Differentialrechnung

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Inhaltsverzeichnis

Vorwissen: mittlere Änderungsrate, Differenzenquotient, Sekantensteigung, von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung



Differentialquotient


Nuvola Stift.png   Aufgabe 1


Verschiebe im Applet unten den Punkt B nahe zu A und beobachte den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen im Heft.





Nuvola Icon Kate.png Information
Der Differentialquotient f '(x0 ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient  f '(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

Der Differentialquotient f '(x0) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet.



Der Differentialquotient f '(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.



Nuvola apps kwrite.png Übertrage die Definition des Differentialquotienten in dein Heft.  




Information

Um einige Rechungen später zu vereinfachen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
Anstatt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, kann man auch die Differenz h=\Delta x=x_1-x_0 immer kleiner werden lassen. Es ist dann  x_1=x_0+h.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 2

Andere Schreibweise des Differentialquotienten

Ersetze in der Definition des Differentialquotienten den Wert x1 durch x0+h.



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Mit Hilfe der h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) berechnen.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 3

Differentialquotient

Bearbeite folgende Aufgaben. Schreibe die Rechnungen auch in dein Heft.




Zwei kleine Wiederholungstests zur mittleren und momentanen Änderungsrate

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Ableitungsfunktion


Man kann nun zu jedem x-Wert den Differentialquotienten f'(x) bestimmen. Ordnet man jedem x -Wert den zugehörigen Wert der Ableitung f'(x) zu, so erhält man eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f' .




Farm-Fresh plenum Beispielaufgabe:

Barrington-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion k(x)=0,002x^2 für 0 \leq x \leq 300 beschrieben werden.

LP Krater.png


  • Berechne die Ableitung an der Stelle x=100!


  • Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x=x0 bestimmen:




Rückgriff auf die Einstiegsaufgabe:

VaseFuellvorgang.jpg

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 5) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate.

Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion w(t)=0,001(t+8)^3 beschrieben werden. Hierbei gibt w(t) die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt t (in Sekunden) an.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 4

Ableitung an einer Stelle x0

  1. Bestimme wie in der Beispielaufgabe mit dem Krater die Ableitung für die Funktion w(t)=0,001(t+8)^3 zum Zeitpunkt t=5s und für einen beliebigen Zeitpunkt t=t0.
  2. Welche Bedeutung haben die beiden allgemeinen Terme aus der Beispielaufgabe und Teilaufgabe 1. jeweils?
  3. Trefft euch mit einem weiteren Lernteam und vergleicht eure Lösungen.


Farm-Fresh plenumPlenumsphase


Nuvola Icon Kate.png Information

Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x0 ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man eine neue Funktion f´(x), die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte Ableitungsfunktion oder auch Ableitung von f(x).
Man schreibt dafür kurz f '(x).

f'(x) =\frac{d}{dx} f(x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}


Mit der Ableitungsfunktion f '(x) lässt sich die Steigung des Graphen von f(x) an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen. Die Ableitungsfunktion kann daher auch als Steigungsfunktion von f(x) aufgefasst werden.

Wenn du die Ableitung einer Funktion bestimmst, dann nennt man das ableiten oder differenzieren.

Nuvola apps kwrite.png Schreibe die Definition der Ableitung in dein Heft.  






Untersuchung des Zusammenhangs der Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion



Nuvola Stift.png   Aufgabe 5

Wie entsteht der Graph der Ableitungsfunktion aus dem Graphen der Funktion?

Im Applet unten ist der Graph einer Funktion f und die Tangente im Punkt A des Graphen (bzw. an der Stelle x0) dargestellt.

  1. Ziehe am Punkt A und beobachte, was passiert. Beschreibe den Zusammenhang zwischen Punkt B, Punkt A und der Tangenten.
  2. Gehe mit einem "Rechtsklick" auf Punkt B und schalte dessen Spur ein ("Trace on"). Ziehe anschließend nochmal (langsam) an Punkt A. Beschreibe die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie von B.
  3. Klicke auf den blauen Doppelpfeil rechts oben in der Ecke, um das Applet zurückzusetzen. Gebe nun weitere Funktionsgleichungen für f im Applet ein (z.B.: f(x)=x^3-3x^2+2 oder f(x)=0.2x^4-2x^2+4) und wiederhole die Schritte aus 2.! Vergiss nicht zwischendurch das Applet wieder zurückzusetzen!