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Unterrichtsideen Mathe: Unterschied zwischen den Versionen

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(Entdecken von Teilern und ihren Eigenschaften: Geht demnächst weiter)
(Unterrichtsablauf)
 
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Man kann den Schülern zu jeder Tabelle die Aufgabe geben, auszuprobieren und verschiedene Zahlen einzugeben. Bei den ersten beiden Tabellen gibt es unterschiedliche Dinge zu entdecken.
 
Man kann den Schülern zu jeder Tabelle die Aufgabe geben, auszuprobieren und verschiedene Zahlen einzugeben. Bei den ersten beiden Tabellen gibt es unterschiedliche Dinge zu entdecken.
  
;1. Tabelle = Zahlentafel: Hier sollte man auch mal als Lehrer herumprobieren und Erklärungen für die entstehenden Muster finden. Bei dieser Tafel kann man einige Teilbarkeitsregeln erkennen. So ist die 2er- und die 4er-Regel recht leicht ersichtlich. Auch die Quersummenregel für die 3 lässt sich noch eingermaßen leicht erkennen, wenn man die Zahlen betrachtet, die zusammen auf einem der entstehenden Streifen liegen. Die Regeln für 5 und 10 sind natürlich auch ersichtlich. Die Teilbarkeitsregel für 6 (Zahl muss durch 2 und 3 teilbar sein) ist hier nicht so gut zu erkennen. Das kann die zweite Tabelle besser.
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[[Bild:Zahlentafel mit 2 bis 9.png|right|thumb]]
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;1. Tabelle = Zahlentafel: Hier sollte man auch als Lehrer erst einmal herumprobieren und Erklärungen für die entstehenden Muster finden.  
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:Bei dieser Tafel (rechts sind einige Beispiele zu sehen) kann man einige Teilbarkeitsregeln erkennen. So ist die 2er- recht leicht  und die 4er-Regel so einigermaßen ersichtlich (für 4 könnte man die Tafel verbreitern!). Auch die Quersummenregel für die 3 lässt sich noch eingermaßen leicht erkennen, wenn man die Zahlen betrachtet, die zusammen auf einem der entstehenden Streifen liegen. Die Regeln für 5 und 10 sind natürlich auch ersichtlich. Die Teilbarkeitsregel für 6 (Zahl muss durch 2 und 3 teilbar sein) ist hier nicht so gut zu erkennen. Das kann die zweite Tabelle besser. Die Regel für den Teiler 9 sollte kein Problem sein, wenn die Quersummenregel bei drei entdeckt wurde.
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''Wie kann man die Schüler rangehen lassen?'' Ein rein zielgerichtetes Herangehen (''sucht Regeln ...'') würde ich nicht machen. Natürlich sollten den Schülern klar sein, was das Ziel ist. Wir wollen wissen, wie man einer Zahl ansehen kann, ob sie einen bestimmten Teiler hat. Aber ich würde erst einmal die Schüler sich einen Überblick verschaffen lassen:
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:*Setze im grünen Feld (im Bild leider nicht grüngefärbt) verschiedenen Zahlen ein. Wenn du die Eingabetaste gedrückt hast, werden in der Zahlentafel alle Zahlen markiert, die ein Vielfaches der von dir eingegeben Zahl sind. Man kann umgekehrt auch sagen, dass sie diese Zahl als Teiler haben. Für jede Zahl gibt sich ein ganz besonderes Muster. Schau mal die ersten 25 Zahlen durch. Welche Muster gefallen dir besonders gut? Und warum dieses Muster? Hol dir beim Lehrer eine ausgedruckte Zahlentafel und male das Muster für dein Heft aus.
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Im Sinne eines dialogischen Unterrichts hätten die Schüler hier die Möglichkeit erst einmal sich unmathematisch mit dem Thema zu beschäftigen. Es wird ihr ästhetisches Empfinden angesprochen. Dies soll schriftlich festgehalten werden.
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:*Nachdem du dir einen Überblick verschafft hast, wirst du festgestellt haben, dass sich einige Muster durchaus ähneln. Versuche ein wenig zu sortieren und beschreibe die Ähnlichkeiten. Vielleicht kannst auch bei den Zahlen mit ähnlichen Mustern Gemeinsamkeiten finden? Möglicherweise passt das Muster einer Zahl in zwei Gruppen hinein. Beschreibe die Mustergruppe, welche Zahlen dazugehören und was die Gemeinsamkeiten sind.
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Jetzt geht es daran, die Besonderheiten zu beschreiben.
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:* Konzentrieren wir uns nun wieder auf einzelne Muster! Du kannst in der Tabelle z.B. für 2 schon sehr viele Zahlen sehen, die 2 als Teiler haben. Aber es gibt noch viel mehr! Nur wie kann man das an der Zahl erkennen? Versuche mit Hilfe der Tabelle eine Regel zu finden, an der man (ohne zu rechnen) feststellen kann, ob eine Zahl durch 2 teilbar ist. Wenn du keine kurze Regel finden kannst, beschreibe sie ruhig länger.
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:* Untersuche nun auch für die anderen Zahlen, ob du Regeln finden kannst.
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:* Bei der 3 etwa. Falls du keine Regel findest reicht es auch, wenn du Besonderheiten der Zahlen beschreibst, die da durch 3 teilbar sind.
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:* Finde so viel Regeln wie möglich. Wichtiger sind die Zahlen bis 10 und vielleicht auch noch 11, 12, 15, 20. Du darfst natürlich noch weitere Zahlen auswählen.
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:* Wichtig: Es gibt nicht zu jeder Zahl eine richtige Teiler-Regeln. Bei einigen sind sie recht leicht, bei anderen ziemlich kompliziert. Du kannst entscheiden, wie lange du dich mit einer schwierigen Zahl ebschäftigst, aber schau bitte erst einmal andere Zahlen an, bevor du zu lange an einer Zahl arbeitest.
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:* Zusatz: Kannst du einige Regeln auch begründen? Dann schreib es ruhig dazu! Fällt dir noch irgendwas auf? Her damit!!!
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;2. Tabelle = Multiplikationstabelle: ...
 
