluss eines Parameters. Es wird ein erster Hefteintrag notiert. Dazu sollten die SchülerInnen ihr Heft im Querformat verwenden, eine Überschrift notieren und vier Spalten für den Einfluss je eines Parameters anlegen. Nach der Arbeitsphase in diesen Gruppen werden die SchülerInnen mit Hilfe der Zahlen auf den Karten in neue Gruppen eingeteilt. Die neuen Gruppen bestehen aus vier SchülerInnen, genauer je einem Experten für einen der vier Parameter. Die SchülerInnen sollen nun auch die Auswirkungen der anderen Parameter erforschen, sich über deren Einfluss austauschen und die Spalten des Hefteintrages vervollständigen. Danach werden gemeinsam Aufgaben bearbeitet. Diese sind so konzipiert, dass zu ihrer Lösung meist das Expertenwissen der einzelnen SchülerInnen benötigt wird.


== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
===Partner- und/oder Gruppenarbeit===
<small>(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)</small>
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====


Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>
In Station 1 arbeiten Expertenteams (bereits integriert) oder "Pferdestall" bei der Bearbeitung der Tabelle „Einfluss von a, b, c und d. <br>
Dabei bedeutet "Pferdestall":<br>
1. Die Schüler werden in zwei Gruppen eingeteilt, z. B. linke Hälfte und rechte Hälfte. Alle Schüler der linken Hälfte untersuchen den Einfluss von a, alle Schüler der rechten Hälfte den Einfluss von b.<br>
2. Alle Schüler sollen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen. <br>
3. Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines "Pferdes" der anderen Hälfte. So erhält jeder Schüler einen neuen Nachbarn, der Kenntnisse über den Einfluss eines anderen Parameters besitzt.<br>
4. Je zwei Schüler (Nachbarn) erklären sich nacheinander das neue Wissen.
5. Die Schüler werden wieder in zwei Gruppen eingeteilt, z. B. linke Hälfte und rechte Hälfte. Alle Schüler der linken Hälfte untersuchen nun den Einfluss von c, alle Schüler der rechten Hälfte den Einfluss von d.<br>
6. "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn erklären sich nacheinander das neue Wissen.


Wegen
Station 2 wird dann in Partnerarbeit oder Gruppenarbeit gemacht.<br>
:<math>(-2)^3 = -8</math>  
Am besten teilt man die Schüler in Gruppen von 3 bis 4 Personen ein. Ein Gruppenmitglied ist der Leiter und liest die Aufgaben vor, ein anderes Gruppenmitglied ist der Zeitwächter. Der Zeitrahmen für jede Aufgabe beträgt 10 Minuten, anschließend stehen jeweils fünf Minuten zur Verfügung, in denen u. a. folgende Fragen diskutiert werden können: <br>
• Welches Ziel hat die Aufgabe? <br>
• Was wird geübt?<br>
Anschließend werden die Aufgaben bearbeitet


erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:
===Mathe-Millionär===


:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>
Am Ende einer Station oder am Ende des Lernpfades wird "Pferdestall" und/ oder "Mathe-Millionär" als Spiel angeboten.


'''"Pferdestall"''':<br>
1. Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Inhalt und schreibt diese oben auf einen Zettel.<br>
2. Alle Schüler sollen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen. <br>
3. Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines anderen "Pferdes". So erhält jeder Schüler einen anderen Nachbarn.<br>
4. Je zwei Schüler (Nachbarn) stellen sich gegenseitig die Fragen, falten die Zettel in der Mitte und notieren gemeinsam die Antwort auf der Rückseite. Die Zettel werden getauscht.<br>
5. "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn stellen sich gegenseitig die notierten Fragen. Die Antwort steht zur Kontrolle bereits auf der Rückseite.“


