Differentialrechnung

Differentialquotient

  Aufgabe 1

Verschiebe im Applet unten den Punkt B nahe zu A und beobachte den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen im Heft.

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Der Differentialquotient f '(x₀ ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient $f '(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

Der Differentialquotient f '(x₀) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ bezeichnet.

Der Differentialquotient f '(x₀ )

• beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x₀ und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x₀ und x₁ den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ annnährt,
• beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x₀|f(x₀)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x₀|f(x₀)) und B(x₁|f(x₁)) den Punkt B(x₁|f(x₁)) immer mehr dem Punkt A(x₀|f(x₀)) annähert.

Übertrage die Definition des Differentialquotienten in dein Heft.  

Information

Um einige Rechungen später zu vereinfachen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
Anstatt den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ anzunähern, kann man auch die Differenz $h=\Delta x=x_1-x_0$ immer kleiner werden lassen. Es ist dann $x_1=x_0+h$.

  Aufgabe 2

Andere Schreibweise des Differentialquotienten

Ersetze in der Definition des Differentialquotienten den Wert x₁ durch x₀+h.

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$f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.

Notiere die h-Schreibweise des Differentialquotienten zusammen mit einer beschrifteten Skizze in dein Heft.  

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Aufgabe 1
Ordnen Sie die Ausdrücke unten den richtigen Oberbegriffen zu.

Differenzenquotient	Sekantensteigung	Durchschnittsgeschwindigkeit	mittlere Änderungsrate	$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$	$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Differentialquotient	Tangentensteigung	Momentangeschwindigkeit	$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$	momentane Änderungsrate

Wenn du mehr als zwei falsche Zuordnungen gemacht hast, solltest du vor der Weiterarbeit noch einmal die Definitionen und Zusammenhänge der Begriffe wiederholen.

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Ich kann die Bedeutung von Differenzenquotienten und des Differentialquotienten erklären. Ich kann erklären, wie man mit Hilfe von Differenzenquotienten den Differentialquotienten annähern kann.

Mit Hilfe der h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x₀) berechnen.

  Aufgabe 3

Differentialquotient

Bearbeite folgende Aufgaben. Schreibe die Rechnungen auch in dein Heft.

• Übung 1
• Übung 2

Zwei kleine Wiederholungstests zur mittleren und momentanen Änderungsrate

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Aus technischen Gründen werden an manchen Stellen bei den Aufgaben eckige Klammern statt der in diesem Zusammenhang sonst üblichen runden Klammern verwendet.

1a) Mit 10 Jahren war Peter 141 cm groß. Mit 12 Jahren war er 149 cm. Mit welcher mittleren Änderungsrate ist Peter während der zwei Jahre gewachsen? (4 cm/Jahr) (!8 cm/Jahr) (!2 cm/Jahr) (!6 cm/Jahr) (!10 cm/Jahr)

1b) Ein Auto beschleunigt von 0 auf 100 gemäß der Formel s[t]=1,5t², wobei s[t] die zurückgelegte Strecke zu einem bestimmten Zeitpunkt t in Sekunden angibt. Sara möchte einen möglichst guten Näherungswert für die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t=4 Sekunden berechnen. Welche beiden der folgenden Funktionswerte sollte sie dafür verwenden? (s[4]) (!s[4,01]) (!s[4,05]) (!s[4,001]) (s[4,0001]) (!s[4,5])

1c) Beziehen sich die folgenden Aussagen auf die mittlere oder die momentane Änderungsrate?

"Ich bin mit 110km/h geblitzt worden, wo nur 80 km/h erlaubt waren!" (Momentane Änderungsrate) (!Mittlere Änderungsrate)

"Unsere Sonnenblumen im Garten sind im letzten Monat durchschnittlich 1cm am Tag gewachsen." (!Momentane Änderungsrate) (Mittlere Änderungsrate)

"Bei unserer Hinfahrt zum Urlaub waren wir im Schnitt nur mit 80 km/h unterwegs, da die Autobahn so überfüllt war." (!Momentane Änderungsrate) (Mittlere Änderungsrate)

"Der ICE hat eine Höchstgeschwindigkeit von 330 km/h." (Momentane Änderungsrate) (!Mittlere Änderungsrate)

Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.