;2. Tabelle = Multiplikationstabelle: ...
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'''Hausaufgaben oder Gruppenarbeit:''' Es werden einige Rechenübungen zu arthmetischen und geometrischen Folgen gestellt.
 
'''Hausaufgaben oder Gruppenarbeit:''' Es werden einige Rechenübungen zu arthmetischen und geometrischen Folgen gestellt.
* Ist die Folge eine AF oder eine GF? Gibt die Gleichung an.
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* Ist die Folge eine AF oder eine GF? Gibt die explizite Gleichung an.
 
* Zwei Zahlen sind gegeben, die in einer Folge benachbart sind. Ist das eine AF oder eine GF?
 
* Zwei Zahlen sind gegeben, die in einer Folge benachbart sind. Ist das eine AF oder eine GF?
 
* Gibt es Folgen, die beides sein können?
 
* Gibt es Folgen, die beides sein können?
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'''Anmerkung:''' Ich würde diese Übung ohne Beispielaufgaben machen! Es handelt sich hier um ganz einfache Umformungen. Teilweise muss gar nicht groß gerechnet werden. Das sollten die Schüler auch so können. In einer Gruppenarbeit können sich die Schüler auch beim "Wiederholen" des Stoffs helfen. Ich würde aber durchaus drauf Wert legen, dass einige Formalitäten beachtet werden, d.h. auch bei einfachen Rechnungen soll nicht einfach das Ergebnis hingeschrieben werden sondern es soll der Rechenweg durch Verwendung der Formeln und Bezeichnungen verdeutlicht werden. Dies ist wichtig, damit sie später ihre Rechnung noch nachvollziehen können.
 
'''Anmerkung:''' Ich würde diese Übung ohne Beispielaufgaben machen! Es handelt sich hier um ganz einfache Umformungen. Teilweise muss gar nicht groß gerechnet werden. Das sollten die Schüler auch so können. In einer Gruppenarbeit können sich die Schüler auch beim "Wiederholen" des Stoffs helfen. Ich würde aber durchaus drauf Wert legen, dass einige Formalitäten beachtet werden, d.h. auch bei einfachen Rechnungen soll nicht einfach das Ergebnis hingeschrieben werden sondern es soll der Rechenweg durch Verwendung der Formeln und Bezeichnungen verdeutlicht werden. Dies ist wichtig, damit sie später ihre Rechnung noch nachvollziehen können.
 
