Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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(→Untersuchung des Zusammenhangs der Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion) |
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# Ziehe am Punkt A und beobachte, was passiert. Beschreibe den Zusammenhang zwischen Punkt B, Punkt A und der Tangenten. | # Ziehe am Punkt A und beobachte, was passiert. Beschreibe den Zusammenhang zwischen Punkt B, Punkt A und der Tangenten. | ||
# Gehe mit einem "Rechtsklick" auf Punkt B und schalte dessen Spur ein ("Trace on"). Ziehe anschließend nochmal (langsam) an Punkt A. Beschreibe die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie von B. | # Gehe mit einem "Rechtsklick" auf Punkt B und schalte dessen Spur ein ("Trace on"). Ziehe anschließend nochmal (langsam) an Punkt A. Beschreibe die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie von B. | ||
| − | # Klicke auf den blauen Doppelpfeil rechts oben in der Ecke, um das Applet zurückzusetzen. Gebe nun weitere Funktionsgleichungen für f im Applet ein (z.B.: <math>f(x)=x^3-3x^2+2</math> oder <math>f(x)= | + | # Klicke auf den blauen Doppelpfeil rechts oben in der Ecke, um das Applet zurückzusetzen. Gebe nun weitere Funktionsgleichungen für f im Applet ein (z.B.: <math>f(x)=x^3-3x^2+2</math> oder <math>f(x)=0.2x^4-2x^2+4</math>) und wiederhole die Schritte aus 2.! Vergiss nicht zwischendurch das Applet wieder zurückzusetzen! |
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Version vom 11. November 2014, 23:16 Uhr
Differentialquotient
Information
Der Differentialquotient f '(x0 ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:
Differentialquotient 
Der Differentialquotient f '(x0) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet.
Der Differentialquotient f '(x0 )
- beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
- beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.
Übertrage die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.
Information
Um einige Rechungen später zu vereinfachen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
Anstatt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, kann man auch die Differenz 
immer kleiner werden lassen. Es ist dann 
.
Mit Hilfe der h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) berechnen.
Ableitungsfunktion
Beispielaufgabe:
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion 
für 
beschrieben werden.
- Berechne die Ableitung an der Stelle x=100!
- Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x=x0 bestimmen:
Rückgriff auf die Einstiegsaufgabe:
Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 5) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate.
Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion 
beschrieben werden. Hierbei gibt 
die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt 
(in Sekunden) an.
Information
Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x0 ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man eine Funktion f´(x), die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte Ableitungsfunktion.
Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.
Untersuchung des Zusammenhangs der Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion
oder 
) und wiederhole die Schritte aus 2.! Vergiss nicht zwischendurch das Applet wieder zurückzusetzen!