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1a) Welchen Wert hat $\Delta x$ für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x=1 und x=3? (!1) (2) (!3) (!5) (!8) (!9)

1b) Welchen Wert hat $\Delta y$ für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x=1 und x=3? (!1) (!2) (!3) (!5) (8) (!9)

1c) Was gibt $\Delta y$ in 1b) an? (Um wie viele Einheiten sich der Funktionswert zwischen den Stellen 1 und 3 verändert.)(!Die Funktionswerte an den Stellen 1 und 3.) (!Die Stellen für die Funktionswerte 1 und 3.) (!Die durchschnittliche Veränderung des Funktionswertes zwischen den Stellen 1 und 3.)

1d) Ein Teilstück einer Achterbahn kann mit der Funktion h[x]=0,2x³+x beschrieben werden. Mit welcher Berechnung kann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 am besten angenähert werden? ($\frac{h[2,0001]-h[2]}{2,0001-2}$) (!$\frac{2,0001-2}{h[2,0001]-h[2]}$) (!$\frac{h[2,001]-h[2]}{2,001-2}$)(!$\frac{2,001-2}{h[2,001]-h[2]}$) (!$\frac{h[2,01]-h[2]}{2,01-2}$)(!$\frac{2,01-2}{h[2,01]-h[2]}$)

Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.

Ableitungsfunktion

Man kann nun zu jedem x-Wert den Differentialquotienten f'(x) bestimmen. Ordnet man jedem x -Wert den zugehörigen Wert der Ableitung f'(x) zu, so erhält man eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f' .

Beispielaufgabe:

Barrington-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion $k(x)=0,002x^2$ für $0 \leq x \leq 300$ beschrieben werden.

• Berechne die Ableitung an der Stelle x=100!

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$k'(100)= \lim_{h\to 0} \frac{k(100+h)-k(100)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100+h)^2-0,002 \cdot 100^2}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100^2+2 \cdot 100h+h^2-100^2)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot 100h+h^2)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot 100+h \right)=0,004 \cdot 100 = 0,4$

• Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x=x₀ bestimmen:

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$k'(x_0)= \lim_{h\to 0} \frac{k(x_0+h)-k(x_0)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0+h)^2-0,002 \cdot x_0^2}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0^2+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2-x_0^2)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot x_0 \cdot h+h^2)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot x_0+h \right)=0,004 \cdot x_0$

Rückgriff auf die Einstiegsaufgabe:

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 5) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate.

Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion $w(t)=0,001(t+8)^3$ beschrieben werden. Hierbei gibt $w(t)$ die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt $t$ (in Sekunden) an.

  Aufgabe 4

Ableitung an einer Stelle x₀

1. Bestimme wie in der Beispielaufgabe mit dem Krater die Ableitung für die Funktion $w(t)=0,001(t+8)^3$ zum Zeitpunkt t=5s und für einen beliebigen Zeitpunkt t=t₀.
2. Welche Bedeutung haben die beiden allgemeinen Terme aus der Beispielaufgabe und Teilaufgabe 1. jeweils?
3. Trefft euch mit einem weiteren Lernteam und vergleicht eure Lösungen.

Plenumsphase

Information

Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x₀ ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man eine neue Funktion f´(x), die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte Ableitungsfunktion oder auch Ableitung von f(x).
Man schreibt dafür kurz f '(x).

$f'(x) =\frac{d}{dx} f(x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Mit der Ableitungsfunktion f '(x) lässt sich die Steigung des Graphen von f(x) an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen. Die Ableitungsfunktion kann daher auch als Steigungsfunktion von f(x) aufgefasst werden.

Wenn du die Ableitung einer Funktion bestimmst, dann nennt man das ableiten oder differenzieren.

Schreibe die Definition der Ableitung in dein Heft.  

Untersuchung des Zusammenhangs der Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion

  Aufgabe 5

Wie entsteht der Graph der Ableitungsfunktion aus dem Graphen der Funktion?

Im Applet unten ist der Graph einer Funktion f und die Tangente im Punkt A des Graphen (bzw. an der Stelle x₀) dargestellt.

1. Ziehe am Punkt A und beobachte, was passiert. Beschreibe den Zusammenhang zwischen Punkt B, Punkt A und der Tangenten.
2. Gehe mit einem "Rechtsklick" auf Punkt B und schalte dessen Spur ein ("Trace on"). Ziehe anschließend nochmal (langsam) an Punkt A. Beschreibe die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie von B.
3. Klicke auf den blauen Doppelpfeil rechts oben in der Ecke, um das Applet zurückzusetzen. Gebe nun weitere Funktionsgleichungen für f im Applet ein (z.B.: $f(x)=x^3-3x^2+2$ oder $f(x)=0.2x^4-2x^2+4$) und wiederhole die Schritte aus 2.! Vergiss nicht zwischendurch das Applet wieder zurückzusetzen!