  
 
====Material====
 
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Aktuelle Version vom 5. August 2008, 22:31 Uhr

Hier ein paar Ideen zum Einsatz im Unterricht. Die Ideen kamen meist spontan und ich hoffe, dass sie auch mal im Unterricht eingesetzt werden können. Ich würde mich über jede Art von Kritik freuen. Am besten auf der Diskussionsseite hierzu eintragen.

Viele dieser Ideen wurden noch nicht verwirklicht oder eingesetzt. Im Grunde genommen dient diese Seite nicht nur der Vorstellung meiner Ideen sondern auch als Notizmöglichkeit für mich.

Die Themen sind nach Klassen sortiert (noch Hessischer Lehrplan):

Inhaltsverzeichnis

Klasse 5

Kennenlernen von GeoGebra und Zeichnen von dynamischen Quadern und Pyramiden

Zur Einführung in die Benutzung von GeoGebra habe ich mir in Klasse 5 das Zeichnen von Quadern und Pyramiden ausgesucht. Unter Verwendung von Parallenen sind diese sogar dynamisch, d.h. man kann die Längen und Breitne noch verändern.

Download des Materials (Zip-Datei mit HTML-Seite und Arbeitsblatt)

Lernumgebung Abstand

Hier eine Sammlung von HTML-Seiten mit einigen GeoGebra-Zeichenblättern. Anhand von typischen Fragen (Wo lieben alle Punkte, die ...) können sich die Schüler mit dem Thema Abstand beschäftigen. Dazu gibt es Fragen und Anregungen.

Es wird auch eingeführt, wie man den Abstand zwischen Punkt/Gerade und Gerade/Gerade bestimmt und dieses Wissen wird gleich anhand von einer Aufgabe (in GeoGebra) genutzt.

Zum Abschluß können die neuen Informationen auf einem Arbeitsblatt schriftlich festgehalten werden.

Download des Materials (Zip-Datei mit HTML-Seiten

Schrägbilder mit GeoGebra entdecken

Interaktive Geometrieprogramme wie GeoGebra bieten neue Möglichkeiten, die man mit Papier und Bleistift nicht hat. Führt man z.B. das Zeichnen von Quadern mittels Schrägbidler ein, so kommt es des öfteren vor, dass es Schüler schwerfällt, die Parallelität der Seiten mit einzuzeichnen. Um dies selber zu entdecken, und damit die Wichtigkeit der Parallelität hoffentlich besser zu verinnerlichen, kam mir die Idee, GeoGebra zu verwenden.

  • Gegeben: Die 8 Ecken und 10 Seiten eines Quaders sind eingezeichnet und miteinander verbunden. Wenn du die Punkte bewegst, bleiben die Ecken verbunden.
  • Aufgabe: Versuche die Punkte so zu verschieben, dass das Bild des 3-dimensionalen Quaders möglichst "natürlich" aussieht.
  • Problem: Das könnte natürlich dazu führen, dass perspektivisch "besser" aussehen.

Klasse 6

Entdecken von Teilern und ihren Eigenschaften

Auf einem Calc-Rechenblatt sind drei große Zahlentafeln gegeben (Zahlentafel und Multiplikationstafel).

  • Zahlentafel mit 10 Zahlen in einer Reihe
  • Multiplikationstabelle (bis 40*40)
  • Zahlentafel mit 20 Zahlen in einer Reihe

Zu einer angegebenen Zahl werden auf der jeweilligen Tafel alle Vielfache dieser Zahl farbig markiert.

Folgendes kann entdeckt oder vertieft werden: Begriff Primzahl, Finden von Rechenregeln, Entdecken von Produkt-Regeln, ... Diese Tabellen bieten Anregungen in verschiedenen Schwierigkeitsbereichen. Von einfacher Wiederholung von Begriffen bis zur Entdeckung vieler überraschender Eigenschaften, für die man schon ein Händchen für die Mathematik haben muss.

Man kann den Schülern zu jeder Tabelle die Aufgabe geben, auszuprobieren und verschiedene Zahlen einzugeben. Bei den ersten beiden Tabellen gibt es unterschiedliche Dinge zu entdecken.

