Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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(Differentialquotient)
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Der Differentialquotient  f'(x<sub>0</sub>)  wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle  x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
 
Der Differentialquotient  f'(x<sub>0</sub>)  wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle  x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
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{{Mathematik|
 
'''Andere Schreibweise des Differentialquotienten:<br>
 
Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch jetzt wieder die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen.
 
<math> f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
 
 
 
Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
 
 
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* beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle  x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen  x<sub>0</sub> und  x<sub>1</sub> den Wert  x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert  x<sub>0</sub> annnährt,
 
* beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle  x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen  x<sub>0</sub> und  x<sub>1</sub> den Wert  x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert  x<sub>0</sub> annnährt,
 
* beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
 
* beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
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<popup name="Applet">
 
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</popup>
 
</popup>
 
 
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{{Aufgaben-blau|1=1|2='''Differentialquotient''' <br><br>
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{{Protokollieren|
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<big>'''Übertrage die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.'''</big>
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}}
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{{Aufgaben-blau|1=1|2=<br>
 
Verschiebe im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen im Heft.
 
Verschiebe im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen im Heft.
<popup name="Applet">
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}}
 
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{{Mathematik|<big>'''Information'''</big><br><br>
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Um einige Rechungen später zu vereinfachen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
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Anstatt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
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}}
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{{Aufgaben-blau|1=2|2='''Andere Schreibweise des Differentialquotienten'''<br><br>
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Ersetze in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
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<popup name="Lösung">
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<math> f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
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{{Protokollieren|
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<big>'''Notiere die h-Schreibweise des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.'''</big>
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}}
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{{untersuchen|}} Vergleiche die beiden Applets und untersuche die Veränderungen.
 
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Mit Hilfe der h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x<sub>0</sub>) berechnen.
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'''Mit Hilfe der h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x<sub>0</sub>) berechnen.'''
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Bearbeite folgende Aufgaben. Schreibe die Rechnungen auch in dein Heft.
 
Bearbeite folgende Aufgaben. Schreibe die Rechnungen auch in dein Heft.
 
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung 1]
 
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung 1]

Version vom 6. November 2014, 19:14 Uhr

Differentialquotient

Nuvola Icon Kate.png Information
Der Differentialquotient f'(x0 ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient  f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

Der Differentialquotient f'(x0) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet.



Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.




Nuvola apps kwrite.png Übertrage die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.  



Nuvola Stift.png   Aufgabe 1


Verschiebe im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen im Heft.




Information

Um einige Rechungen später zu vereinfachen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
Anstatt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, kann man auch die Differenz h=\Delta x=x_1-x_0 immer kleiner werden lassen. Es ist dann  x_1=x_0+h.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 2

Andere Schreibweise des Differentialquotienten

Ersetze in der Definition des Differentialquotienten den Wert x1 durch x0+h.



Mit Hilfe der h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) berechnen.

Nuvola Stift.png   Aufgabe 3

Differentialquotient

Bearbeite folgende Aufgaben. Schreibe die Rechnungen auch in dein Heft.