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
'''"Mathe-Millionär"'''<br>
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>
1. Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Thema und notiert diese zusammen mit vier Antwortmöglichkeiten (A, B, C, D) auf einem Zettel. Dabei kreuzt er die richtige Antwort an und ergänzt ob er die Frage als leicht, mittel oder schwer einschätzt.<br>
2. ''Hinweis für S'': Taktisch ist es sinnvoll, sich eine möglichst schwierige Frage zu überlegen, da man selbst – wenn die Frage vom Lehrer gestellt wird – die Antwort weiß, die anderen S aber mit höherer Wahrscheinlichkeit nicht.<br>
3. Die Zettel werden eingesammelt und vom Lehrer grob der Schwierigkeit nach sortiert. Dabei können ein paar leichte Fragen für einen eventuellen zweiten Durchgang aufgehoben werden.<br>
4. Die Schüler zerteilen ein Blatt in vier kleine Blätter, auf denen sie je einen Buchstaben A, B, C und D schreiben. Alle Schüler stehen auf.
5. Der Lehrer liest eine Frage vor. Beim Satz „Bitte entscheidet Euch jetzt!“ heben alle Schüler gleichzeitig den gewählten Buchstaben nach oben. Der Lehrer sagt die richtige Antwort und die Schüler mit einer falschen setzen sich. Jetzt kann eine Erklärung folgen oder die nächste Frage.
6. Gewonnen haben die letzten ein bis drei noch stehenden Schüler.


==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====


Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
[[Trigonometrische_Funktionen/Einteilung der Expertenteams|Expertenteamkarten zum Ausdrucken]]
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.


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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.'''<br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Potenzfunktionen_4._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''


|}
*[[Trigonometrische Funktionen 2|Zurück zur Einführung]]

Version vom 6. Januar 2011, 13:42 Uhr

Didaktischer Kommentar: Trigonometrische Funktionen

Allgemeines

Kurzinformation

Schulstufe: 10. Jahrgangsstufe in Bayern, 6. Schulstufe in Österreich
Dauer: 4 - 6 Stunden
Lernziel: Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.

Technische Voraussetzungen

Die GeoGebra-Applets benötigen Java. Dies kann kostenlos von www.java.com heruntergeladen werden.

Kenntnisse und Handhabung von GeoGebra erleichtern die Arbeit am Lernpfad. GeoGebra kann kostenlos von http://www.geogebra.org/cms/ www.geogebra.at] herungergeladen werden.

Aufbau des Lernpfads

Der Lernpfad besteht aus zwei Stationen und einer Physik-Ecke.

  • Station 1: Einfluss der Parameter (2-3 Std.)
  • Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr (1-2 Std.)
  • Physik-Ecke: Anwendungen in der Physik (1-2 Std.)

Die GeoGebra-Applets bieten vielfältige Möglichkeiten, mathematische Zusammenhänge experimentell zu erkunden. So können die SchülerInnen in der ersten Station selbstständig den Einfluss der Variation der Parameter einer allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion auf das Aussehen ihrer Graphen erforschen und erleben. Wie man umgekehrt aus den Graphen die zugehörigen Parameter bestimmt, erfahren die SchülerInnen in der Station zwei. Um das unterschiedliche Lerntempo auszugleichen, bietet am Ende der zweiten Station eine Zusatzaufgabe den schnelleren SchülerInnen die Möglichkeit, die evtl. übrige Zeit sinnvoll zu nutzen. Normalerweise werden die SchülerInnen die Stationen in der vorgegebenen Reihenfolge vollständig bearbeiten. Aber es ist natürlich auch möglich, nur eine der Stationen in den Unterricht einzubauen. In der Physik-Ecke können die SchülerInnen - anhand von Anwendungsbeispielen aus der Physik - die in Station 1 und 2 erworbenen mathematischen Kenntnisse festigen und lernen dabei auch unterschiedliche Variablenbezeichnungen zu identifizieren.

Kompetenzen

Die SchülerInnen können für diesen Funktionstyp verschiedene Darstellungen angeben. Sie erkennen den Zusammenhang Graph und Formel als verschiedene Darstellungsformen und können zwischen diesen Darstellungen wechseln.

Für durch Gleichungen gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen können mit Kenntnis der Parameter Graphen gezeichnet und aus Graphen können die Parameter ermittelt werden.
Die Bedeutung der Parameter für den Funktionsterm und den Graphen können im Kontext gedeutet und richtig interpretiert werden.

Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen können Werte(paare)ermitteln und im Kontext gedeutet werden.

Genderaspekte

Mit Blick auf die Genderproblematik wurde bei den Stationen 1 und 2 darauf geachtet, dass sie Mädchen und Jungen gleichermaßen ansprechen. Die fächerübergreifende Physik-Ecke dürfte hingegen aber mehr auf die Interessen von Jungen ausgerichtet sein.

Aufgaben und Lösungen

Zu fast allen Aufgaben sind Lösungen angegeben. Die SchülerInnen haben so die Möglichkeit, ihre Antworten selbst zu kontrollieren. Die Lösungen stehen allerdings nicht unmittelbar nach der jeweiligen Aufgabe, sondern am Ende der zu bearbeitenden Seite. So soll verhindert werden, dass sich die SchülerInnen gleich nach dem Lesen der Aufgabe die Lösung anschauen.

Avatar

Um SchülerInnen entgegenzukommen, denen es schwer fällt, die Bedeutung schriftlicher Texte zu verstehen, weil etwa ihre Lesekompetenz nur schwach ausgeprägt ist oder sie an Legastenie oder einer Sehbehinderung leiden, wurden in den Lernpfad Videos eingefügt, mit denen sie sich den Text von einem Avatar „vorlesen“ lassen können. Zu diesem Zweck sollte ihnen allerdings ein Kopfhörer zur Verfügung stehen.

Methodische Anleitung für den Unterricht

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diesen Lernpfad in den Lernprozess der SchülerInnen zu integrieren. Er kann zum selbstständigen Erarbeiten des Stoffes in Expertenteams beziehungsweise in Gruppen-, Partner- oder Einzelarbeit eingesetzt werden. Darüber hinaus kann er auch gut zur Wiederholung des Stoffes im Unterricht oder zu Hause verwendet werden.

Arbeiten in Expertenteams

Die Station eins wurde so konzipiert, dass sie das Arbeiten in Expertenteams unterstützt. Für die Station zwei und für die Physik-Ecke empfiehlt sich Gruppenarbeit.

Beim Arbeiten in Expertenteams handelt es sich um eine spezielle Form von Gruppenarbeit, wobei sich jede Gruppe zunächst mit einem anderen Aspekt eines bestimmten Themas beschäftigt. Zur Einteilung der Gruppen können die vorgeschlagenen Karten verwendet werden. Sie sollten am besten auf farbiges Papier gedruckt, laminiert und zugeschnitten werden. Alle SchülerInnen erhalten eine Karte. Zunächst werden die SchülerInnen mit demselben Buchstaben auf der Karte zusammen arbeiten. Damit sich nicht gleich zu Beginn der Stunde alle SchülerInnen umsetzen müssen, ist es sinnvoll SchülerInnen, die neben einander sitzen, Karten mit demselben Buchstaben zu geben. Hinweise für die SchülerInnen für das Arbeiten in Expertenteams sind im Lernpfad integriert. Nun untersucht jede Gruppe den Einfluss eines anderen Parameters auf das Aussehen des Graphen. Jeder Schüler dieser Gruppe ist dann Experte für den Einfluss eines Parameters. Es wird ein erster Hefteintrag notiert. Dazu sollten die SchülerInnen ihr Heft im Querformat verwenden, eine Überschrift notieren und vier Spalten für den Einfluss je eines Parameters anlegen. Nach der Arbeitsphase in diesen Gruppen werden die SchülerInnen mit Hilfe der Zahlen auf den Karten in neue Gruppen eingeteilt. Die neuen Gruppen bestehen aus vier SchülerInnen, genauer je einem Experten für einen der vier Parameter. Die SchülerInnen sollen nun auch die Auswirkungen der anderen Parameter erforschen, sich über deren Einfluss austauschen und die Spalten des Hefteintrages vervollständigen. Danach werden gemeinsam Aufgaben bearbeitet. Diese sind so konzipiert, dass zu ihrer Lösung meist das Expertenwissen der einzelnen SchülerInnen benötigt wird.