Zahlentafel mit 2 bis 9.png
1. Tabelle = Zahlentafel
Hier sollte man auch als Lehrer erst einmal herumprobieren und Erklärungen für die entstehenden Muster finden.
Bei dieser Tafel (rechts sind einige Beispiele zu sehen) kann man einige Teilbarkeitsregeln erkennen. So ist die 2er- recht leicht und die 4er-Regel so einigermaßen ersichtlich (für 4 könnte man die Tafel verbreitern!). Auch die Quersummenregel für die 3 lässt sich noch eingermaßen leicht erkennen, wenn man die Zahlen betrachtet, die zusammen auf einem der entstehenden Streifen liegen. Die Regeln für 5 und 10 sind natürlich auch ersichtlich. Die Teilbarkeitsregel für 6 (Zahl muss durch 2 und 3 teilbar sein) ist hier nicht so gut zu erkennen. Das kann die zweite Tabelle besser. Die Regel für den Teiler 9 sollte kein Problem sein, wenn die Quersummenregel bei drei entdeckt wurde.

Wie kann man die Schüler rangehen lassen? Ein rein zielgerichtetes Herangehen (sucht Regeln ...) würde ich nicht machen. Natürlich sollten den Schülern klar sein, was das Ziel ist. Wir wollen wissen, wie man einer Zahl ansehen kann, ob sie einen bestimmten Teiler hat. Aber ich würde erst einmal die Schüler sich einen Überblick verschaffen lassen:

  • Setze im grünen Feld (im Bild leider nicht grüngefärbt) verschiedenen Zahlen ein. Wenn du die Eingabetaste gedrückt hast, werden in der Zahlentafel alle Zahlen markiert, die ein Vielfaches der von dir eingegeben Zahl sind. Man kann umgekehrt auch sagen, dass sie diese Zahl als Teiler haben. Für jede Zahl gibt sich ein ganz besonderes Muster. Schau mal die ersten 25 Zahlen durch. Welche Muster gefallen dir besonders gut? Und warum dieses Muster? Hol dir beim Lehrer eine ausgedruckte Zahlentafel und male das Muster für dein Heft aus.

Im Sinne eines dialogischen Unterrichts hätten die Schüler hier die Möglichkeit erst einmal sich unmathematisch mit dem Thema zu beschäftigen. Es wird ihr ästhetisches Empfinden angesprochen. Dies soll schriftlich festgehalten werden.

  • Nachdem du dir einen Überblick verschafft hast, wirst du festgestellt haben, dass sich einige Muster durchaus ähneln. Versuche ein wenig zu sortieren und beschreibe die Ähnlichkeiten. Vielleicht kannst auch bei den Zahlen mit ähnlichen Mustern Gemeinsamkeiten finden? Möglicherweise passt das Muster einer Zahl in zwei Gruppen hinein. Beschreibe die Mustergruppe, welche Zahlen dazugehören und was die Gemeinsamkeiten sind.

Jetzt geht es daran, die Besonderheiten zu beschreiben.

  • Konzentrieren wir uns nun wieder auf einzelne Muster! Du kannst in der Tabelle z.B. für 2 schon sehr viele Zahlen sehen, die 2 als Teiler haben. Aber es gibt noch viel mehr! Nur wie kann man das an der Zahl erkennen? Versuche mit Hilfe der Tabelle eine Regel zu finden, an der man (ohne zu rechnen) feststellen kann, ob eine Zahl durch 2 teilbar ist. Wenn du keine kurze Regel finden kannst, beschreibe sie ruhig länger.
  • Untersuche nun auch für die anderen Zahlen, ob du Regeln finden kannst.
  • Bei der 3 etwa. Falls du keine Regel findest reicht es auch, wenn du Besonderheiten der Zahlen beschreibst, die da durch 3 teilbar sind.
  • Finde so viel Regeln wie möglich. Wichtiger sind die Zahlen bis 10 und vielleicht auch noch 11, 12, 15, 20. Du darfst natürlich noch weitere Zahlen auswählen.
  • Wichtig: Es gibt nicht zu jeder Zahl eine richtige Teiler-Regeln. Bei einigen sind sie recht leicht, bei anderen ziemlich kompliziert. Du kannst entscheiden, wie lange du dich mit einer schwierigen Zahl ebschäftigst, aber schau bitte erst einmal andere Zahlen an, bevor du zu lange an einer Zahl arbeitest.
  • Zusatz: Kannst du einige Regeln auch begründen? Dann schreib es ruhig dazu! Fällt dir noch irgendwas auf? Her damit!!!


