4. Rund um den Kegel

Der Kegel - Eine kleine Einführung

In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.
Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten Spitzkörper: den Kegel!


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Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.

Eigenschaften des Kegels

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Mantelfläche und Mantelflächeninhalt

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Anmerkung:

Über den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel $\alpha$, dem Vollkreiswinkel und den beiden zu betrachtenden Radien r und s kann man ebenfalls die Formel für den Mantelflächeninhalt aufstellen:

$M_{K}=\pi s^{2}\cdot \frac {\alpha } {360^{o}}=\pi s^{2}\cdot \frac {r} {s} =\pi \cdot r\cdot s$

Die oben aufgestellte Verhältnisgleichung wird einfach in die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Kreissektors eingesetzt!

Oberfläche und Oberflächeninhalt

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Volumen des Kegels

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Hier geht es zur Zusammenfassung!

Übungsaufgaben: Berechnungen rund um den Kegel

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Der Trichter ist ein Kegel. Zur Berechnung des Volumens benötigen wir den Radius r und die Höhe h des Kegels.
Die Bogenlänge b des Kreisausschnitts mit Radius s berechnet sich durch:

$b=2\pi s\cdot \frac {\alpha } {360^{o}}=\pi s\cdot \frac {\alpha } {180^{o}}=\pi \cdot 20cm \cdot \frac {120^{o}} {180^{o}}=\frac {40\pi } {3} cm \approx 41,89cm$

Die Bogenlänge b entspricht dem Umfang des Grundkreises des Kegels mit Radius r, also $b=2\pi r$!

$\Rightarrow r= \frac {b} {2\pi }=\frac {40\pi } {3} \cdot \frac {1} {2\pi } cm= \frac {20} {3}cm \approx 6,67 cm$

Die Höhe h wird über den Satz von Pythagoras berechnet (oben in der Abbildung kannst du das benötigte rechtwinklige Dreieck erkennen!):

$h=\sqrt {s^{2}-r^{2}}= \sqrt {\left(20cm\right)^{2}-\left(\frac {20} {3}cm\right)^{2}} = \sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2}} \approx 18,86 cm$

(Hier könnte man jetzt noch teilweise die Wurzel ziehen! Also $\sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2}}=\frac {20} {3}\cdot \sqrt {8}cm$)

Nun kann das Kegelvolumen berechnet werden:

$V=\frac {1} {3}\pi r^{2}\cdot h= \frac {1} {3} \pi \cdot \left(\frac {20} {3}\right)^{2} \cdot \sqrt {\frac {3200} {9}}cm \approx 877,61 cm^{3}$

Der Trichter hat ein Volumen von ungefähr 877,61 cm³, also weniger als ein Liter!