Übungen Arithmetisches Mittel, Modus, Median: Unterschied zwischen den Versionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Matthias Scharwies verschob Seite Höhere Berufsfachschule für Wirtschaft und Verwaltung/Mathematik/Beschreibende Statistik/Lagemaße/Übungen Arithmetisches Mittel, Modus, Median nach [[Beschreibende Statistik/Lagemaße/Übungen Arithmetisches Mi…)
(Weiterleitung nach Beschreibende Statistik erstellt)
 
Zeile 1: Zeile 1:
<!-- Aufgabe 1 -->
+
#redirect [[Beschreibende Statistik]]
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}"
+
|-
+
|<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">&nbsp; [[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe 3.1.1
+
<div class="zuordnungs-quiz">
+
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
+
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.
+
{|
+
| arithmetisches Mittel || Durchschnitt || Mittelwert || <math>\bar x</math>
+
|-
+
| Median || Zentralwert || <math>x_{Med}</math> || der mittlere Wert eines sortierten Urliste
+
|-
+
| Modus || <math>x_{Mod}</math> || der häufigste Wert || Modalwert
+
|}
+
</div>
+
|}
+
<!-- Ende Aufgabe 1 -->
+
 
+
<!-- Aufgabe 2 -->
+
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}"
+
|-
+
|<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">&nbsp; [[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe 3.1.2
+
<div class="zuordnungs-quiz">
+
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
+
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.
+
{|
+
| Urliste || <math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math> || <math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
+
|-
+
| absolute Häufigkeitsverteilung || <math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>  || <math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math> || <math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
+
|-
+
| relative Häufigkeitsverteilung || <math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math> || <math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math> || <math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
+
|}
+
</div>
+
|}
+
<!-- Ende Aufgabe 2 -->
+
 
+
<!-- Aufgabe 3 -->
+
{{Aufgaben-M|3.1.3|
+
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
+
#  5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
+
#  5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
+
#  5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
+
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
+
}}
+
{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|1=
+
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
+
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
+
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
+
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
+
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>
+
 
+
Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.
+
 
+
Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
+
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
+
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
+
Median <math>x_{Med}=7</math>
+
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>
+
 
+
Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische  Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
+
 
+
Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
+
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
+
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
+
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
+
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>
+
 
+
Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische  Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
+
}}
+
}}
+
<!-- Ende Aufgabe 3 -->
+
 
+
<!-- Aufgabe 4 -->
+
{{Aufgaben-M|3.1.4|
+
Entscheiden Sie.
+
 
+
<quiz display="simple">
+
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
+
- Ja, das stimmt.
+
+ Nein, das stimmt nicht.
+
 
+
 
+
{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+
+ Nein, das stimmt nicht.
+
- Ja, das stimmt.
+
 
+
{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+
- Nein, das stimmt nicht.
+
+ Ja, das stimmt.
+
 
+
{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+
+ Nein, das stimmt nicht.
+
- Ja, das stimmt.
+
 
+
{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+
+ Nein, das stimmt nicht.
+
- Ja, das stimmt.
+
 
+
{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
+
- Nein, das stimmt nicht.
+
+ Ja, das stimmt.
+
 
+
{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+
+ Nein, das stimmt nicht.
+
- Ja, das stimmt.
+
 
+
{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
+
- Nein, das stimmt nicht.
+
+ Ja, das stimmt.
+
 
+
{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+
+ Nein, das stimmt nicht.
+
- Ja, das stimmt.
+
 
+
{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+
- Nein, das stimmt nicht.
+
+ Ja, das stimmt.
+
 
+
</quiz>
+
 
+
}}
+
<!-- Ende Aufgabe 4 -->
+
 
+
<!-- Aufgabe 5 -->
+
{{Aufgaben-M|3.1.5|
+
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:
+
 
+
59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2
+
 
+
* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
+
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
+
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
+
}}
+
{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|1=
+
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.
+
 
+
Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
+
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
+
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.
+
 
+
Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.
+
 
+
Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
+
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
+
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>
+
 
+
Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
+
}}
+
}}
+
<!-- Ende Aufgabe 4 -->
+
 
+
<!-- Aufgabe 5 -->
+
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}"
+
|-
+
|<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">&nbsp; [[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe 3.1.5
+
|-
+
|
+
Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.
+
Bestimmen Sie jeweils
+
* das arithmetische Mittel,
+
* den Median (Zentralwert) und
+
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
+
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
+
 
+
a)
+
{|
+
| Bewertung der Ausstattung und Optik || Anzahl der Schüler
+
|-
+
| 1 (sehr gut) || 43
+
|-
+
| 2 (gut) || 22
+
|-
+
| 3 (befriedigend) || 15
+
|-
+
| 4 (ausreichend) || 36
+
|-
+
| 5 (mangelhaft) || 21
+
|-
+
|6 (ungenügend) || 24
+
|}
+
b)
+
{|
+
| Bewertung der Ausstattung und Optik || Anzahl der Schüler
+
|-
+
| 1 (sehr gut) || 25
+
|-
+
| 2 (gut) || 29
+
|-
+
| 3 (befriedigend) || 28
+
|-
+
| 4 (ausreichend) || 27
+
|-
+
| 5 (mangelhaft) || 28
+
|-
+
|6 (ungenügend) || 24
+
|}
+
 
+
|}
+
{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|1=
+
Stichprobenumfang <math>n=161</math>
+
 
+
a)
+
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
+
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
+
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)
+
 
+
b)
+
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
+
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
+
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)
+
 
+
Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.
+
 
+
Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
+
}}
+
}}
+
 
+
<!-- Ende Aufgabe 5 -->
+
 
+
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+
 
+
 
+
 
+
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
+
[[Kategorie:Höhere Berufsfachschule für Wirtschaft und Verwaltung/Beschreibende Statistik]]
+

Aktuelle Version vom 15. April 2019, 10:56 Uhr