2. Tabelle = Multiplikationstabelle
...
  • Du kannst die grün unterlegte Zahl verändern. Dazu werden einige Zahlen in der Tafel rot hervorgehoben. Und zwar diejenige, die die grüne Zahl als Teiler haben.
  • Probiere ein wenig herum und setze verschiedene Zahlen in das grüne Kästchen ein. Schau dir mal an, was es da für schöne Muster gibt. Wie gefällt dir dieser mathematischer Mustergenerator?
  • Versuche die Muster zu beschreiben und in Gruppen einzuteilen (evtl. dazu ausdrucken) . Was ist mit den dazugehörigen Zahlen?
  • Hast du eine Idee, warum die Muster so entstehen?

Download der Calc-Datei Kann hier leider nicht hochgeladen werden.

Klasse 9

Geradengleichungen mit Geogebra selber entdecken

... eine ausführliche Beschreibung findet man auf der Seite Geraden.

Logharithmus als Skaleneinteilung - Arbeit mit Wachstumsdiagrammen

Der Logharithmus zur Einteilung von Skalen ist nicht nur in Labors gebräuchlich. Auch unser Kinder habe damit, sozusagen, seit Geburt zu tun. Die Wachstumsdiagramme, die sich am Ende des gelben Unterrsuchungsheftes befinden, bieten eine Möglichkeit sich damit zu beschäftigen ohne den Begriff Logharithmus zu verwenden.

Die Idee kam mir, weil die Sprechstundengehilfen Probleme beim Eintragen eines Wertes hat. Man muss gar nicht den Logharithmus kennen, wenn man hier was richtig eintragen will. Man muss nur die Skaleneinteilung verstehen. Neben solchen Übungen werden auch die Logharithmusgesetze entdeckt und verschiedene Aufgaben gestellt.

Download des Arbeitsblattes: Kommt demnächst.

Ich würde dieses Thema unbedingt vor der Einführung des Logarithmuses der 10. Klasse einsetzen. Vielleicht auch als Einführung dazu!?

Lernumgebung Eigenschaften der Zentrischen Streckung

  • Auf mehreren HTML-Seiten wird die Zentrische Streckung und deren Eigenschaften eingeführt. Mehrere GeoGebra-Bilder müssen verwendet werden. Durch den Einsatz von Java-Script werden Zeichnungen überprüft oder Hilfe gegeben.
  • Eine Hot-Potatoe-Test fragt das gelernte Wissen ab.
  • Eine Aufgabe führt in die Verwendung des Strahlensatzes ein.

Download der ZIP-Datei mit HTML-Dateien Noch in Arbeit.

Klasse 10

Oberflächen- und Volumenberechnung bei Körpern

Kernidee Für mich ist wichtig, das sowohl bei der Fächenberechnung als auch bei der Volumen-Berechnung die gleichen Prinzipien verwendet werden. Auch komplizierte Formeln lassen sich ziemlich leicht verstehen oder beweisen, wenn man diese Prinzipien versteht/kennt.

Deshalb sollte man sich am Anfang noch einmal mit den Flächenformel beschäftigen. Also die Formeln wiederholen und versuchen zu verstehen, wie man sie aus den anderen Formeln herleiten kann. Bei den Körpern kommt zwar noch eine Dimension dazu, aber es sind eben die gleichen Ideen wie bei den 2-dimensionalen Körpern.

  • Wiederholung: Die Schüler bekommen eine Arbeitsblatt mit vielen verschiedenen Fächen und sollen die Formeln für die Flächeninhalte bzw. den Umfang dazuschreiben. Falls sie die nicht mehr kennen, können sie auf eine Sammlung zurückgreifen, die der Lehrer an die Tafel anschreibt (allerdings nicht direkt sichtbar sondern z.B. verdeckt auf der Seitentafel).
  • Als Hausaufgabe könnte die Aufgabe verteilt werden, die Flächenformeln auf die Formeln für Rechteck und Dreieck (durch Zerlegung oder Verdopplung) zurüchgeführt werden kann. Dies wird dann in Gruppen in der Schule noch mal besprochen und den anderen vorgestellt (z.B. durch Papierschnitte auf dem OVHP).
  • Wiederholung der Körper-Bezeichnungen: Auf einem Arbeitsblatt, dass später auch als Formelblatt dienen soll, sind nur verschiedene Körper eingezeichnet. Jeder soll für sich möglichst viele Namen aus dem Gedächtnis wiederfinden.
  • Sortieraufgabe 1: Überlege dich, welche Körper sehr ähnliche Formeln haben könnten. Sortiere sie nach dieser Art. Hast du schon eine Idee, wie man das Volumen dieser Körper aus anderne Formeln bestimmen könnte?
  • Haus- und Gruppenaufgabe: Versuche die Oberflächen-Formeln für die Körper selber zu bestimmen. Verwende dazu die Vorlage mit den Netzen der Körper. Miss die Werte vorher aus und zeichne die benötigte Länge (Linien) ein. Welche Werte muss man haben? Welche kann man aus anderen berechnen? Wie viele braucht man mindestens? Bastle dann Zuhause die Körper zusammen.
  • Sortieraufgabe 2: Zu den Körpern auf dem Formelblatt wird eine Liste mit Formeln gegeben. Versuche zuzuordnen (mit Begründung)
  • ...

