Klassenbildung: Unterschied zwischen den Versionen

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Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."
 
Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."
  
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'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
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<div class="zuordnungs-quiz">
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| Klassen || <math>k_i</math> || haben eine obere Grenze || haben eine untere Grenze
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| Klassenbreite || <math>b_i</math> || Spannweite geteilt durch Klassenanzahl || <math>\frac{R}{k}</math> || <math>b</math>
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| Spannweite || <math>R</math> || <math>x_{Max}-x_{Min}</math> || Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
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| Klassenanzahl || <math>k</math> || <math>\sqrt{n}</math> || Wurzel aus dem Stichprobenumfang
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| größte Merkmalsausprägung || <math>x_{Max}</math>
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| kleinste Merkmalsausprägung || <math>x_{Min}</math>
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</div>
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{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
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<pre>
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52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
 +
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
 +
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
 +
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
 +
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
 +
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
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51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
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</pre>
 +
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.
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Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
 
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{{Aufgabe|
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Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?
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Hier geht's weiter.  [[Datei:Pfeil 2.gif]] &nbsp; [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
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{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}
  
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
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{{Beschreibende Statistik}}
[[Kategorie:Höhere Berufsfachschule für Wirtschaft und Verwaltung Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]
+

Version vom 15. April 2019, 09:50 Uhr

Lernziele:

  • Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
    • Klassenanzahl,
    • Spannweite und
    • Klassenbreite.
  • Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
  • Sie können
    • Klassenanzahlen,
    • die Spannweite und
    • Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
  • Sie kennen den Unterschied zwischen
    • Klassen mit gleicher Klassenbreite und
    • Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
  • Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen Pfeil 2.gif   Übungen

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen
"gelb" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,
"blau" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,
"Andere" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.

Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen
"Leistungsträger" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
"Mittelfeld" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
"Blauer Brief" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.

Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

Beispiel Körpergröße (in cm)

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Urliste
Körpergröße in cm
170 178 174 188 168
191 169 159 199 200
177 178 200 193 169
151 185 191 165 158
185 188 194 180 170


Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

Klasseneinteilung:

Klasse k_1:

vom kleinsten Wert x_{Min} (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
mathematische Kurzschreibweise: [151;175]=]150;175]

Klasse k_2:

von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
mathematische Kurzschreibweise: ]175;183]

Klasse k_3:

von über 183 cm bis zum größten Wert x_{Max} (hier 200 cm) einschließlich
mathematische Kurzschreibweise: ]183;200]

Häufigkeitsverteilung bestimmen:

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit H(k_i) zu jeder Klasse k_i bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse k_i liegen. Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit h(k_i) zu jeder Klasse k_i bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang n, die im Intervall der Klasse k_i liegen, berechnet.

Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
k_i 150 < a_i \le 175 175 < a_i \le 183 183 < a_i \le 200 Summe
H(k_i) 10 4 11 25
h(k_i) \frac{2}{5}=40 % \frac{4}{25}=16 % \frac{11}{25}=44 % 100 %

Interpretation:

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

Klassenbreiten bestimmen:

Die gewählten Klassen k_i sind unterschiedlich breit. Die Breite b_i einer Klasse k_i errechnet man, indem man die untere Grenze uG_i von der oberen Grenze oG_i subtrahiert.

Klasse k_i untere Grenze uG_i obere Grenze oG_i Klassenbreite b_i
k_1 150 175 175-150=25
k_2 175 183 183-175=8
k_3 183 200 200-183=17

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
Klasse k_i Intervall H(k_i) h(k_i)
k_1 143 < a_i \le 151 1 \frac{1}{25}=4 %
k_2 151 < a_i \le 159 2 \frac{2}{25}=8 %
k_3 159 < a_i \le 167 1 \frac{1}{25}=4 %
k_4 167 < a_i \le 175 6 \frac{6}{25}=24 %
k_5 175 < a_i \le 183 4 \frac{4}{25}=16 %
k_6 183 < a_i \le 191 6 \frac{6}{25}=24 %
k_7 191 < a_i \le 199 3 \frac{3}{25}=12 %
k_8 199 < a_i \le 207 2 \frac{2}{25}=8 %
Summe 25 100%
Interpretation:

Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.


Maehnrot.jpg
Merke:

Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte Klassen k_i der (Klassen-)Breite b_i zusammenzufassen.

Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

  • Klassen mit gleicher Klassenbreite b_i=b
    Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite b_i

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

Stift.gif   Aufgabe

Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.


Übungen

Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.

Klassen k_i haben eine obere Grenze haben eine untere Grenze
Klassenbreite b_i Spannweite geteilt durch Klassenanzahl \frac{R}{k} b
Spannweite R x_{Max}-x_{Min} Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
Klassenanzahl k \sqrt{n} Wurzel aus dem Stichprobenumfang
größte Merkmalsausprägung x_{Max}
kleinste Merkmalsausprägung x_{Min}


Stift.gif   Aufgabe

Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:

52,5;	51,7;	52,3;	50,9;	48,8;	51,4;	48,3;
52,2;	51,4;	50,7;	50,8;	52,0;	48,4;	50,0;
51,4;	49,1;	47,5;	51,5;	48,7;	51,3;	47,9;
49,5;	49,9;	50,1;	50,2;	52,4;	52,0;	50,1;
49,9;	51,9;	48,7;	51,4;	52,4;	47,9;	51,0;
48,9;	50,2;	48,0;	51,5;	49,8;	49,1;	48,4;
51,7;	51,1;	51,2;	51,5;	48,3;	51,5;	51,1

Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.

Stift.gif   Aufgabe

Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

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Vorlage:Beschreibende Statistik