Partner- und/oder Gruppenarbeit

In Station 1 arbeiten Expertenteams (bereits integriert) oder "Pferdestall" bei der Bearbeitung der Tabelle „Einfluss von a, b, c und d.
Dabei bedeutet "Pferdestall":
1. Die Schüler werden in zwei Gruppen eingeteilt, z. B. linke Hälfte und rechte Hälfte. Alle Schüler der linken Hälfte untersuchen den Einfluss von a, alle Schüler der rechten Hälfte den Einfluss von b.
2. Alle Schüler sollen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen.
3. Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines "Pferdes" der anderen Hälfte. So erhält jeder Schüler einen neuen Nachbarn, der Kenntnisse über den Einfluss eines anderen Parameters besitzt.
4. Je zwei Schüler (Nachbarn) erklären sich nacheinander das neue Wissen. 5. Die Schüler werden wieder in zwei Gruppen eingeteilt, z. B. linke Hälfte und rechte Hälfte. Alle Schüler der linken Hälfte untersuchen nun den Einfluss von c, alle Schüler der rechten Hälfte den Einfluss von d.
6. "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn erklären sich nacheinander das neue Wissen.

Station 2 wird dann in Partnerarbeit oder Gruppenarbeit gemacht.
Am besten teilt man die Schüler in Gruppen von 3 bis 4 Personen ein. Ein Gruppenmitglied ist der Leiter und liest die Aufgaben vor, ein anderes Gruppenmitglied ist der Zeitwächter. Der Zeitrahmen für jede Aufgabe beträgt 10 Minuten, anschließend stehen jeweils fünf Minuten zur Verfügung, in denen u. a. folgende Fragen diskutiert werden können:
• Welches Ziel hat die Aufgabe?
• Was wird geübt?
Anschließend werden die Aufgaben bearbeitet

Mathe-Millionär

Am Ende einer Station oder am Ende des Lernpfades wird "Pferdestall" und/ oder "Mathe-Millionär" als Spiel angeboten.

"Pferdestall":
1. Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Inhalt und schreibt diese oben auf einen Zettel.
2. Alle Schüler sollen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen.
3. Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines anderen "Pferdes". So erhält jeder Schüler einen anderen Nachbarn.
4. Je zwei Schüler (Nachbarn) stellen sich gegenseitig die Fragen, falten die Zettel in der Mitte und notieren gemeinsam die Antwort auf der Rückseite. Die Zettel werden getauscht.
5. "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn stellen sich gegenseitig die notierten Fragen. Die Antwort steht zur Kontrolle bereits auf der Rückseite.“

"Mathe-Millionär"
1. Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Thema und notiert diese zusammen mit vier Antwortmöglichkeiten (A, B, C, D) auf einem Zettel. Dabei kreuzt er die richtige Antwort an und ergänzt ob er die Frage als leicht, mittel oder schwer einschätzt.
2. Hinweis für S: Taktisch ist es sinnvoll, sich eine möglichst schwierige Frage zu überlegen, da man selbst – wenn die Frage vom Lehrer gestellt wird – die Antwort weiß, die anderen S aber mit höherer Wahrscheinlichkeit nicht.
3. Die Zettel werden eingesammelt und vom Lehrer grob der Schwierigkeit nach sortiert. Dabei können ein paar leichte Fragen für einen eventuellen zweiten Durchgang aufgehoben werden.
4. Die Schüler zerteilen ein Blatt in vier kleine Blätter, auf denen sie je einen Buchstaben A, B, C und D schreiben. Alle Schüler stehen auf. 5. Der Lehrer liest eine Frage vor. Beim Satz „Bitte entscheidet Euch jetzt!“ heben alle Schüler gleichzeitig den gewählten Buchstaben nach oben. Der Lehrer sagt die richtige Antwort und die Schüler mit einer falschen setzen sich. Jetzt kann eine Erklärung folgen oder die nächste Frage. 6. Gewonnen haben die letzten ein bis drei noch stehenden Schüler.


Expertenteamkarten zum Ausdrucken

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