Es wurde noch kein Material erstellt. Wird sicher noch kommen.

Klasse 11

Einführung von Folgen

Was es zu lernen gilt

Begriffe:

  • Folge und Folgenglieder und deren Beschriftung
  • Direkte Formel für das Folgeglied a(n)
  • Rekursive Folgendefinition
  • Geometrische und Arithmetrische Folge und deren Formeln
  • AF a_n+1=an+d oder a_n=a_0+n*d (d von Differenz, weil Differenz immer gleich ist)
  • GF a_n+1=an*q oder a_n=a_0*q^n (q von Quotient, weil Quotient immer gleich ist)

Unterrichtsablauf

Ich denke da an ein lockeres Lehrer-Schüler-Gespräch: Ein kleines Spielchen wird angefangen - ganz unverbindlich - und der Lehrer gibt an der Tafel einige Folgen vor, die die Schüler fortsetzen sollen. Sicher wird es immer irgendeinen finden, der die nächste Zahl liefern kann. Natrülich können sich auch Schüler Folgen ausdenken. Zum Beispiel, indem sie das Bildungsgesetz auf ein kleines Zettelchen beim Lehrer abliefern und die ersten Zahlen an die Tafel anschreiben.

Wenn man einige Folgen durchgesprochen hat kommt die Frage, ob sie spontan auch das 1000. Folgenglied angeben können. Bei rekursiven Beschreibungen ist das natürlich schwierig. Vielleicht gibt es auch eine andere Darstellung? Das Ganze soll insgesamt zu einer Formelschreibweise führen, mit der die Folgenglieder bezeichnet werden und wie man die Werte der Folgenglieder bestimmt.

Zum Abschluss stellt der Lehrer noch zwei Gruppen von Folgen vor, die recht einfache Bildungsformeln haben, die arithmetrisch und die geometrische Folge. Die Einführung muss nicht sonderlich formal geschehen. Wichtig ist, dass jeweils ein Beispiel für die beiden Typen besprochen wird und mit Hilfe von Farben wird die Auswirkung der "Parameter" besprochen.

Hausaufgaben oder Gruppenarbeit: Es werden einige Rechenübungen zu arthmetischen und geometrischen Folgen gestellt.

  • Ist die Folge eine AF oder eine GF? Gibt die explizite Gleichung an.
  • Zwei Zahlen sind gegeben, die in einer Folge benachbart sind. Ist das eine AF oder eine GF?
  • Gibt es Folgen, die beides sein können?
  • Bestimme die Formel zu den Folgen und berechne den 100. Wert.
  • Zwei benachbarte Folgenglieder einer AF sind gegeben. Bestimme die Gleichung dazu.
  • Zwei benachbarte Folgenglieder einer GF sind gegeben. Bestimme die Gleichung dazu.
  • Es sind die Folgenglieder a_5 und a_6 einer AF gegeben. Bestimme die Gleichung der Folge.
  • Es sind die Folgenglieder a_7 und a_8 einer GF gegeben. Bestimme die Gleichung der Folge.
  • Es sind die Folgenglieder a_8 und a_10 einer AF gegeben. Bestimme a_12.
  • Es sind die Folgenglieder a_12 und a_15 einer AF gegeben. Bestimme a_0.

