Differentialrechnung

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Differentialquotient

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Der Differentialquotient f'(x0 ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient  f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

Der Differentialquotient f'(x0) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet.



Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.




Nuvola apps kwrite.png Übertrage die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.  



Nuvola Stift.png   Aufgabe 1


Verschiebe im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen im Heft.




Information

Um einige Rechungen später zu vereinfachen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
Anstatt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, kann man auch die Differenz h=\Delta x=x_1-x_0 immer kleiner werden lassen. Es ist dann  x_1=x_0+h.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 2

Andere Schreibweise des Differentialquotienten

Ersetze in der Definition des Differentialquotienten den Wert x1 durch x0+h.



Mit Hilfe der h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) berechnen.

Nuvola Stift.png   Aufgabe 3

Differentialquotient

Bearbeite folgende Aufgaben. Schreibe die Rechnungen auch in dein Heft.