Anmerkung: Ich würde diese Übung ohne Beispielaufgaben machen! Es handelt sich hier um ganz einfache Umformungen. Teilweise muss gar nicht groß gerechnet werden. Das sollten die Schüler auch so können. In einer Gruppenarbeit können sich die Schüler auch beim "Wiederholen" des Stoffs helfen. Ich würde aber durchaus drauf Wert legen, dass einige Formalitäten beachtet werden, d.h. auch bei einfachen Rechnungen soll nicht einfach das Ergebnis hingeschrieben werden sondern es soll der Rechenweg durch Verwendung der Formeln und Bezeichnungen verdeutlicht werden. Dies ist wichtig, damit sie später ihre Rechnung noch nachvollziehen können.

Material

Charakterisierung von Folgen

Was es zu lernen gilt

Monotonie
Eine Folge heißt monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied gleichbleibt oder zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb{N} gilt: a_i \leq a_{i+1}. Die Folge heißt streng monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb{N} gilt: ai < ai + 1. Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert.
Beschränktheit
Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn sie eine obere Schranke S besitzt, so dass für alle i aus \mathbb{N} gilt: ai < S. Die kleinste obere Schranke einer Folge heißt auch ihr Supremum. Die Begriffe nach unten beschränkt, größte untere Schranke und Infimum sind analog definiert.
Sonstige
  • Eine Folge, deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind, heißt alternierend.
  • Eine Folge, deren Glieder alle übereinstimmen, wird konstante Folge genannt.
  • Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge.
  • Eine Folge, die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht, heißt periodisch.

Unterrichtsablauf

Nachdem die Folgen und deren Möglichkeiten zur Darstellung eingeführt wurden, geht es nun darum die Charakterisierung von Folgen einzuführen.

Warum macht man das?
In der Mathematik ist es üblich Objekte in Gruppen mit gleichen Eigenschaften einzuteilen. Der Vorteil der sich daraus ergibt, ist eine Zeitersparnis, denn wenn man für ein Element der Gruppe eine Feststellung macht die auf der Gruppeneigenschaft beruht, kann man diese Feststellung ohne weitere Prüfung auch auf den anderen Gruppenmitgliedern übernehmen.
Arbeitsblatt
Die Schüler werden in Gruppen aufgeteilt und bekommen Darstellungen von Folgen im KOS und deren Gleichungen auf jeweils getrennten Kärtchen. Zuerst ist zur Wiederholung, eine Zordnung vorzunehmen (Gleichung und Bild). Dann bekommen die Schüler die Aufgabe, die Folgen zu Charakterisieren oder sie in Gruppen aufzuteilen. Beim Charakterisieren müssten sie Eigenschaften finden, mit denen jede Folge so beschrieben werden kann, dass sie sich von den anderen unterscheidet (jedoch nicht die Gleichungen und deren Bestandteile verwenden => Quadrat kommt vor). Es sollten sich die Eigenschaften auch auf bei mehreren Folgen wiederfinden, es sollen nicht zu viele verschiedene Kriterien aufgestellt werden. Beim Einteilen in Gruppen sollten die Folgen nach und nach in Gruppen aufgeteilt werden, dann eventuell noch in Untergruppen oder Tabellen. Es sollen in beiden Fällen auch eigene Begriffe gefunden werden.
Ziel des Arbeitsblattes
Die Schüler sollen für ihre Einteilung ein Übersichtblatt mit ihrer Einteilung als kleines Plakat oder Folie erstellen. Darauf sollen Definitionen für ihre Art der Einteilung/Charakterisierung vorkommen mit typischen Beispielen. Als Zusatzaufgabe kann auch versucht werden, die Einteilung anhand der Gleichung der Folge vor zu nehmen.
Vorstellung
Der Lehrer sucht ein paar der Arbeiten aus, die sich etwas mehr unterscheiden - eventuell weiß er ja, welche Gruppen zusammengearbeitet haben. Diese Ergebnisse werden vorgestellt und diskutiert. Speziell mögliche Erklärungen für die Einteilung anhand der Gleichungen kann genauer diskutiert werden.
Abschluß
Zum Abschluß greift der Lehrer die Ergebnisse auf und präsentiert - um Zeit zu sparen vielleicht mit einem Blatt, das ausgegeben wird - die offiziellen Bezeichnungen. Wenn die rechnerischen Charakterisierungs-Möglichkeiten gut sind, werden sie gleich aufgenommen. Im Folgenden könnten zum Testen kompliziertere Folgen-Gleichungen an der Tafel vorgegeben werden.

Material

muss ich mir noch überlegen ...